Fase 5: As Leis do Universo

A pergunta \(c_1\vec{u} + c_2\vec{v} = \vec{w}\) se traduz diretamente em um sistema linear não homogêneo \(A\vec{c} = \vec{w}\), onde as colunas de A são os vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\).

A Chave do Puzzle:

• Se o sistema tem solução (é consistente), então \(\vec{w}\) pode ser construído.
• Se o sistema não tem solução (é inconsistente), \(\vec{w}\) está "fora de alcance".

O Espaço Gerado por um conjunto de vetores S, denotado por span(S), é o conjunto de TODOS os vetores \(\vec{w}\) que podem ser construídos a partir de S.

É o conjunto de todos os \(\vec{w}\) para os quais o sistema \(A\vec{c}=\vec{w}\) é consistente.

Se temos \(n\) vetores em \(\mathbb{R}^n\), podemos formar uma matriz quadrada A. Nesse caso, o determinante é um "scanner de mapa" poderoso:

• Se det(A) ≠ 0, o sistema \(A\vec{c}=\vec{w}\) tem solução para QUALQUER \(\vec{w}\). Isso significa que os vetores geram o espaço inteiro!
• Se det(A) = 0, os vetores não geram o espaço todo. O `span` deles é um subespaço menor (uma reta ou um plano em \(\mathbb{R}^3\), por exemplo).

Uma Base para um espaço vetorial V é um conjunto de vetores que satisfaz duas condições:

1. O conjunto é Linearmente Independente.
2. O conjunto gera o espaço V (ou seja, span(S) = V).

Se \(B = \{\vec{v_1}, ..., \vec{v_n}\}\) é uma base para V, então todo vetor \(\vec{u} \in V\) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de B de uma, e apenas uma, maneira!

Os coeficientes \((c_1, c_2, ..., c_n)\) são chamados de coordenadas de \(\vec{u}\) na base B.

A Dimensão de um espaço vetorial V, denotada por dim(V), é o número de vetores em qualquer base de V.

Este é um dos resultados mais importantes da Álgebra Linear:

Todas as bases para um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.

Isso garante que a "dimensão" é uma propriedade bem definida e intrínseca do espaço, não importa qual base (sistema de coordenadas) você escolha.

• A dimensão de \(\mathbb{R}^n\) é \(n\). (Pense na base canônica).
• A dimensão do espaço das matrizes 2x2, \(M_{22}\), é 4.
• A dimensão do espaço dos polinômios de grau \(\le 2\), \(P_2\), é 3. (A base é \(\{1, x, x^2\}\)).

Vamos revisitar a pergunta: "O vetor \(\vec{b}\) é uma combinação linear dos vetores \(\{\vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n}\}\)?"

Vimos que isso nos leva ao sistema linear \(A\vec{x} = \vec{b}\), onde as colunas da matriz A são exatamente os vetores \(\{\vec{a_1}, ..., \vec{a_n}\}\).

Essa observação é tão fundamental que nos leva a definir os "espaços de jogo" de uma matriz.

O conjunto de todas as combinações lineares possíveis das colunas de A é chamado de Espaço Coluna de A, `Col(A)`.

A Conexão Crucial: O sistema \(A\vec{x} = \vec{b}\) tem solução se, e somente se, \(\vec{b}\) pertence ao `Col(A)`. O Espaço Coluna é o universo de todos os \(\vec{b}\) para os quais o sistema é consistente.

A mesma ideia pode ser aplicada às linhas e ao sistema homogêneo:

• Espaço Linha (Row(A)): O `span` dos vetores linha de A.
• Espaço Nulo (Nul(A)): O conjunto de todas as soluções para \(A\vec{x}=\vec{0}\).

A forma escalonada de A revela as bases para TODOS os três espaços:

• Para o Espaço Coluna: Identifique as colunas com pivôs na matriz escalonada. A base é formada pelos vetores correspondentes da matriz ORIGINAL.
• Para o Espaço Linha: A base é formada pelos vetores-linha não nulos da matriz ESCALONADA.
• Para o Espaço Nulo: Use a matriz escalonada para encontrar a solução geral de \(A\vec{x}=\vec{0}\). Os vetores da solução formam a base.

Agora podemos dar nomes a essas contagens:

• Posto(A): A dimensão do Espaço Coluna (e do Espaço Linha!). É o número de pivôs.
• Nulidade(A): A dimensão do Espaço Nulo. É o número de variáveis livres.

A contagem total de colunas é a soma das colunas com pivôs e das colunas sem pivôs. Portanto, para uma matriz A m x n:

A solução geral de um sistema consistente \(A\vec{x}=\vec{b}\) é \(x = x_p + x_h\), onde \(x_p\) é uma solução particular e \(x_h\) é qualquer vetor do Espaço Nulo.

O número de parâmetros (variáveis livres) que você usa para descrever a solução geral é exatamente a nulidade(A)!