Matriz Inversa

O yin e o yang do mundo matricial!

Definição de Matriz Inversa

Se A é uma matriz quadrada, e existe uma matriz B do mesmo tamanho tal que:

\[ AB = BA = I \]

Então A é inversível e B é chamada de inversa de A, denotada por A-1.

Se não existir tal B, A é chamada de singular.

Exemplo: Verificando uma Inversa

Verifique se B é a inversa de A:

\[ B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]

Dica: Multiplique AB e BA. Se ambos resultarem na matriz identidade, B é a inversa de A!

Teoremas Importantes sobre Inversas

  • Se B e C são inversas de A, então B = C (A inversa é única!)
  • Se A e B são inversíveis, então AB é inversível e (AB)-1 = B-1A-1

Desafio: Tente provar esses teoremas!

Método para Encontrar a Inversa

Transformando o impossível em possível!

Operações Elementares

As ferramentas mágicas da álgebra linear!

Exemplo de Operação Elementar

Dadas as matrizes E e A:

\[ E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 4 & 0 \end{bmatrix} \]

Encontre EA. O que esta operação representa?

Matrizes elementares e um método para encontrar \(A^{-1}\)

  • Cada operação elementar pode ser representada por uma matriz elementar
    • Tipos de matrizes elementares:
      • Troca de linhas
      • Multiplicação de uma linha por um escalar não-nulo
      • Adição de um múltiplo de uma linha a outra

    Operações Elementares e Matrizes Inversas

    • A inversa de A pode ser expressa como o produto de matrizes elementares:

      \(A^{-1} = E_n * E_{n-1} * ... * E_2 * E_1\)

      Onde \(E_i\) são as matrizes elementares correspondentes às operações realizadas

    • Isso fornece um método alternativo para calcular \(A^{-1}\)

    Teorema Fundamental da Inversibilidade

    Afirmações Equivalentes

    Para uma matriz A n×n, as seguintes afirmações são equivalentes:

    • A é inversível
    • Ax = 0 só tem a solução trivial
    • A forma reduzida de Echelon de A é In
    • A pode ser representada como um produto de matrizes elementares

    Desafio: Tente entender por que essas afirmações são equivalentes!

    Exemplo: Encontrando uma Inversa

    Vamos encontrar a inversa desta matriz:

    \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{bmatrix} \]

    Dica: Use o método da matriz aumentada [A|I] e aplique operações elementares!

    Prove que não tem inversa.

    \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \end{bmatrix} \]

    Vamos encontrar a inversa desta matriz:

    \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 2 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \]

    Resumo: Matrizes e Inversa

    O guia rápido para dominar o universo matricial!

    Matriz Inversa

    • Definição: AA-1 = A-1A = I
    • Unicidade: Se existe, a inversa é única
    • (AB)-1 = B-1A-1
    • Método: Use [A|I] e operações elementares

    Teorema da Inversibilidade

    Para uma matriz A n×n, são equivalentes:

    • A é inversível
    • Ax = 0 só tem solução trivial
    • Forma reduzida de Echelon de A é In
    • A = produto de matrizes elementares

    Dicas para Lembrar

    • Lei do cancelamento não vale para matrizes
    • Matriz identidade é o "1" das matrizes
    • Nem toda matriz tem inversa (singulares)
    • Operações elementares são suas melhores amigas