ÁLGEBRA ARCADE

1. Identifique a matriz \(A\) e o vetor \(\mathbf{v}\).
2. Para encontrar a primeira componente do vetor resultante, multiplique a primeira linha de \(A\) por \(\mathbf{v}\): \((2 \cdot 3) + (-1 \cdot 5)\).
3. Para encontrar a segunda componente, multiplique a segunda linha de \(A\) por \(\mathbf{v}\): \((1 \cdot 3) + (1 \cdot 5)\).
4. Monte o novo vetor de posição \(\mathbf{w}\) com os resultados.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Essa é a operação mais básica para qualquer tipo de efeito especial: mover, girar, esticar ou distorcer um objeto na tela. A engine do jogo faz esse cálculo milhares de vezes por segundo.

1. Configure a multiplicação da matriz de dilatação \(S\) pelo vetor de posição \(\mathbf{p}\).
2. Calcule a nova coordenada x: \((3 \cdot 8) + (0 \cdot -6)\).
3. Calcule a nova coordenada y: \((0 \cdot 8) + (3 \cdot -6)\).
4. O vetor resultante mostrará o ponto do sprite "esticado" para longe do centro.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Efeitos de crescimento e encolhimento de personagens ou objetos são implementados aplicando uma matriz de escala a todos os vértices que compõem o modelo 3D ou sprite 2D do objeto.

1. Multiplique a matriz de reflexão \(R_y\) pelo vetor de posição do tesouro \(\mathbf{t}\).
2. Observe que a primeira linha da matriz, \((-1, 0)\), multiplicará a coordenada x por -1 e a y por 0.
3. A segunda linha, \((0, 1)\), preservará o valor original da coordenada y.
4. Combine os resultados para obter a posição espelhada.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A reflexão é usada para criar níveis simétricos, para a mecânica de espelhos em puzzles, ou simplesmente para inverter um sprite de personagem quando ele muda de direção (de olhar para a direita para a esquerda).

1. Confirme que a matriz \(R_{90}\) está correta, com os valores de seno e cosseno para 90 graus.
2. Calcule o produto de \(R_{90}\) pelo vetor \(\mathbf{d}\).
3. A primeira componente do novo vetor será \((0 \cdot 5) + (-1 \cdot 2)\).
4. A segunda componente será \((1 \cdot 5) + (0 \cdot 2)\).
5. O resultado é o novo vetor que aponta 90° à esquerda do original.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A rotação é fundamental. É usada para girar personagens, a câmera, objetos em um inventário (como em "Resident Evil 4"), ou para simular a rotação de planetas e outros corpos celestes.

1. Realize a multiplicação da matriz de cisalhamento \(H\) pelo vetor \(\mathbf{p}\).
2. A nova coordenada x será \( (1 \cdot 4) + (0.5 \cdot 10) \).
3. A nova coordenada y será \( (0 \cdot 4) + (1 \cdot 10) \).
4. Observe como a posição do pilar foi "inclinada" para a direita.

Conexão com o Mundo dos Jogos: O cisalhamento é usado para efeitos especiais, como a distorção de uma tela de TV antiga, miragens de calor, portais instáveis, ou para criar uma falsa perspectiva isométrica em jogos 2D.

1. Parte (a): Calcule o vetor soma \(\mathbf{w} = \mathbf{u} + \mathbf{v}\). Em seguida, calcule o produto \(A\mathbf{w}\).
2. Parte (b): Calcule o vetor transformado \(A\mathbf{u}\). Em seguida, calcule o vetor transformado \(A\mathbf{v}\).
3. Some os dois vetores resultantes da Parte (b).
4. Compare o resultado final da Parte (a) com o da Parte (b) para verificar a propriedade da aditividade.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Essa propriedade garante que as transformações se comportem de maneira previsível. Permite que os desenvolvedores apliquem efeitos (como vento ou gravidade) a um movimento complexo ou a cada uma de suas partes, obtendo o mesmo resultado final, o que simplifica a programação da física do jogo.

1. Configure a multiplicação da matriz 3x3 \(A\) pelo vetor 3x1 \(\mathbf{c}\).
2. Calcule a primeira componente do resultado multiplicando a primeira linha de \(A\) por \(\mathbf{c}\).
3. Calcule a segunda componente multiplicando a segunda linha de \(A\) por \(\mathbf{c}\).
4. Calcule a terceira componente multiplicando a terceira linha de \(A\) por \(\mathbf{c}\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em jogos 3D, virtualmente tudo (movimento do jogador, câmera, inimigos, projéteis) é controlado por transformações com matrizes 4x4 (as matrizes 3x3 são um subconjunto para rotação/escala/cisalhamento, e a 4ª dimensão lida com translação).

1. Parte (a): Calcule o vetor de velocidade carregada \(2\mathbf{v}\). Em seguida, multiplique a matriz \(A\) por este novo vetor.
2. Parte (b): Calcule a trajetória transformada para o tiro normal, \(A\mathbf{v}\). Depois, multiplique cada componente do vetor resultante pelo escalar 2.
3. Compare os vetores finais de (a) e (b) para confirmar que são idênticos.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esta propriedade simplifica muito a física. Se um efeito (como vento) altera uma trajetória, os desenvolvedores sabem que um projétil 3x mais rápido simplesmente seguirá a mesma trajetória curva, mas esticada 3x mais longe.

1. Multiplique a matriz de projeção \(P\) pelo vetor de posição \(\mathbf{p}\).
2. Calcule a primeira componente do resultado: \((1 \cdot 50) + (0 \cdot 80) + (0 \cdot 30)\).
3. Calcule a segunda componente: \((0 \cdot 50) + (1 \cdot 80) + (0 \cdot 30)\).
4. Calcule a terceira componente: \((0 \cdot 50) + (0 \cdot 80) + (0 \cdot 30)\).
5. O vetor resultante \(\mathbf{s}\) terá as mesmas coordenadas x e y, mas z=0.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A projeção é a base de como os gráficos 3D funcionam! O mundo do jogo é 3D, mas sua tela é 2D. A placa de vídeo está constantemente usando matrizes de projeção para "achatar" a cena 3D na tela 2D que você vê.

1. Primeiro, calcule o efeito do espelho. Encontre o vetor intermediário \(\mathbf{w} = A_1 \mathbf{v}\).
2. Em seguida, use este novo vetor \(\mathbf{w}\) como entrada para a segunda transformação (a lente).
3. Calcule o vetor final \(\mathbf{z} = A_2 \mathbf{w}\).
4. Este resultado de duas etapas é a direção final do feixe de laser.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Na animação de personagens, o movimento de um osso (ex: a mão) é afetado por uma transformação local (dobrar os dedos) e pela transformação do osso pai (o braço girando). Essas transformações são aplicadas em sequência, exatamente como neste problema.

1. Teste a primeira matriz: Calcule o produto \(A\mathbf{x}\).
2. Compare o resultado de \(A\mathbf{x}\) com o vetor final \(\mathbf{y}\). Se forem iguais, você encontrou a matriz.
3. Se não forem, teste a segunda matriz: Calcule \(B\mathbf{x}\) e compare com \(\mathbf{y}\).
4. Continue o processo até encontrar a matriz \(M\) para a qual \(M\mathbf{x} = \mathbf{y}\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Debugar (encontrar e consertar erros) é uma parte crucial do desenvolvimento. Muitas vezes, os programadores veem um resultado inesperado (um "glitch") e precisam fazer engenharia reversa para descobrir qual parte do código ou qual transformação matemática causou o comportamento indesejado.

1. Calcule a nova posição para cada um dos quatro vértices separadamente.
   • Calcule \(\mathbf{p}_1' = R_{45}\mathbf{p}_1\).
   • Calcule \(\mathbf{p}_2' = R_{45}\mathbf{p}_2\).
   • Calcule \(\mathbf{p}_3' = R_{45}\mathbf{p}_3\).
   • Calcule \(\mathbf{p}_4' = R_{45}\mathbf{p}_4\).
2. Analise os novos vértices. Para verificar se a forma ainda é um quadrado, você pode calcular a distância entre os novos pontos adjacentes (ex: \(\mathbf{p}_1'\) e \(\mathbf{p}_2'\)) e verificar se os comprimentos dos lados permanecem iguais e se os ângulos entre os lados adjacentes são de 90°. (Dica: rotações são transformações rígidas, elas preservam formas e distâncias).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em jogos de estratégia ou stealth, a "área de efeito" de uma habilidade ou o "campo de visão" de um inimigo são polígonos. Quando o personagem ou a torre se move ou gira, a engine precisa transformar todos os vértices desse polígono para recalcular a área de perigo no mapa.