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"Para a próxima atualização, estamos adicionando 'Portais'. A ideia é que um avatar entre em um portal e saia em outro lugar, talvez esticado, girado ou até mesmo achatado. Isso abre um universo de possibilidades para puzzles e desafios."
Nesta fase, vamos dominar a magia por trás dos portais. Aprenderemos a criar, combinar e entender as regras que governam como os avatares (vetores) se movem e se transformam. Cada portal será definido por uma ferramenta que já conhecemos bem: a matriz.
Entendendo a função fundamental de uma transformação.
Uma Transformação \(T\) é uma função que "move" vetores de um espaço de entrada (domínio) para um espaço de saída (contradomínio).
\[ T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \]Toda Transformação Linear pode ser representada pela multiplicação de matrizes.
Para uma transformação \(T\), existe uma matriz padrão \(A\) tal que:
\[ T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \]Na próxima tela, vamos visualizar o efeito de uma rotação de 90° com a matriz:
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]Arraste o vetor azul (\(\mathbf{v}\)). O vetor laranja (\(\mathbf{w}\)) é o resultado de \( A\mathbf{v} \).
Para que um portal seja "linear", ele precisa obedecer a duas regras fundamentais. Para quaisquer vetores \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \) e um escalar \( c \):
Uma transformação é linear se, e somente se, cada componente do vetor de saída é uma combinação linear das componentes de entrada.
Isso significa: As fórmulas só podem ter termos como \( a \cdot x_i \).
Termos como \( x_1^2, \sqrt{x_2}, x_1x_2 \) ou constantes somadas (ex: \( x_1+1 \)) quebram a linearidade!
A transformação \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) definida por \( T(x, y) = (x - y, 3y) \) é linear?
Sim, é linear.
Pelo "Teste Rápido":
Nenhum termo "proibido" aparece. A transformação passa no teste.
A transformação \( T(x, y) = (x^2, y) \) é linear?
Não, não é linear.
Ela falha no teste da Homogeneidade. Seja \( c \) um escalar:
\( T(c\mathbf{u}) = T(cx, cy) = ((cx)^2, cy) = (c^2x^2, cy) \)
\( cT(\mathbf{u}) = c \cdot T(x, y) = c(x^2, y) = (cx^2, cy) \)
Como \( (c^2x^2, cy) \neq (cx^2, cy) \), a regra \( T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u}) \) falha.
A transformação \( T(x, y) = (x+1, y) \) é linear?
Não, não é linear.
Motivo 1 (Teste Rápido): A componente \( w_1 = x+1 \) não é uma combinação linear pura de x e y, pois tem uma constante somada.
Motivo 2 (Prova Formal): Uma propriedade de toda transformação linear é que ela deve levar o vetor nulo ao vetor nulo: \( T(\mathbf{0}) = \mathbf{0} \).
\[ T(0, 0) = (0+1, 0) = (1, 0) \neq (0, 0) \]Como \( T(\mathbf{0}) \neq \mathbf{0} \), a transformação não pode ser linear.
Explorando os tipos mais comuns de portais geométricos.
Algumas transformações são tão comuns que suas matrizes são "power-ups" básicos em nosso arsenal.
Rotação anti-horária por um ângulo \( \theta \):
\[ A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]Dilatar ou contrair por um fator \( k \):
\[ A = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \]Refletir através do eixo X:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]Refletir através do eixo Y:
\[ A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]Como criar a matriz para qualquer transformação linear?
Encontre a matriz padrão em \( \mathbb{R}^2 \) para a projeção ortogonal sobre a reta \( y = 2x \).
A reta \( y=2x \) tem a direção de \( \mathbf{d} = (1, 2) \). Usando a fórmula de projeção:
\[ T(\mathbf{e}_1) = \text{proj}_{\mathbf{d}}\mathbf{e}_1 = \frac{(1,0)\cdot(1,2)}{1^2+2^2}(1,2) = \begin{pmatrix} 1/5 \\ 2/5 \end{pmatrix} \]Esta é a primeira coluna da nossa matriz.
Agora, transformamos \( \mathbf{e}_2 = (0, 1) \):
\[ T(\mathbf{e}_2) = \text{proj}_{\mathbf{d}}\mathbf{e}_2 = \frac{(0,1)\cdot(1,2)}{1^2+2^2}(1,2) = \begin{pmatrix} 2/5 \\ 4/5 \end{pmatrix} \]Esta é a segunda coluna.
Montamos a matriz \(A\) com os resultados:
\[ A = [T(\mathbf{e}_1) | T(\mathbf{e}_2)] = \begin{pmatrix} 1/5 & 2/5 \\ 2/5 & 4/5 \end{pmatrix} \]Aprendendo a aplicar múltiplos portais em sequência.
Aplicar \( T_1 \) e depois \( T_2 \) é uma composição, com matriz \( A = A_2 A_1 \).
Em \( \mathbb{R}^2 \), reflita um avatar através do eixo y, e em seguida, rotacione 45° no sentido horário. Qual a matriz única para essa operação?
1. \(A_1\) (Reflexão em Y): \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
2. \(A_2\) (Rotação -45°): \( \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \)
3. \( A = A_2 A_1 \): \( \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \)
Quando é possível inverter uma transformação?
Uma transformação é um-para-um se vetores diferentes sempre são levados para vetores diferentes. Ela não "achata" o espaço.
Para uma matriz quadrada \(A\), \(T\) é invertível se, e somente se, \( \det(A) \neq 0 \).
Se \( T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \) é invertível, sua inversa \( T^{-1}(\mathbf{w}) = A^{-1}\mathbf{w} \) desfaz a ação.
Aplique seu conhecimento para deduzir novas matrizes de transformação.
Usando o método de transformar os vetores da base canônica, deduza a matriz padrão para uma rotação de um ângulo \( \theta \) em \( \mathbb{R}^2 \).
(Dica: o que acontece com \( \mathbf{e}_1 = (1,0) \) e \( \mathbf{e}_2 = (0,1) \) quando rotacionados por \( \theta \)? Use trigonometria.)
Encontre a matriz padrão em \( \mathbb{R}^3 \) para a transformação que rotaciona um vetor em torno do eixo z por um ângulo \( \theta \) (sentido anti-horário).
(Dica: O que acontece com \( \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \) e \( \mathbf{e}_3 \)? Um deles permanece fixo.)
Encontre a matriz padrão em \( \mathbb{R}^3 \) para a transformação que reflete um vetor através do plano xy.
(Dica: Imagine um ponto (x, y, z). Onde ele vai parar após a reflexão? Qual coordenada muda de sinal?)