Em Álgebra Linear, o termo "vetor" é muito mais abrangente do que o conceito usual de seta no espaço.
Um "vetor" em Álgebra Linear pode representar:
Esta generalização permite:
Exemplo: Podemos tratar um polinômio \(ax^2 + bx + c\) como um vetor (a, b, c) em \(\mathbb{R}^3\).
Implicação: Operações com polinômios podem ser vistas como operações vetoriais!
Imagine um grande parque de diversões com vários tipos de atrações:
O parque inteiro é como um espaço vetorial - um "universo" onde diferentes tipos de movimentos (vetores) podem existir e se combinar.
Agora, pense em uma área específica do parque:
Cada área específica é como um subespaço - um "mini-universo" dentro do parque maior, com suas próprias regras e movimentos permitidos.
Exemplo: Combinar um passeio de montanha-russa com um carrossel cria uma nova "atração" no parque.
Exemplo: Na área das montanhas-russas, combinar duas montanhas-russas ainda resulta em uma montanha-russa.
| Espaço Vetorial (Parque) | Subespaço (Área Específica) |
|---|---|
| Contém todos os tipos de atrações | Contém um subconjunto específico de atrações |
| Define as regras gerais | Segue as regras do espaço vetorial |
| Pode ter dimensão infinita | Geralmente tem dimensão menor ou igual |
Conclusão: Um subespaço é como uma "mini-versão" do espaço vetorial, mantendo todas as suas propriedades essenciais.
Definição formal de um espaço vetorial:
Um conjunto V com operações de adição e multiplicação por escalar que satisfazem certos axiomas.
Para objetos u, v e w, que pertencem a um dado conjunto V, V é um espaço vetorial se:
onde \(k, l \in \mathbb{R}\).
\(\mathbb{R}^n\): O espaço dos vetores com n componentes reais
Aplicação: Em \(\mathbb{R}^3\), podemos descrever a posição de um objeto no espaço.
São espaços vetoriais?
Definição: Um subconjunto W de um espaço vetorial V será chamado de subespaço vetorial se W formar um espaço vetorial.
Precisamos verificar todas as 10 propriedades para W?
Não, W já herda várias propriedades de V!
Se W é um subconjunto de objetos de V, então W será um subespaço de V se:
Teorema: Para um sistema linear homogêneo de m equações e n incógnitas, o conjunto de vetores solução é um subespaço de \(\mathbb{R}^n\).
Prova: Exercício para o leitor (dica: use o teorema de subespaços).
Considere uma coleção de vetores \(S = \{v_1, v_2, ..., v_n\}\).
Se \(k_1v_1 + k_2v_2 + ... + k_nv_n = \vec{0}\),
Podemos verificar se funções são linearmente independentes/dependentes?
Um assunto que ficará para Introdução às Equações Diferenciais.
Definição: Se V é qualquer espaço vetorial e \(S = \{v_1, v_2, ..., v_n\}\) é um conjunto de elementos (vetores), S é uma base se:
Se \(S = \{v_1, v_2, ..., v_n\}\) é uma base para o espaço vetorial V, então qualquer vetor \(v \in V\) pode ser escrito como uma combinação linear, \(v = c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n\), de apenas uma maneira!
(Os \(c_i\)'s são as coordenadas do vetor v na base S.)
Definição: Um espaço vetorial V não nulo é dito de dimensão finita se um conjunto finito de vetores formam uma base para ele. Se tal conjunto não existe, V é chamado de conjunto de dimensão infinita.
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja \(\{v_1, v_2, ..., v_n\}\) uma base qualquer, temos:
Teorema: Todas as bases para um espaço vetorial de dimensão finita têm o mesmo número de vetores.
Todas as bases de um espaço vetorial têm o mesmo número de elementos, por exemplo:
A dimensão de um espaço vetorial de dimensão finita, denotado por dim(V), é definida como o número de vetores da base de V.
Adicionalmente, definimos o espaço vetorial do vetor nulo como tendo dimensão nula.
Base: Conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço
Dimensão: Número de vetores em uma base do espaço vetorial
Encontre a base e a dimensão do espaço solução do sistema:
\[ \begin{array}{l} 2x_1 + 2x_2 - x_3 + x_5 = 0 \\ -x_1 - x_2 + 2x_3 - 3x_4 + x_5 = 0 \\ x_1 + x_2 - 2x_3 - x_5 = 0 \\ x_3 + x_4 + x_5 = 0 \end{array} \]
Imagine que você está construindo uma casa com blocos LEGO:
Adicionando um bloco único
Se você ganhar um bloco que não pode ser construído com os blocos existentes, você expande suas possibilidades de construção.
Removendo um bloco redundante
Se você perder um bloco que pode ser construído com outros blocos, você não perde nenhuma possibilidade de construção.
Em termos de vetores:
Implicações:
Definição: Se \(S = \{v_1, v_2, ..., v_r\}\) é um conjunto de vetores em um espaço vetorial V, então o espaço vetorial W constituído de todas as combinações lineares dos vetores de S é chamado de espaço vetorial gerado por \(v_1, v_2, ..., v_r\).
Notação: \(W = span(S)\) ou \(W = span\{v_1, v_2, ..., v_r\}\)
Teorema mais/menos: Considere um conjunto S de vetores de um espaço vetorial V.
Considere um conjunto S de n vetores de um espaço vetorial V de dimensão n. Ou S gera V ou os vetores de S são linearmente dependentes.
Como gerar bases?
Teorema: Para vetores \(v_1, v_2, ..., v_n\) em um espaço vetorial V:
Determine se os vetores \(v_1 = (1,1,2), v_2 = (1,0,1)\) e \(v_3 = (2,1,3)\) geram o \(\mathbb{R}^3\).
Encontre os vetores que geram os espaços soluções dos sistemas homogêneos com matriz dos coeficientes dadas por:
\[ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -4 & 6 \\ 3 & -6 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -3 & 7 & -8 \\ -2 & 4 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -3 & 7 & -8 \\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
O trio fantástico das matrizes
Para uma matriz \(A_{m \times n}\):
Pense neles como uma banda de rock: cada um tem seu papel, mas juntos fazem a música acontecer!
Spoiler: Sim, e é mais emocionante que o final de Game of Thrones!
Um sistema linear não homogêneo \(Ax = b\) é consistente se, e somente se, \(b\) está no espaço coluna de \(A\).
Em outras palavras: se \(b\) não está na "festa" do espaço coluna, o sistema não tem solução!
Mostre que \(b\) está no espaço coluna da matriz \(A\) e escreva \(b\) como combinação linear destes vetores:
\[A = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -2 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 1\\ -9\\ -3 \end{bmatrix}\]Dica: Resolva o sistema \(Ax = b\) e use os coeficientes para expressar \(b\)!
Ou: Como fazer mágica com vetores
Se \(x_0\) é uma solução particular de \(Ax = b\), e \(v_1, v_2, \dots, v_k\) formam uma base para o espaço nulo de \(A\), então toda solução do sistema é da forma:
\[x = x_0 + c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_k v_k\]onde os \(c_i\)'s são constantes reais.
É como um buffet de vetores: pegue uma solução particular e adicione quantos vetores do espaço nulo quiser!
Ou: Como construir um lar para seus vetores
É como um jogo de Tetris: você pode girar e mover as peças, mas o jogo continua o mesmo!
Se uma matriz \(R\) está na forma de echelon reduzida por linha:
É como organizar sua estante de livros: os mais importantes ficam na frente!
Para a matriz:
\[A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 & -2 & 5 & 4 \\ 2 & -6 & 9 & -1 & 8 & 2 \\ 2 & -6 & 9 & -1 & 9 & 7 \\ -1 & 3 & -4 & 2 & -5 &-4 \end{bmatrix}\]Encontre o espaço linha e coluna.
Dica: Reduza à forma echelon e use o teorema anterior!
Ou: Como medir a "musculatura" de uma matriz
O posto é como o número de halteres que sua matriz consegue levantar!
Para uma matriz \(A\) com \(n\) colunas:
\[\text{posto}(A) + \text{nulidade}(A) = n\]É como a lei de conservação de energia, mas para dimensões!
Para um sistema consistente \(Ax=b\) com \(m\) equações, \(n\) incógnitas e \(A\) de posto \(r\):
A solução geral contém \(n-r\) parâmetros livres.
É como um jogo de adivinhação: quanto menor o posto, mais liberdade você tem!
Ou: Como encontrar as "superestrelas" de uma matriz
Encontre a base para o autoespaço da matriz:
\[A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix}\]Dica: Encontre os autovalores, depois resolva \((A - \lambda I)x = 0\) para cada autovalor!
A Álgebra Linear fornece uma estrutura formal para:
Lembre-se: matrizes são como pessoas - complexas, às vezes difíceis de entender, mas sempre cheias de surpresas!