ÁLGEBRA ARCADE

1. Observe que \(\vec{v}\) é exatamente o dobro de \(\vec{u}\), ou seja, \(\vec{v} = 2\vec{u}\).
2. Reorganize a equação para a forma do teste de independência: \(2\vec{u} - \vec{v} = \vec{0}\).
3. Esta é uma combinação linear que resulta no vetor nulo onde os coeficientes (\(c_1=2, c_2=-1\)) não são todos zero.
4. Como existe uma solução não trivial, o conjunto é Linearmente Dependente.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Ter duas habilidades que apontam na mesma direção, mas com forças diferentes, é uma redundância de design. O jogador poderia simplesmente usar a habilidade mais fraca duas vezes para obter o mesmo efeito da mais forte. Em termos de mecânica, elas não são fundamentalmente diferentes.

1. Monte a matriz aumentada para o sistema \(A\vec{c}=\vec{0}\): \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & | & 0 \\ 2 & 1 & 0 & | & 0 \\ 3 & 2 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}\).
2. Aplique operações de linha (escalonamento) para reduzir a matriz à sua forma escalonada.
3. Analise a forma escalonada. Se houver um pivô em cada coluna, não há variáveis livres, e a única solução é a trivial (\(c_1=c_2=c_3=0\)).
4. Se a única solução for a trivial, conclua que o conjunto de vetores é Linearmente Independente.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este é o método universal para testar a sinergia de um time. Se os vetores de "efeito" de 3 personagens são LI, significa que eles cobrem o "espaço de efeitos" 3D de forma eficiente, e a combinação de seus poderes pode criar resultados únicos e complexos.

1. Construa a matriz \(A\) com os vetores como colunas: \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\).
2. Calcule o determinante de \(A\). (ex: usando a Regra de Sarrus ou expansão de cofatores).
3. Se \(\det(A) \neq 0\), o sistema \(A\vec{c}=\vec{0}\) tem apenas a solução trivial, e os vetores são Linearmente Independentes.
4. Se \(\det(A) = 0\), o sistema tem infinitas soluções, e os vetores são Linearmente Dependentes.

Conexão com o Mundo dos Jogos: O determinante é como um "medidor de sinergia" instantâneo. Se for zero, o time tem poderes redundantes; se não for zero, seus poderes são únicos e combinam-se de forma eficiente. É uma ferramenta de diagnóstico rápido para game designers.

1. Monte a equação vetorial: \(c_1\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\).
2. Converta em um sistema de 3 equações e 2 variáveis: \(c_1=0\), \(-c_1+c_2=0\), e \(5c_2=0\).
3. Resolva o sistema. A primeira equação já informa que \(c_1=0\). A terceira informa que \(c_2=0\). A segunda equação (\(0+0=0\)) é consistente.
4. Como a única solução é \(c_1=0, c_2=0\), os vetores são Linearmente Independentes.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Apenas dois heróis em um mundo 3D não conseguem "cobrir" todo o espaço com seus movimentos (eles geram um plano). No entanto, seus movimentos são únicos e não redundantes, a menos que sejam colineares, o que não é o caso aqui.

1. Monte a equação de teste: \(c_1M_1 + c_2M_2 + c_3M_3 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\).
2. Por inspeção (ou resolvendo o sistema de 4 equações), note que \(M_1 + M_2 = M_3\).
3. Reorganize a equação para a forma padrão: \(1 \cdot M_1 + 1 \cdot M_2 - 1 \cdot M_3 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\).
4. Encontramos uma combinação linear que resulta na matriz nula com coeficientes não-nulos (\(c_1=1, c_2=1, c_3=-1\)).
5. Portanto, o conjunto é Linearmente Dependente. O terceiro artefato é redundante.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Game designers precisam balancear itens. Se o efeito de um item "lendário" pode ser perfeitamente replicado combinando dois itens "raros", o item lendário perde seu valor e o sistema de itens fica desequilibrado.

1. Escreva a equação de teste: \(c_1 + c_2t + c_3t^2 = 0\), onde o lado direito é o polinômio nulo.
2. O princípio fundamental da identidade de polinômios afirma que se um polinômio é zero para todos os valores da variável, então todos os seus coeficientes devem ser zero.
3. Isso nos leva diretamente à conclusão de que \(c_1=0\), \(c_2=0\) e \(c_3=0\).
4. Como a única solução é a trivial, o conjunto \(\{1, t, t^2\}\) é Linearmente Independente.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Estes polinômios formam a "base canônica" para as curvas de segundo grau. Sua independência linear garante que qualquer trajetória parabólica de um projétil pode ser descrita de forma única por uma combinação desses três "efeitos" base (uma componente constante, uma linear e uma quadrática).

1. Por inspeção, podemos ver que \(p_1(t) + p_2(t) = (t+1) + (t^2) = t^2+t+1 = p_3(t)\).
2. Reorganize esta equação para a forma do teste de independência: \(1 \cdot p_1(t) + 1 \cdot p_2(t) - 1 \cdot p_3(t) = 0\).
3. Encontramos uma combinação linear dos polinômios que resulta no polinômio nulo, com coeficientes não-nulos (\(c_1=1, c_2=1, c_3=-1\)).
4. Portanto, o conjunto é Linearmente Dependente.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este é um exemplo de um feitiço "composto" que não traz nenhuma nova funcionalidade. Em jogos de criação (crafting), descobrir que um item raro é apenas a soma de dois itens comuns torna a receita de criação menos valiosa.

1. Considere a equação do teste de independência para o novo conjunto: \(c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} + \dots + c_k\vec{v_k} + c_{k+1}\vec{0} = \vec{0}\).
2. Nosso objetivo é encontrar uma solução onde nem todos os coeficientes são zero.
3. Podemos escolher \(c_1=0, c_2=0, \dots, c_k=0\). Isso zera a contribuição de todos os heróis originais.
4. Agora, podemos escolher qualquer valor não-nulo para o coeficiente do vetor nulo. Por exemplo, escolha \(c_{k+1}=1\).
5. A equação se torna \(0\vec{v_1} + \dots + 0\vec{v_k} + 1\vec{0} = \vec{0}\), que se simplifica para \(\vec{0} = \vec{0}\).
6. Encontramos uma solução (\(c_1=\dots=c_k=0, c_{k+1}=1\)) que não é a solução trivial. Portanto, o conjunto é sempre Linearmente Dependente.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Um personagem com "poder zero" não adiciona nada de novo ao time e, matematicamente, torna as capacidades do grupo "dependentes". Ele pode ser "simulado" não fazendo nada, o que é uma forma de redundância.

1. O conjunto de três vetores em \(\mathbb{R}^3\) é Linearmente Dependente se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles for igual a zero.
2. Monte a matriz \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k \\ 0 & 1 & 1 \\ k & 1 & 0 \end{pmatrix}\).
3. Calcule o determinante de \(A\) em termos de \(k\). Usando a expansão de cofatores na primeira linha, por exemplo: \(\det(A) = 1(0-1) - 0(\dots) + k(0-k) = -1 - k^2\).
4. Para que os vetores sejam LD, devemos ter \(\det(A)=0\). Portanto, resolva a equação \(-1 - k^2 = 0\).
5. A equação \(k^2 = -1\) não tem soluções no conjunto dos números reais.
6. Conclusão: Não existe nenhum valor real de \(k\) para o qual os vetores sejam Linearmente Dependentes. Eles são Linearmente Independentes para todo \(k \in \mathbb{R}\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este é um exemplo de balanceamento de jogo. O designer precisa garantir que, independentemente do nível de "energia" (\(k\)), as habilidades dos personagens permaneçam únicas e não se sobreponham de forma a quebrar o jogo. Aqui, o design é robusto, pois as habilidades nunca se tornam redundantes.

1. Para provar que \(\{\vec{u}+\vec{v}, \vec{u}-\vec{v}\}\) é LI, devemos mostrar que a única solução para \(c_1(\vec{u}+\vec{v}) + c_2(\vec{u}-\vec{v}) = \vec{0}\) é \(c_1=0, c_2=0\).
2. Distribua os escalares: \(c_1\vec{u} + c_1\vec{v} + c_2\vec{u} - c_2\vec{v} = \vec{0}\).
3. Reagrupe os termos com \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\): \( (c_1+c_2)\vec{u} + (c_1-c_2)\vec{v} = \vec{0} \).
4. Sabemos por hipótese que \(\{\vec{u}, \vec{v}\}\) é um conjunto Linearmente Independente. Isso significa que, por definição, seus coeficientes na equação acima devem ser zero.
5. Isso nos dá um sistema de equações para \(c_1\) e \(c_2\): \(c_1+c_2=0\) e \(c_1-c_2=0\).
6. Resolvendo este sistema (por exemplo, somando as duas equações), encontramos que a única solução é \(c_1=0\) e \(c_2=0\).
7. Como a única solução é a trivial, o conjunto \(\{\vec{u}+\vec{v}, \vec{u}-\vec{v}\}\) é Linearmente Independente.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Isso prova que se você começar com habilidades únicas, combiná-las de formas aditivas/subtrativas preserva essa unicidade. É uma garantia matemática de que criar "habilidades de sinergia" a partir de um conjunto bem projetado de habilidades base não introduzirá redundâncias no sistema de combate.