ÁLGEBRA ARCADE

1. Calcule a primeira soma para encontrar a posição final: \(\vec{u} + \vec{v} = (3+1, 1+4)\).
2. Calcule a segunda soma, com a ordem invertida: \(\vec{v} + \vec{u} = (1+3, 4+1)\).
3. Compare os vetores resultantes para confirmar que são idênticos.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este axioma garante que a ordem dos movimentos simples em um jogo de grid não altera o resultado final. Ir "3 para a direita e 1 para cima" seguido de "1 para a direita e 4 para cima" leva ao mesmo local que fazer os movimentos na ordem inversa, tornando a física do jogo previsível.

1. Identifique o vetor nulo (comando "Ficar Parado") em \(\mathbb{R}^2\) como sendo \(\vec{0} = (0, 0)\).
2. Some o vetor de posição do avatar \(\vec{u}\) com o vetor nulo.
3. Verifique que o resultado da soma é o próprio vetor de posição \(\vec{u}\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: O vetor nulo é a origem do mundo do jogo, o ponto de referência fundamental. Sem ele, seria impossível definir posições de forma absoluta.

1. Para que a soma resulte em \((0,0)\), cada componente da soma deve ser zero. O inverso aditivo de \(\vec{u}\), denotado \(-\vec{u}\), é o vetor que cumpre essa condição.
2. Encontre o inverso aditivo trocando o sinal de cada componente do vetor \(\vec{u}\).
3. Calcule a soma \(\vec{u} + (-\vec{u})\) para confirmar que o resultado é \(\vec{0}\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este axioma garante que toda ação pode ser desfeita. Isso é crucial para programar o movimento de retorno de um inimigo, para a lógica de "rebobinar o tempo" ou simplesmente para o personagem voltar um passo.

1. Calcule o lado esquerdo: primeiro, encontre \(\vec{a} = \vec{u} \oplus \vec{v}\). Depois, calcule \(\vec{a} \oplus \vec{w}\).
2. Calcule o lado direito: primeiro, encontre \(\vec{b} = \vec{v} \oplus \vec{w}\). Depois, calcule \(\vec{u} \oplus \vec{b}\).
3. Compare os resultados finais. Se forem diferentes, a associatividade falha e o conjunto não é um espaço vetorial.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Se a associatividade falhar, a física do jogo se torna caótica. Uma sequência de três movimentos teria resultados diferentes dependendo de como você os agrupa, quebrando a consistência do mundo.

1. Use a definição da nova operação para calcular \(1 \odot (5,8)\).
2. Substitua \(k=1\), \(u_1=5\) e \(u_2=8\) na fórmula \((k u_2, k u_1)\).
3. Compare o vetor resultante com o vetor original \(\vec{u}=(5,8)\). Se forem diferentes, o axioma falha.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este axioma é o "power-up de identidade". Multiplicar por 1 não deve alterar nada. Se isso acontecer, significa que a escala está fundamentalmente quebrada, e ações simples como "manter a velocidade atual" (multiplicar por 1) se tornariam imprevisíveis.

1. Identifique que o elemento neutro (vetor nulo) de \(\mathbb{R}^2\) é \(\vec{0}=(0,0)\).
2. Para que \(W\) seja um espaço vetorial, ele deve conter este elemento.
3. Verifique se o ponto \((0,0)\) satisfaz a equação da reta. Substitua \(x=0\) e \(y=0\) em \(y=x+1\).
4. Se a equação resultar em uma afirmação falsa, o vetor nulo não está em \(W\), e portanto \(W\) não é um espaço vetorial.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Se uma "zona" do jogo não contém a origem do mundo, ela não pode herdar as mesmas regras de física. Os movimentos dentro dela não se comportarão da mesma forma que os movimentos no resto do mapa, pois as posições não podem ser definidas de forma consistente com o sistema global.

1. O "vetor nulo" é a matriz identidade da adição: a matriz 2x2 com todos os elementos iguais a zero.
2. O "vetor inverso" \(-A\) é obtido multiplicando cada elemento de \(A\) por -1.
3. Analise se a soma de duas matrizes 2x2 resulta em algo que não é uma matriz 2x2. Faça o mesmo para a multiplicação por escalar. Se as operações sempre resultam em um objeto do mesmo tipo, o conjunto é fechado.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Os programadores usam matrizes para representar de tudo: inventários, mapas de tiles, tabelas de status de personagens e transformações gráficas. Tratar o conjunto de matrizes como um espaço vetorial permite usar ferramentas de álgebra linear para manipular esses dados de forma eficiente.

1. O "vetor nulo" é o polinômio cujos coeficientes são todos zero, resultando na função constante \(p(x)=0\).
2. Some dois polinômios genéricos de \(P_2\), como \((a_1x^2+b_1x+c_1) + (a_2x^2+b_2x+c_2)\). O resultado ainda tem a forma \(ax^2+bx+c\)?
3. Multiplique um polinômio genérico de \(P_2\) por um escalar \(k\). O resultado ainda é um polinômio de grau menor ou igual a 2?

Conexão com o Mundo dos Jogos: Polinômios são usados para criar curvas suaves para animações (interpolação), trajetórias de projéteis, ou para modelar o aumento de atributos de um personagem conforme ele sobe de nível (curvas de XP).

1. Teste de Fechamento da Soma: Pegue dois vetores \(\vec{u}=(u_1, u_2)\) e \(\vec{v}=(v_1, v_2)\) em \(W\), o que implica \(u_1 \ge 0\) e \(v_1 \ge 0\). Verifique o sinal da primeira componente da soma \(\vec{u}+\vec{v}\).
2. Teste de Fechamento da Multiplicação por Escalar: Pegue um vetor \(\vec{u}\) em \(W\) (por exemplo, \((2,3)\)) e um escalar negativo (por exemplo, \(k=-1\)).
3. Calcule \(k\vec{u}\) e verifique se o resultado ainda pertence a \(W\) (ou seja, se sua primeira componente ainda é \(\ge 0\)). Se não, o axioma falha.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Isso mostra que uma "parede invisível" no mapa pode quebrar as regras de um espaço vetorial. Uma força (um escalar negativo aplicado a um vetor de velocidade) poderia teoricamente "empurrar" um jogador através da barreira, o que significa que os programadores precisam adicionar verificações de colisão extras em vez de confiar apenas na álgebra linear pura.

1. Teste do Fechamento da Soma: Considere dois vetores \(\vec{u}=(u_1, u_2)\) e \(\vec{v}=(v_1, v_2)\) em \(V\). Por definição, todos os componentes \(u_1, u_2, v_1, v_2\) são não negativos. Analise os componentes da soma \(\vec{u}+\vec{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2)\). A soma de números não negativos é sempre não negativa, então a soma permanece em \(V\). Este axioma é satisfeito.
2. Teste do Fechamento da Multiplicação por Escalar: Escolha um vetor que está claramente em \(V\), por exemplo, \(\vec{u}=(1,1)\). Agora, escolha um escalar negativo, por exemplo, \(k=-1\).
3. Calcule o produto \(k\vec{u}\). O resultado é \((-1,-1)\).
4. Verifique se o resultado pertence a \(V\). Como os componentes \(-1\) são menores que 0, o vetor resultante está fora do primeiro quadrante. O axioma de fechamento da multiplicação por escalar falha.
5. Conclusão: Como um dos axiomas falha, \(V\) não é um espaço vetorial.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Muitas quantidades em jogos (como vida, mana ou coordenadas em um quadrante específico) são não negativas. No entanto, as forças ou efeitos que atuam sobre elas (dano, empurrões, etc.) podem ser negativos. Isso significa que o "espaço de estados" do jogo não é um verdadeiro espaço vetorial, e a programação deve levar em conta essas restrições.

1. Teste do Axioma do Vetor Nulo: O "vetor nulo" no espaço de matrizes \(M_{22}\) é a matriz nula, \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). Calcule o determinante desta matriz. Como \(\det(\vec{0}) = 0\), a matriz nula não é invertível. Portanto, o vetor nulo não pertence ao conjunto \(V\). Esta falha já é suficiente para provar que \(V\) não é um espaço vetorial.
2. Teste do Fechamento da Soma: Para encontrar uma segunda falha, precisamos mostrar que a soma de duas matrizes invertíveis pode não ser invertível. Considere duas matrizes invertíveis simples, \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) (\(\det(A)=1\)) e \(B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) (\(\det(B)=1\)). Ambas pertencem a \(V\).
3. Calcule a soma \(A+B\). O resultado é a matriz nula.
4. Como já estabelecido, a matriz nula não é invertível. Portanto, a soma de dois "vetores" de \(V\) resultou em um "vetor" que está fora de \(V\). O conjunto não é fechado sob adição.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Isso revela um problema sutil no design de um motor de jogo. Embora usar apenas matrizes invertíveis pareça uma boa ideia para garantir que as animações possam ser revertidas, o conjunto delas não se comporta como um espaço vetorial. Isso significa que operações simples como somar duas transformações podem levar a um estado "quebrado" (uma transformação não reversível), exigindo tratamento especial no código.

1. Identificando o Vetor Nulo: O vetor nulo é um elemento que, somado a qualquer outro, não o altera. Precisamos de uma função \(z(x)\) tal que \(f(x) + z(x) = f(x)\) para qualquer \(f(x)\). A única função que satisfaz isso é a função constante \(z(x) = 0\). Esta é uma função contínua, então pertence ao conjunto.
2. Identificando o Vetor Inverso: Para um dado "vetor" \(f(x)\), seu inverso \(-f(x)\) deve ser tal que a soma dos dois resulte no vetor nulo (a função \(z(x)=0\)). Portanto, para \(f(x) = \sin(x)\), procuramos uma função \(g(x)\) tal que \(\sin(x) + g(x) = 0\). A solução é \(g(x) = -\sin(x)\). Esta também é uma função contínua.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este conceito, embora altamente abstrato, é a base para técnicas avançadas usadas em jogos modernos. A análise de Fourier, que decompõe sons e imagens em somas de senos e cossenos, trata essas funções como vetores em um espaço vetorial de dimensão infinita. Isso é fundamental para compressão de áudio, efeitos sonoros e shaders gráficos complexos.