ÁLGEBRA ARCADE

1. Configure a multiplicação de matrizes: \(C = A_2 A_1\).
2. Calcule o primeiro elemento de \(C\) (\(c_{11}\)) multiplicando a primeira linha de \(A_2\) pela primeira coluna de \(A_1\).
3. Continue o processo para os outros três elementos da matriz \(C\).
4. A matriz resultante \(C\) aplica ambos os efeitos de uma só vez.

Conexão com o Mundo dos Jogos: As engines de jogos "achatam" longas sequências de transformações (como a hierarquia de ossos de um personagem) em uma única matriz para cada objeto, otimizando drasticamente os cálculos gráficos.

1. Calcule \(C_1 = BA\): Multiplique a matriz \(B\) pela matriz \(A\).
2. Calcule \(C_2 = AB\): Multiplique a matriz \(A\) pela matriz \(B\).
3. Compare as matrizes \(C_1\) e \(C_2\). Você verá que seus elementos são diferentes, provando que a composição de transformações não é comutativa.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esta é uma regra crucial em animação. Girar o braço de um personagem e depois dobrar o cotovelo produz um resultado muito diferente de dobrar o cotovelo e depois girar o braço inteiro.

1. Use a fórmula do determinante para uma matriz 3x3. A expansão ao longo da terceira linha é a mais simples.
2. A fórmula é \( \det(P) = p_{31}C_{31} + p_{32}C_{32} + p_{33}C_{33} \).
3. Como \(p_{31}=0\) e \(p_{32}=0\), o cálculo se resume a \(p_{33}\) vezes o determinante de sua submatriz 2x2.
4. \( \det(P) = 0 - 0 + 0 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \).
5. Como o determinante é zero, a transformação não é invertível.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A projeção da cena 3D para a tela 2D é uma transformação não-invertível. A informação de profundidade é "perdida". É por isso que técnicas como Z-buffering são necessárias para descobrir qual objeto está na frente de qual.

1. Calcule a matriz de composição \(C = A_2 A_1\).
2. O resultado será uma nova matriz 2x2.
3. Calcule o determinante desta nova matriz \(C\).
4. Uma propriedade útil é que \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\). \(\det(A_1)=1\) e \(\det(A_2)=1\), então \(\det(C)=1\), que é diferente de zero.
5. Como o determinante não é zero, a transformação combinada é invertível.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Os desenvolvedores garantem que as transformações de movimento normais do jogador (andar, virar, pular) sejam sempre invertíveis, para que o jogador possa sempre "desfazer" uma ação (por exemplo, andando para trás).

1. Calcule \(P\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\).
2. Calcule \(P\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\).
3. Observe que ambos os resultados são idênticos.
4. A explicação geométrica é que a transformação "perde" a informação da coordenada y. Múltiplos pontos de entrada são mapeados para um único ponto de saída. Portanto, a transformação não é "um-para-um" e não pode ser invertida.

Conexão com o Mundo dos Jogos: É por isso que em jogos de tiro com "ragdoll physics", uma vez que um personagem cai no chão de uma forma específica, não há como "rebobinar" a física de forma determinística; a informação sobre as forças iniciais foi perdida.

1. Configure a multiplicação \(C = A_2 A_1\).
2. Calcule cada um dos nove elementos de \(C\). Por exemplo, \(c_{11}\) é a primeira linha de \(A_2\) vezes a primeira coluna de \(A_1\): \((1 \cdot 0) + (0 \cdot 0) + (0 \cdot -1) = 0\).
3. Complete o cálculo para todos os elementos para obter a matriz de orientação final.

Conexão com o Mundo dos Jogos: As orientações de objetos em 3D são quase sempre o resultado da composição de várias rotações (chamadas de ângulos de Euler ou quaternions). Esta operação é o coração do movimento em 3D.

1. Calcule o determinante de A: \(\det(A) = (3)(2) - (7)(1) = 6 - 7 = -1\).
2. Como o determinante é \(-1 \neq 0\), a inversa existe.
3. Aplique a fórmula da inversa: troque os elementos da diagonal principal (\(a\) e \(d\)), negue os outros dois (\(b\) e \(c\)), e multiplique a matriz resultante por \(1/\det(A)\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em jogos com manipulação de tempo, como "Braid", a engine precisa calcular a inversa das transformações de física e movimento para "rebobinar" o estado do jogo de forma precisa.

1. Calcule o determinante de \(A\): \(\det(A) = (2)(1) - (-1)(-1) = 1\).
2. Calcule a matriz inversa \(A^{-1}\) usando a fórmula.
3. Uma vez que você tenha \(A^{-1}\), calcule a posição original multiplicando a inversa pelo vetor da posição final: \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{y}\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em sistemas de "replay" ou "killcams", a engine do jogo armazena os estados finais e as transformações. Para mostrar o que aconteceu, ela pode precisar usar inversas para reconstruir estados anteriores.

1. Comece com a equação \(C = XA\).
2. Multiplique pela direita por \(A^{-1}\): \(CA^{-1} = XAA^{-1}\).
3. Como \(AA^{-1} = I\) (matriz identidade), a equação se simplifica para \(X = CA^{-1}\).
4. Calcule a inversa de \(A\), que é \(A^{-1}\).
5. Calcule o produto de matrizes \(C \cdot A^{-1}\) para encontrar \(X\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Isso é usado em sistemas de animação para "resolver" restrições. Se a engine sabe onde o pé de um personagem deve estar (matriz C) e qual a orientação da perna (matriz A), ela pode calcular a rotação necessária do quadril (matriz X).

1. A matriz combinada é \(C = A_3 A_2 A_1\). A multiplicação de matrizes é associativa, então você pode calcular em qualquer agrupamento, desde que mantenha a ordem.
2. Primeiro, calcule a matriz intermediária \(M = A_2 A_1\).
3. Em seguida, use essa matriz \(M\) para calcular o resultado final \(C = A_3 M\).
4. A matriz \(C\) resultante é a transformação que aplica todos os três efeitos de uma só vez.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A "matriz de visão" final em um jogo 3D é o produto de várias matrizes: a matriz do modelo do objeto, a matriz de visão da câmera e a matriz de projeção. A GPU multiplica vértices por esta matriz combinada final.

1. Calcule o lado esquerdo:
   • Calcule a matriz de composição \(C = AB\).
   • Calcule a inversa dessa matriz, \((AB)^{-1} = C^{-1}\).
2. Calcule o lado direito:
   • Calcule a inversa de A, \(A^{-1}\).
   • Calcule a inversa de B, \(B^{-1}\).
   • Calcule o produto das inversas na ordem trocada: \(B^{-1}A^{-1}\).
3. Compare as duas matrizes resultantes. Elas devem ser idênticas, provando a regra.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Isso é análogo a vestir equipamentos. Se você coloca luvas e depois um escudo, para desequipar, você precisa tirar o escudo primeiro e depois as luvas. A ordem de "desfazer" é o reverso da ordem de "fazer".

1. Escreva a equação da transformação: \(\mathbf{y} = B(A\mathbf{x}) = (BA)\mathbf{x}\).
2. Para encontrar \(\mathbf{x}\), você precisa isolá-lo: \(\mathbf{x} = (BA)^{-1}\mathbf{y}\).
3. Use a propriedade da missão anterior: \((BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}\).
4. Calcule \(A^{-1}\) e \(B^{-1}\).
5. Calcule a matriz da transformação inversa total: \(C_{inv} = A^{-1}B^{-1}\).
6. Finalmente, encontre a forma original da chave: \(\mathbf{x} = C_{inv}\mathbf{y}\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Problemas como este aparecem em jogos de puzzle baseados em lógica, onde o jogador vê o estado final de um quebra-cabeça e deve deduzir a sequência de movimentos inversos para chegar ao estado inicial.