ÁLGEBRA ARCADE

1. Monte a equação vetorial \(c_1\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\-1\\5\end{pmatrix}\).
2. Converta em um sistema linear: \(c_1+3c_2=7\), \(2c_1+c_2=-1\), \(-c_1+2c_2=5\).
3. Resolva o sistema. Das duas primeiras equações, você pode encontrar valores para \(c_1\) e \(c_2\).
4. Verifique se esses valores satisfazem a terceira equação. Se sim, o sistema é consistente e o vetor pertence ao span.

Conexão com o Mundo dos Jogos: O `span` de um conjunto de movimentos define todas as áreas "alcançáveis" do jogo. Se um objetivo está fora do `span`, o jogador precisa adquirir uma nova habilidade para chegar lá. É um conceito fundamental para o design de progressão em jogos.

1. Para verificar se dois vetores em \(\mathbb{R}^2\) formam uma base, basta verificar se são Linearmente Independentes. Se forem, eles automaticamente geram o espaço.
2. Forme a matriz \(B\) com os vetores como colunas: \(B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).
3. Calcule o determinante de \(B\). \(\det(B) = (3)(2) - (1)(1)\).
4. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI e, portanto, formam uma base para \(\mathbb{R}^2\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Uma base é um sistema de coordenadas. A base canônica \(\{\vec{i}, \vec{j}\}\) é o sistema "Norte/Leste". Uma base diferente pode ser um sistema "Nordeste/Noroeste", que pode ser mais natural para o movimento em um mapa isométrico, por exemplo.

1. Escreva a equação vetorial: \(c_1\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}\).
2. Simplifique o lado esquerdo: \(\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}\).
3. Por igualdade de vetores, concluímos que \(c_1=7\) e \(c_2=3\).
4. O vetor de coordenadas de \(\vec{v}\) na base canônica, \([\vec{v}]_E\), é \(\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: A base canônica é o sistema de coordenadas padrão de quase todos os motores de jogo. Quando você define a posição de um objeto como `(x, y)`, você está implicitamente usando a base canônica.

1. Monte a equação vetorial: \(c_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\).
2. Converta em um sistema linear: \(c_1 = 3\) e \(c_1 + 2c_2 = 5\).
3. Resolva o sistema. A primeira equação já nos dá \(c_1=3\). Substituindo na segunda, temos \(3 + 2c_2 = 5\), o que leva a \(c_2=1\).
4. O vetor de coordenadas é \([\vec{v}]_B = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Isso acontece constantemente em jogos 3D. A câmera tem seu próprio sistema de coordenadas (base). Para renderizar a cena, o motor precisa calcular as coordenadas de todos os objetos do mundo em relação à base da câmera.

1. Lembre-se da definição de coordenadas: \(\vec{v} = c_1\vec{b_1} + c_2\vec{b_2}\).
2. Substitua os valores dados na equação: \(\vec{v} = 3\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} + (-2)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\).
3. Realize as multiplicações por escalar e a soma dos vetores para encontrar \(\vec{v}\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Isso é usado para o movimento de objetos relativos a outros. Por exemplo, a posição de uma torre em cima de um tanque em movimento. As coordenadas da torre são relativas à base do tanque. Para saber a posição global da torre, o motor do jogo realiza exatamente este cálculo a cada quadro.

1. Teste de Geração (Span): Tente escrever uma matriz simétrica genérica como combinação linear: \(c_1\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\). Isso resulta em \(\begin{pmatrix}c_1&c_2\\c_2&c_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\), o que mostra que podemos encontrar os coeficientes \(c_1=a, c_2=b, c_3=c\). Portanto, o conjunto gera \(S_{22}\).
2. Teste de Independência Linear: Considere a combinação que resulta na matriz nula. Pelo passo anterior, isso implica \(c_1=0, c_2=0, c_3=0\). A única solução é a trivial.
3. Como o conjunto é LI e gera o espaço, ele é uma base.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Definir uma base para um conjunto de "estados" (como matrizes de status) permite que os desenvolvedores armazenem e manipulem esses estados de forma eficiente, usando apenas as coordenadas em vez da matriz inteira.

1. Monte a equação: \(c_1 + c_2(t-1) + c_3(t^2-2t+1) = 4+6t-t^2\).
2. Reagrupe o lado esquerdo por potências de \(t\): \(c_3t^2 + (c_2-2c_3)t + (c_1-c_2+c_3) = -t^2+6t+4\).
3. Iguale os coeficientes correspondentes para formar um sistema linear:
   • \(c_3 = -1\) (coeficientes de \(t^2\))
   • \(c_2-2c_3 = 6\) (coeficientes de \(t\))
   • \(c_1-c_2+c_3 = 4\) (termos constantes)
4. Resolva o sistema para encontrar \(c_1, c_2, c_3\), que são as coordenadas desejadas.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em animação, usar bases como esta (chamadas de bases de Bernstein em um contexto similar) permite controlar as curvas de forma mais intuitiva. As coordenadas podem representar o ponto inicial, a velocidade inicial e a aceleração em um determinado ponto, em vez dos coeficientes abstratos da base canônica.

1. Isole uma variável na equação do plano. Por exemplo, \(z=x+y\).
2. Um vetor genérico no plano tem a forma \(\vec{v} = (x, y, x+y)\).
3. Separe o vetor em partes contendo apenas \(x\) e partes contendo apenas \(y\): \(\vec{v} = (x, 0, x) + (0, y, y)\).
4. Fatore as variáveis livres: \(\vec{v} = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1)\).
5. Isso mostra que qualquer vetor no plano é uma combinação linear de \(\vec{b_1}=(1,0,1)\) e \(\vec{b_2}=(0,1,1)\). Estes dois vetores geram o plano e são LI. Portanto, formam uma base.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Quando se projeta um nível em um terreno plano inclinado, os desenvolvedores definem implicitamente uma base para aquele plano. Os movimentos dos personagens e a colocação de objetos são então calculados em relação a essa base para garantir que permaneçam no chão.

1. Escale a matriz \(A\) para sua forma escalonada (RREF é ainda melhor).
2. Identifique as colunas que contêm as posições de pivô (os "1"s líderes de cada linha).
3. A base para o espaço coluna de \(A\) é o conjunto dos vetores coluna da matriz **original** \(A\) que correspondem a essas posições de pivô.
4. Nota: As colunas da matriz escalonada *não* formam a base do espaço coluna de \(A\), pois as operações de linha podem alterar o espaço coluna.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esta técnica permite que os designers analisem um conjunto complexo de habilidades de personagens e identifiquem quais são as "essenciais" e quais são redundantes (combinações das essenciais). Isso é crucial para o balanceamento e para evitar habilidades inúteis.

1. Resolva o sistema homogêneo \(A\vec{x}=\vec{0}\). A matriz \(A\) já está em forma escalonada.
2. Identifique as variáveis de pivô (correspondentes às colunas de pivô, \(x_1\) e \(x_3\)) e as variáveis livres (as outras, \(x_2\) e \(x_4\)).
3. Escreva as equações: \(x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 0\) e \(x_3 - x_4 = 0\).
4. Expresse as variáveis de pivô em termos das variáveis livres: \(x_1 = -2x_2 - 3x_4\) e \(x_3 = x_4\).
5. Escreva o vetor solução genérico \(\vec{x}\) e separe-o em partes, uma para cada variável livre.
6. \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2x_2 - 3x_4 \\ x_2 \\ x_4 \\ x_4 \end{pmatrix} = x_2\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix} + x_4\begin{pmatrix}-3\\0\\1\\1\end{pmatrix}\).
7. Os vetores que multiplicam as variáveis livres formam a base para o Espaço Nulo.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em física de simulação, o Espaço Nulo de uma matriz de restrições representa todos os movimentos que um personagem ou objeto pode fazer sem violar as regras. Por exemplo, em uma simulação de ragdoll, o Espaço Nulo descreve como as partes do corpo podem se mover sem se desconectar umas das outras.

1. Comece com a equação de teste: \(c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} + c_3\vec{v_3} = \vec{0}\).
2. Para provar que \(c_1=0\), faça o produto escalar de ambos os lados da equação por \(\vec{v_1}\): \(\vec{v_1} \cdot (c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} + c_3\vec{v_3}) = \vec{v_1} \cdot \vec{0}\).
3. Use a linearidade do produto escalar: \(c_1(\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}) + c_2(\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}) + c_3(\vec{v_1}\cdot\vec{v_3}) = 0\).
4. Por serem ortogonais, \(\vec{v_1}\cdot\vec{v_2} = 0\) e \(\vec{v_1}\cdot\vec{v_3} = 0\). A equação se simplifica para \(c_1(\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}) = 0\).
5. Como \(\vec{v_1}\) não é nulo, \(\vec{v_1}\cdot\vec{v_1} = ||\vec{v_1}||^2 \neq 0\). Portanto, a única possibilidade é que \(c_1=0\).
6. Repita o processo, fazendo o produto escalar com \(\vec{v_2}\) e depois com \(\vec{v_3}\), para mostrar que \(c_2=0\) e \(c_3=0\).
7. Como a única solução é a trivial, o conjunto é Linearmente Independente.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Bases ortogonais (e ortonormais) são as melhores "bases GPS". Elas correspondem aos eixos X, Y, Z que usamos intuitivamente. São a fundação para a maioria dos sistemas de coordenadas em física e gráficos de jogos, pois simplificam enormemente os cálculos de distância, rotação e projeção.

1. Este desafio consiste em resolver dois sistemas lineares independentes.
2. Para a Facção A: Resolva o sistema \(A\vec{c}_A = \vec{v}\), que é \(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}\). A solução lhe dará \([\vec{v}]_A\).
3. Para a Facção B: Resolva o sistema \(B\vec{c}_B = \vec{v}\), que é \(\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}\). A solução lhe dará \([\vec{v}]_B\).
4. Observe que, embora o vetor \(\vec{v}\) seja o mesmo, seus vetores de coordenadas \([\vec{v}]_A\) e \([\vec{v}]_B\) são diferentes, pois são medidos em relação a "réguas" diferentes.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este é o problema central da "mudança de base". Um motor de jogo precisa constantemente traduzir coordenadas entre diferentes sistemas: coordenadas do mundo, coordenadas locais de um objeto, coordenadas da câmera, coordenadas da tela. Dominar essa tradução é essencial para que os gráficos e a física funcionem corretamente.