Resolução Detalhada do Sistema Linear Dependendo dos Parâmetros \( a \) e \( b \)

Vamos analisar o sistema linear representado pela matriz aumentada:

\[ A = \begin{bmatrix} a & 0 & b & | & 2 \\ a & a & 4 & | & 4 \\ 0 & a & 2 & | & b \end{bmatrix} \]

Nosso objetivo é determinar para quais valores de \( a \) e \( b \) o sistema tem:

  1. Uma solução única
  2. Infinitas soluções dependendo de um parâmetro
  3. Infinitas soluções dependendo de dois parâmetros
  4. Nenhuma solução

Passo 1: Escrever o Sistema de Equações

A matriz aumentada representa o seguinte sistema de equações:

  1. \( a x + 0 y + b z = 2 \)    (Equação 1)
  2. \( a x + a y + 4 z = 4 \)    (Equação 2)
  3. \( 0 x + a y + 2 z = b \)    (Equação 3)

Passo 2: Realizar Operações Elementares de Linha

Vamos escalonar a matriz para facilitar a análise das soluções.

Suposição Inicial: \( a \neq 0 \)

Assumimos inicialmente que \( a \) não é zero, permitindo-nos dividir por \( a \) quando necessário.

Operação 1: \( L2 = L2 - L1 \)

Subtraímos a primeira linha da segunda para eliminar o termo \( a x \) em \( L2 \):

\[ \begin{align*} L2 &= L2 - L1 \\ &= (a - a, \ a - 0, \ 4 - b, \ 4 - 2) \\ &= (0, \ a, \ 4 - b, \ 2) \end{align*} \]

A matriz fica:

\[ \begin{bmatrix} a & 0 & b & | & 2 \\ 0 & a & 4 - b & | & 2 \\ 0 & a & 2 & | & b \end{bmatrix} \]

Operação 2: \( L3 = L3 - L2 \)

Subtraímos a nova segunda linha da terceira para eliminar o termo \( a y \) em \( L3 \):

\[ \begin{align*} L3 &= L3 - L2 \\ &= (0 - 0, \ a - a, \ 2 - (4 - b), \ b - 2) \\ &= (0, \ 0, \ b - 2, \ b - 2) \end{align*} \]

A matriz fica:

\[ \begin{bmatrix} a & 0 & b & | & 2 \\ 0 & a & 4 - b & | & 2 \\ 0 & 0 & b - 2 & | & b - 2 \end{bmatrix} \]

Passo 3: Analisar as Equações Resultantes

A matriz escalonada corresponde ao sistema:

  1. \( a x + b z = 2 \)    (Equação 1)
  2. \( a y + (4 - b) z = 2 \)    (Equação 2)
  3. \( (b - 2) z = b - 2 \)    (Equação 3)

Caso 1: \( b - 2 \neq 0 \)

Se \( b - 2 \neq 0 \), então podemos dividir a Equação 3 por \( b - 2 \):

\[ (b - 2) z = b - 2 \implies z = 1 \]

Encontrando \( y \):

Substituímos \( z = 1 \) na Equação 2:

\[ a y + (4 - b)(1) = 2 \implies a y = 2 - (4 - b) \implies a y = b - 2 \implies y = \frac{b - 2}{a} \]

Encontrando \( x \):

Substituímos \( z = 1 \) na Equação 1:

\[ a x + b(1) = 2 \implies a x = 2 - b \implies x = \frac{2 - b}{a} \]

Conclusão: Para \( a \neq 0 \) e \( b \neq 2 \), o sistema tem uma solução única:

\[ x = \frac{2 - b}{a}, \quad y = \frac{b - 2}{a}, \quad z = 1 \]

Caso 2: \( b - 2 = 0 \implies b = 2 \)

A Equação 3 se torna:

\[ 0 \cdot z = 0 \implies 0 = 0 \]

Esta é uma identidade verdadeira, indicando que a terceira equação não fornece nova informação.

Simplificando as Equações:

Com \( b = 2 \), as Equações 1 e 2 tornam-se:

  1. \( a x + 2 z = 2 \)
  2. \( a y + (4 - 2) z = 2 \implies a y + 2 z = 2 \)

Expressando \( x \) e \( y \) em termos de \( z \):

Conclusão: Para \( a \neq 0 \) e \( b = 2 \), o sistema tem infinitas soluções dependentes de um parâmetro \( z \):

\[ x = y = \frac{2 - 2 z}{a}, \quad z \text{ é um parâmetro livre} \]

Caso 3: \( a = 0 \)

Se \( a = 0 \), as Equações 1, 2 e 3 tornam-se:

  1. \( 0 x + 0 y + b z = 2 \implies b z = 2 \)    (Equação 1)
  2. \( 0 x + 0 y + 4 z = 4 \implies 4 z = 4 \)    (Equação 2)
  3. \( 0 x + 0 y + 2 z = b \implies 2 z = b \)    (Equação 3)

Analisando as Equações:

Conclusão: Para \( a = 0 \) e \( b = 2 \), o sistema tem infinitas soluções dependentes de dois parâmetros \( x \) e \( y \):

\[ x \text{ é um parâmetro livre}, \quad y \text{ é um parâmetro livre}, \quad z = 1 \]

Caso 4: \( a = 0 \) e \( b \neq 2 \)

Isto contradiz a suposição de que \( b \neq 2 \). Portanto, não há solução neste caso.

Resumo dos Resultados

Resposta Final

Para os valores de \( a \) e \( b \):