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Desenvolvedor: Arthur Cayley (1858)
O matemático Arthur Cayley foi um dos "desenvolvedores" originais que estabeleceu as regras do nosso jogo. Ele criou a "mecânica" da álgebra matricial, definindo como os "Grids de Jogo" (matrizes) interagem.
Vamos aprender as operações básicas para manipular os "Grids".
O elemento \(c_{ij}\) do produto \(C = AB\) é o produto escalar da linha i de A pela coluna j de B.
A dimensão do resultado é definida pelas dimensões externas.
A(m x n) * B(n x p) = C(m x p)
As dimensões internas (n) devem ser iguais para o "combo" ser possível!
Clique em um elemento do resultado para ver a "Sequência de Comandos".
Grid (3x2) por (2x3) resulta em (3x3).
Clique em um elemento do resultado para ver o combo.
Um sistema linear (Puzzle) pode ser escrito como uma multiplicação de matrizes: \(AX=B\).
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 1x - 4y = 5 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix} \]
Essa é a "Mecânica" principal do jogo! A definição de multiplicação foi criada para que isso funcionasse.
A adição é feita elemento a elemento. Os "Grids" devem ter o mesmo formato.
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]
É como combinar os itens de dois inventários idênticos.
Um escalar (um número) amplifica ou reduz cada valor do "Grid".
\[ 3 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 1 & 3 \times 2 \\ 3 \times 3 & 3 \times 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} \]
Pense nisso como um "Power-up" que triplica a força de todos os seus itens.
Habilidades Desbloqueadas:
Conheça os "itens" especiais do universo das matrizes.
A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \]
É como girar o "Grid de Jogo" sobre sua diagonal.
Uma matriz quadrada é simétrica se ela é igual à sua própria transposta (\(A = A^T\)).
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & \textcolor{#00FFFF}{7} & \textcolor{#FFFF00}{-3} \\ \textcolor{#00FFFF}{7} & 2 & \textcolor{#FF00FF}{5} \\ \textcolor{#FFFF00}{-3} & \textcolor{#FF00FF}{5} & 6 \end{bmatrix} \]
Possui uma "simetria de espelho" através da diagonal principal.
Superior: Zeros abaixo da diagonal. Inferior: Zeros acima da diagonal.
\[ \text{Superior} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \quad \text{Inferior} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]
Esses "Grids" simplificam muito a resolução de Puzzles.
Diagonal Principal: Canto superior esquerdo ao inferior direito.
\[ \begin{bmatrix} \textcolor{#FFFF00}{1} & 2 & 3 \\ 4 & \textcolor{#FFFF00}{5} & 6 \\ 7 & 8 & \textcolor{#FFFF00}{9} \end{bmatrix} \]Diagonal Secundária: Canto superior direito ao inferior esquerdo.
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & \textcolor{#00FFFF}{3} \\ 4 & \textcolor{#00FFFF}{5} & 6 \\ \textcolor{#00FFFF}{7} & 8 & 9 \end{bmatrix} \]A diagonal principal é a "espinha dorsal" do Grid.
É uma matriz diagonal com 1s na diagonal principal.
\[ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
É o "item lendário" que funciona como o número 1 na multiplicação.
Itens Adicionados ao Inventário:
Conheça as leis que governam a interação dos "Grids".
A multiplicação NÃO é comutativa: \( AB \neq BA \)
A multiplicação É associativa: \( A(BC) = (AB)C \)
Se \(AB = AC\), não podemos concluir que \(B=C\).
Exemplo: Se \( A = \begin{bmatrix} 1&1\\1&1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1&0\\0&2 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 0&2\\1&0 \end{bmatrix} \)
\[ AB = AC = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \text{ mas } B \neq C \]
Conhecimento Adquirido:
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Dadas \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) e \( B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \), calcule \(A + B\) e \(3A\).
Calcule \(CD\), onde \( C = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \) e \( D = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{bmatrix} \).
Para números, \((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\). Mostre que para matrizes, \((X+Y)^2 \neq X^2 + 2XY + Y^2\). Qual "glitch" causa isso?
Dada a matriz \( M = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \). Encontre \(M^T\). A matriz \(M\) é simétrica?
🎯 Fácil: \( A+B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \); \( 3A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} \)
⚔️ Médio: \( CD = \begin{bmatrix} -4 \\ -4 \end{bmatrix} \)
☠️ Avançado: \((X+Y)^2 = X^2+XY+YX+Y^2\). O "glitch" é a não-comutatividade (\(XY \neq YX\)).
✨ Especialista: \( M^T = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} \). Não é simétrica, pois \(M \neq M^T\).
Em computação gráfica 3D, cada movimento (rotação, translação) é uma matriz. A ordem das matrizes é crucial. O "Glitch" \(AB \neq BA\) é uma lei fundamental dos universos 3D.