Espaços Vetoriais

Transformações Lineares

Uma introdução às funções do ℝⁿ para o ℝᵐ

Função do ℝⁿ para o ℝᵐ

Uma função geral pode ser representada como:

\begin{array}{c} w_1 = f_1(x_1, x_2, ..., x_n) \\ \vdots \\ w_m = f_m(x_1, x_2, ..., x_n) \end{array}

Função Linear

Nesta apresentação, focaremos em funções lineares, que têm a forma:

\left\{ \begin{array}{l} w_1 = a_{1,1} x_1 + a_{1,2} x_2 + ... + a_{1,n} x_n\\ ... = ... + ... + ...+ ... \\ w_m = a_{m,1} x_1 + a_{m,2} x_2 + ... + a_{m,n} x_n \end{array}\right.

Representação Matricial

Podemos representar o sistema como uma multiplicação de matrizes:

\(w = Ax\)

onde:

x é o vetor com as variáveis do domínio
w é o vetor com os valores do contradomínio

Alcance da Transformação

O conjunto de todos os possíveis valores de w é chamado de alcance da transformação.

Notação

Podemos mencionar uma transformação T de forma genérica como:

T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m

Geometria e Transformações Lineares

Vamos explorar algumas transformações comuns no ℝ² e ℝ³:

Transformação Identidade

Para ℝ²:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Para ℝ³:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Transformação Nula

Para ℝ²:

\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Para ℝ³:

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Reflexão em torno de um eixo

Reflexão em torno do eixo x no ℝ²:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Reflexão em torno do eixo x no ℝ³:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Projeção ortogonal em um eixo

Projeção no eixo x no ℝ²:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Projeção no eixo x no ℝ³:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Rotação em torno de um eixo

Rotação de θ no ℝ² (anti-horário):

\begin{pmatrix} \cos θ & -\sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{pmatrix}

Rotação de θ em torno do eixo z no ℝ³ (anti-horário):

\begin{pmatrix} \cos θ & -\sin θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Dilatação e contração

Dilatação/contração no ℝ²:

\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}

Dilatação/contração no ℝ³:

\begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{pmatrix}

onde k > 1 para dilatação e 0 < k < 1 para contração

Composição de Transformações

Podemos compor transformações lineares, assim como fazemos com funções.

Exemplo de Composição

Vamos encontrar a transformação que é:

Uma rotação anti-horária em torno do eixo-z
Seguida de uma reflexão no plano-yz
E por fim, uma projeção ortogonal no plano-xy

Passo 1: Rotação anti-horária em torno do eixo-z

R_z(θ) = \begin{pmatrix} \cos θ & -\sin θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Passo 2: Reflexão no plano-yz

M_{yz} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Passo 3: Projeção ortogonal no plano-xy

P_{xy} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Composição Final

A transformação composta é:

T = P_{xy} \cdot M_{yz} \cdot R_z(θ)

Multiplicando as matrizes, obtemos:

T = \begin{pmatrix} -\cos θ & \sin θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Ordem das Operações

A ordem das operações é importante em composições de transformações lineares.

Em geral, mudar a ordem das operações resultará em uma transformação diferente.

Propriedades das Transformações Lineares

Definição de Transformação Linear

Uma transformação \(T:I\!R^n \rightarrow I\!R^m\) é dita linear se, e somente se, satisfaz duas propriedades fundamentais.

Propriedade 1: Aditividade

Para quaisquer vetores \(u\) e \(v\):

\[T(u + v) = T(u) + T(v)\]

Propriedade 2: Homogeneidade

Para qualquer escalar \(c\) e vetor \(u\):

\[T(cu) = cT(u)\]

Definição: Transformação Um-para-Um

Transformações T: ℝⁿ → ℝᵐ são ditas um-para-um se vetores distintos em ℝⁿ são mapeados em vetores distintos em ℝᵐ.

Afirmações Equivalentes

As seguintes afirmações são equivalentes:

A é invertível
O alcance ("imagem") de T_A é ℝᵐ
T_A é um-para-um

Inversa de uma Operação Linear

A inversa de uma operação linear é outra operação linear que "desfaz" a transformação original.

Se T(x) = Ax, então T⁻¹(w) = A⁻¹w

Exemplo: Transformação Um-para-Um

Considere a transformação:

\left\{\begin{array}{c} w_1 = 2x_1 + x_2 \\ w_2 = 3x_1 + 4x_2 \end{array}\right.

Prova: Transformação Um-para-Um

Para mostrar que é um-para-um, precisamos provar que:

A\mathbf{x}_1 = A\mathbf{x}_2 \implies \mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_2

Ou, equivalentemente, que o núcleo da transformação contém apenas o vetor nulo.

Resolvendo o sistema homogêneo:

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

A única solução é x₁ = x₂ = 0, portanto a transformação é um-para-um.

Matriz de uma Transformação Linear

Para uma transformação \(T:I\!R^n \rightarrow I\!R^m\) e uma base canônica de vetores \(e_1, e_2, e_3, ..., e_n\), a matriz que representa \(T\) será:

\[[T] = [T(e_1)|T(e_2)|...|T(e_n)]\]

Onde cada coluna representa a transformação aplicada a um vetor da base canônica.

Exercícios

Encontre a matriz de projeção padrão para uma reta de ângulo \(\theta\).
Encontre a projeção do vetor (1,5) na reta que faz um ângulo de \(\pi/6\) com a diagonal.

Transformações e Autovetores

Rotação no plano-xy

Discuta os autovetores de uma rotação no plano-xy.

Autovetores de uma Matriz

Encontre os autovetores da matriz:

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

Conclusão

As transformações lineares são ferramentas poderosas em álgebra linear e têm diversas aplicações práticas.

Compreender suas propriedades e como compô-las é fundamental para muitos campos da matemática e da ciência aplicada.