ÁLGEBRA ARCADE

1. Identifique o vetor de posição inicial \( \vec{p} \) e o vetor de deslocamento \( \vec{d} \).
2. A posição final é calculada pela soma \( \vec{p}_{final} = \vec{p} + \vec{d} \).
3. Some as componentes x correspondentes e as componentes y correspondentes para encontrar o novo vetor.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em jogos 2D, a posição de qualquer objeto na tela (personagens, inimigos, itens) é armazenada como um vetor. Cada movimento é simplesmente a adição de um vetor de deslocamento à posição atual do objeto.

1. Identifique o vetor de movimento original \( \vec{v} \) e o escalar \( k=3 \).
2. O novo vetor \( \vec{v}_{boost} \) é encontrado calculando \( k \cdot \vec{v} \).
3. Multiplique cada componente do vetor \( \vec{v} \) pelo escalar 3.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Power-ups que alteram velocidade, força ou tamanho de um efeito visual são implementados multiplicando vetores por escalares. Um escalar maior que 1 aumenta o efeito (boost), enquanto um escalar entre 0 e 1 o diminui (slowdown).

1. Represente as posições A e B como vetores \( \vec{a} = (1, 5) \) e \( \vec{b} = (8, 3) \).
2. O vetor de deslocamento \( \vec{AB} \) é calculado pela subtração \( \vec{b} - \vec{a} \).
3. Subtraia as componentes correspondentes (x de B menos x de A, y de B menos y de A).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Calcular o vetor entre dois objetos é essencial para a IA. É usado para mirar projéteis, fazer inimigos perseguirem o jogador e determinar a direção em que um personagem precisa olhar.

1. Calcule o vetor \( 2\vec{v} \) multiplicando cada componente de \( \vec{v} \) por 2.
2. Calcule o vetor \( 3\vec{u} \) multiplicando cada componente de \( \vec{u} \) por 3.
3. Some os dois vetores resultantes para encontrar a posição final.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Combinações lineares são a base para descrever movimentos complexos. Em animação, a posição de um osso em um esqueleto 3D é muitas vezes uma combinação linear das posições de seus ossos 'pais'.

1. Represente \( P_1 \) e \( P_2 \) como vetores \( \vec{p_1} = (2, 10) \) e \( \vec{p_2} = (12, 4) \).
2. Some os dois vetores: \( \vec{s} = \vec{p_1} + \vec{p_2} \).
3. Multiplique o vetor soma \( \vec{s} \) pelo escalar \( 1/2 \) para encontrar o vetor do ponto médio \( \vec{m} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Calcular o ponto médio é útil para o comportamento da câmera em jogos cooperativos (mantendo a câmera centralizada entre os jogadores), para a lógica de IA (encontrar um ponto de encontro) e para efeitos visuais.

1. Identifique o vetor velocidade do inimigo (\( \vec{v}_{inimigo} \)) e do jogador (\( \vec{v}_{jogador} \)).
2. Calcule a velocidade relativa subtraindo a velocidade do observador (jogador) da velocidade do objeto observado (inimigo).
3. Execute a subtração componente a componente.

Conexão com o Mundo dos Jogos: O conceito de velocidade relativa é fundamental em motores de física para calcular colisões de forma realista. Quando dois objetos em movimento colidem, o que importa é a velocidade com que eles se aproximam um do outro, não suas velocidades em relação ao mundo do jogo.

1. Calcule o vetor da primeira manobra: \( 2\vec{v} = 2 \cdot (0, 5, 1) \).
2. Calcule o vetor de deslocamento total somando o resultado da primeira manobra com o vetor da segunda: \( \vec{d}_{total} = 2\vec{v} + \vec{u} \).
3. A posição final é a posição inicial mais o deslocamento total: \( \vec{p}_{final} = \vec{p} + \vec{d}_{total} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Toda a movimentação em jogos 3D, desde um simples passo de um personagem até o voo complexo de uma nave, é controlada pela manipulação de vetores em \( \mathbb{R}^3 \). Adicionar a terceira dimensão (eixo z) permite profundidade e verticalidade.

1. Represente as posições A, B e C como vetores \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) e \( \vec{c} \).
2. Some os três vetores: \( \vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \).
3. Multiplique o vetor soma \( \vec{s} \) pelo escalar \( 1/3 \) (ou divida cada componente por 3) para encontrar o vetor do centroide \( \vec{g} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Além de controlar câmeras, o cálculo do centroide é usado em física para determinar o ponto de equilíbrio de objetos complexos e em IA para que grupos de inimigos se movam de forma coesa, mantendo o 'centro' da formação.

1. Identifique os vetores de início \( \vec{a} \), de fim \( \vec{b} \) e o parâmetro de interpolação \( t=0.75 \).
2. Calcule o primeiro termo da fórmula: \( (1-t)\vec{a} = 0.25 \cdot (-4, 1, 9) \).
3. Calcule o segundo termo da fórmula: \( t\vec{b} = 0.75 \cdot (8, 5, 1) \).
4. Some os dois vetores resultantes para encontrar a posição interpolada \( \vec{p}(t) \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: A Interpolação Linear (Lerp) é uma das operações mais onipresentes em desenvolvimento de jogos. É usada para suavizar movimentos de câmera, animações de personagens, transições de cores, fade-in/fade-out de áudio e qualquer outra coisa que precise mudar de um estado A para um estado B ao longo do tempo.

1. Lembre-se que o vetor de deslocamento de um ponto de origem \( P_1 \) para um ponto de destino \( P_2 \) é \( \vec{P_2} - \vec{P_1} \).
2. Calcule o primeiro vetor da rota: \( \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} \).
3. Calcule o segundo vetor da rota: \( \vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} \).
4. Calcule o vetor de retorno para fechar o ciclo: \( \vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} \).
5. Verifique opcionalmente que a soma dos vetores de deslocamento em um ciclo fechado (\( \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} \)) resulta no vetor nulo \( (0,0) \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Sistemas de 'waypoints' (pontos de passagem) para a IA são construídos sobre essa lógica. A IA armazena uma lista de vetores de deslocamento e os segue em sequência para patrulhar áreas, seguir caminhos pré-definidos ou executar ações coreografadas.

1. Entenda que a posição absoluta de um aliado é a posição do líder mais o vetor de deslocamento relativo do aliado: \( \vec{a_1} = \vec{l} + \vec{d_1} \).
2. Identifique o novo vetor posição do líder, \( \vec{l'} = (15, 40) \).
3. Calcule a nova posição absoluta do primeiro aliado usando a nova posição do líder: \( \vec{a_1'} = \vec{l'} + \vec{d_1} \).
4. Calcule a nova posição absoluta do segundo aliado da mesma forma: \( \vec{a_2'} = \vec{l'} + \vec{d_2} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Essa é a lógica fundamental por trás de formações de unidades em jogos de estratégia, o movimento de partes de um inimigo 'chefe' que são conectadas, ou até mesmo o sistema de 'câmera de ombro' onde a posição da câmera é sempre a posição do jogador mais um deslocamento fixo.

1. Escreva a equação vetorial da trajetória do laser. A posição do laser \( \vec{L}(t) \) em qualquer instante \( t > 0 \) é \( \vec{L}(t) = \vec{p} + t \cdot \vec{v} \).
2. Separe a equação vetorial em duas equações escalares para as componentes x e y: \( L_x(t) = p_x + t \cdot v_x \) e \( L_y(t) = p_y + t \cdot v_y \).
3. Use a condição da barreira (\( x=17 \)) na primeira equação: \( 17 = 1 + t \cdot 4 \).
4. Resolva essa equação para encontrar o valor do parâmetro \( t \) no momento do impacto.
5. Substitua o valor de \( t \) encontrado na segunda equação (\( L_y(t) \)) para descobrir a coordenada y do ponto de impacto.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esta é a base do 'raycasting', uma técnica extremamente comum usada para detecção de acertos de tiros (hitscan), para a IA 'ver' se há obstáculos em sua frente, para selecionar objetos com o mouse em jogos 3D e muito mais.