Propriedades Fundamentais
Propriedades Fundamentais 1/2
- $A + B = B + A$ (Comutatividade da adição)
- $A + (B + C) = (A + B) + C$ (Associatividade da adição)
- $(AB)C = A(BC)$ (Associatividade da multiplicação)
- $A(B + C) = AB + AC$ (Distributividade à esquerda)
- $(B + C)A = BA + CA$ (Distributividade à direita)
Propriedades Fundamentais 2/2
- $A(B - C) = AB - AC$
- $(B - C)A = BA - CA$
- $a(B + C) = aB + aC$ (a é um escalar)
- $a(B - C) = aB - aC$
- $(a+b)C = aC + bC$
- $(a-b)C = aC - bC$
- $(ab)C = a(bC)$
- $a(BC) = (aB)C = B(aC)$
A Lei do Cancelamento Não Vale
Um Exemplo Intrigante
Considere estas matrizes:
\[
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 2
\end{bmatrix},
B = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4
\end{bmatrix},
C = \begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4
\end{bmatrix},
D = \begin{bmatrix}
3 & 7 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\]
Calculando AB, AC e AD
\[
AB = \begin{bmatrix}
3 & 4 \\
6 & 8
\end{bmatrix}
\]
\[
AC = \begin{bmatrix}
3 & 4 \\
6 & 8
\end{bmatrix}
\]
\[
AD = \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\]
Observe que AB = AC, mas B ≠ C. A lei do cancelamento não se aplica!
Propriedades da Matriz Zero
- A + 0 = A (Elemento neutro da adição)
- A · 0 = 0 · A = 0 (Absorção na multiplicação)
- 0A = A0 = 0 (Multiplicação por zero)
A matriz zero é como o coringa das matrizes!
Matriz Identidade
O que é a Matriz Identidade?
É uma matriz quadrada com 1's na diagonal principal e 0's em todas as outras posições.
\[
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
Uma matriz identidade n x n é representada por In.
Propriedades da Matriz Identidade
Para uma matriz Am×n:
\[
AI_n = A \text{ e } I_mA = A
\]
A matriz identidade é como o número 1 na multiplicação de números reais!
Teorema Interessante
Se uma matriz Rn×n está na forma de Echelon, então:
- Ou ela é uma matriz identidade
- Ou ela tem uma linha de zeros
Desafio: Tente demonstrar este teorema!
Tipos de Matrizes Especiais
- Matrizes Diagonais
- Matrizes Triangulares
- Matrizes Simétricas
Cada uma dessas matrizes tem propriedades únicas e fascinantes!
Matrizes Diagonais
- Só têm elementos não-nulos na diagonal principal
- Todos os outros elementos são zero
\[
\begin{bmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}
\]
Onde \(a\), \(b\), \(c\) são números reais não-nulos
Propriedades das Matrizes Diagonais
- Fáceis de multiplicar: multiplique os elementos diagonais correspondentes
- A inversa de uma matriz diagonal é outra matriz diagonal
- Determinante: produto dos elementos da diagonal
Matrizes Triangulares
Dois tipos principais:
- Triangular Superior: todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero
- Triangular Inferior: todos os elementos acima da diagonal principal são zero
Exemplos de Matrizes Triangulares
Triangular Superior:
\[
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
0 & d & e \\
0 & 0 & f
\end{bmatrix}
\]
Triangular Inferior:
\[
\begin{bmatrix}
g & 0 & 0 \\
h & i & 0 \\
j & k & l
\end{bmatrix}
\]
Onde as letras representam números reais não-nulos
Propriedades das Matrizes Triangulares
- O produto de duas matrizes triangulares superiores (ou inferiores) é triangular superior (ou inferior)
- Determinante: produto dos elementos da diagonal principal
- Sistemas de equações com matrizes triangulares são fáceis de resolver por substituição
Matrizes Simétricas
- \(A^T = A\), onde \(A^T\) é a transposta de \(A\)
- Os elementos são simétricos em relação à diagonal principal
\[
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
b & d & e \\
c & e & f
\end{bmatrix}
\]
Onde \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) são números reais