ÁLGEBRA ARCADE

1. Substitua o ponto \( P_0=(1,5,3) \) e o vetor diretor \( \vec{v}=(2,-1,4) \) na fórmula \( P(t) = P_0 + t\vec{v} \).
2. Para as equações paramétricas, iguale as componentes: \( (x,y,z) = (1,5,3) + t(2,-1,4) \).
3. Escreva uma equação para cada coordenada: \( x = 1 + 2t \), \( y = 5 - t \), \( z = 3 + 4t \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Essa equação é usada para calcular a trajetória de projéteis "hitscan" (que atingem o alvo instantaneamente, como lasers), para a IA verificar sua linha de visão ("raycasting") e para posicionar objetos ao longo de um caminho reto.

1. Pegue as componentes do vetor normal \( \vec{n}=(4, 0, -5) \) como os coeficientes: \( 4x + 0y - 5z = d \).
2. Substitua as coordenadas do ponto \( P_0=(2, 3, 1) \) na equação: \( 4(2) - 5(1) = d \).
3. Resolva para \( d \).
4. Escreva a equação completa do plano.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Planos são usados como "bounding volumes" para definir limites de níveis, zonas de água, portais e barreiras. A equação do plano permite que o motor do jogo determine rapidamente de que lado de uma superfície um objeto está.

1. Escolha um dos pontos como o ponto inicial, por exemplo, \( P_0 = A \).
2. Calcule o vetor diretor subtraindo as coordenadas dos pontos: \( \vec{v} = B - A \).
3. Substitua o ponto \( P_0 \) e o vetor \( \vec{v} \) na equação da reta \( P(t) = P_0 + t\vec{v} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: É assim que os sistemas de IA baseados em 'waypoints' funcionam. A IA recebe uma lista de pontos e calcula as equações das retas entre eles para navegar pelo cenário do jogo.

1. Pegue a equação do plano: \( 2x - y + 3z = 6 \).
2. Substitua \( x=3, y=3, z=1 \) na parte esquerda da equação.
3. Calcule o valor da expressão.
4. Se o resultado for igual a 6, o ponto pertence ao plano. Caso contrário, não pertence.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esta é a verificação mais básica de colisão com um plano. O jogo substitui as coordenadas do personagem na equação do plano para ver se ele está "atravessando" para o outro lado (o que muda o sinal do resultado).

1. Crie dois vetores no plano: \( \vec{u} = B - A \) e \( \vec{v} = C - A \).
2. Calcule o vetor normal: \( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \). As componentes de \( \vec{n} \) são \( a, b, c \).
3. Use um dos pontos, como A, para encontrar \( d \): \( d = \vec{n} \cdot A \).
4. Escreva a equação final \( ax + by + cz = d \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Como os modelos 3D são feitos de triângulos, esta é a forma como o motor de jogo pode determinar a equação do plano para qualquer polígono em uma cena, o que é essencial para colisões e física.

1. Escreva as equações paramétricas da reta: \( x = 1+t \), \( y = t \), \( z = 10-2t \).
2. Substitua essas expressões na equação do plano: \( (1+t) + 3(t) + (10-2t) = 15 \).
3. Resolva a equação linear para encontrar o valor de \( t \) no momento do impacto.
4. Substitua o valor de \( t \) encontrado de volta nas equações paramétricas para obter as coordenadas \( (x, y, z) \) do ponto de impacto.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Essa é a matemática exata do "raycasting" ou "ray tracing". É usado para tudo: determinar o que o jogador acertou com um tiro, o que um NPC está vendo, onde o mouse está clicando no mundo 3D, e para calcular reflexos e sombras em gráficos avançados.

1. Identifique o vetor diretor da reta: \( \vec{v} = (1, 1, -4) \).
2. Identifique o vetor normal ao plano \( z=0 \). A equação é \( 0x+0y+1z=0 \), então \( \vec{n} = (0, 0, 1) \).
3. Calcule o ângulo \( \theta \) entre \( \vec{v} \) e \( \vec{n} \) usando a fórmula do produto escalar com arcocosseno.
4. O ângulo entre a reta e o plano é \( \alpha = 90^\circ - \theta \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esse cálculo é importante na física para determinar o ângulo de impacto de um objeto em uma superfície, o que pode afetar se ele ricocheteia, gruda ou quebra. Também é usado em gráficos para efeitos como o brilho especular, que depende do ângulo entre a visão do jogador e a superfície.

1. Identifique o vetor normal do primeiro plano: \( \vec{n_1} = (2, -3, 1) \).
2. Identifique o vetor normal do segundo plano: \( \vec{n_2} = (-4, 6, -2) \).
3. Verifique se existe um escalar \( k \) tal que \( \vec{n_2} = k \cdot \vec{n_1} \). Para isso, verifique se a razão entre as componentes correspondentes é constante.
4. Se sim, os planos são paralelos. Se não, são concorrentes.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em geração procedural de mundos, essa verificação é usada para evitar a criação de geometrias "impossíveis", como dois andares de um prédio que se cruzam. O sistema garante que os planos do chão e do teto sejam paralelos.

1. Iguale as equações paramétricas das duas retas:
   \( 1+t = 2s \)
   \( 1+2t = 1+2s \)
   \( t = 1+s \)
2. Você tem um sistema de 3 equações e 2 variáveis. Use duas das equações (por exemplo, a segunda e a terceira) para encontrar os valores de \( s \) e \( t \).
3. Substitua os valores encontrados na primeira equação. Se a igualdade for satisfeita, o sistema tem solução e as retas se cruzam. Se não, as retas são reversas.
4. Se houver solução, substitua o valor de \( t \) em \( r_1 \) (ou \( s \) em \( r_2 \)) para encontrar o ponto de interseção.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Essa verificação é usada em sistemas de tráfego de IA para prever colisões entre NPCs, em design de níveis para garantir que corredores e túneis se alinhem corretamente, e em puzzles que envolvem alinhar feixes de luz ou objetos.

1. Use a fórmula da distância de um ponto \( Q=(x_0, y_0, z_0) \) a um plano \( ax+by+cz-d=0 \). A fórmula é \( D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \).
2. Identifique os valores da equação do plano: \( a=2, b=2, c=-1, d=5 \).
3. Identifique as coordenadas do ponto Q: \( x_0=10, y_0=8, z_0=12 \).
4. Substitua todos os valores na fórmula e calcule o resultado. O numerador é o valor absoluto da equação do plano avaliada no ponto. O denominador é a norma do vetor normal.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Essa é uma das operações de colisão mais importantes. É usada para determinar a que distância um personagem está do chão (para aplicar gravidade ou permitir um pulo), para "empurrar" objetos para fora de paredes após uma colisão, e para a IA saber a que distância está de uma barreira.

1. A fórmula para a distância de um ponto Q a uma reta definida por \( P_0 \) e \( \vec{v} \) usa o produto vetorial: \( D = \frac{\|\vec{P_0Q} \times \vec{v}\|}{\|\vec{v}\|} \).
2. Primeiro, calcule o vetor que liga o ponto inicial da reta ao ponto do asteroide: \( \vec{P_0Q} = Q - P_0 \).
3. Calcule o produto vetorial entre \( \vec{P_0Q} \) e o vetor diretor da reta \( \vec{v} \).
4. Calcule a norma do vetor resultante do produto vetorial. Este é o numerador.
5. Calcule a norma do vetor diretor \( \vec{v} \). Este é o denominador.
6. Divida os dois resultados para encontrar a distância.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Essa geometria é usada em jogos para determinar a que distância um projétil passou de um alvo (para dano em área ou 'near misses'), para a IA decidir se pode ignorar um obstáculo ou se precisa desviar, e em sistemas de mira assistida ('aim assist') para 'puxar' a mira para um inimigo próximo à linha de tiro.

1. O vetor diretor da reta de interseção, \( \vec{v} \), é perpendicular aos vetores normais de ambos os planos. Portanto, ele pode ser encontrado pelo produto vetorial dos normais: \( \vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \).
2. Extraia \( \vec{n_1} \) e \( \vec{n_2} \) das equações dos planos e calcule \( \vec{v} \).
3. Agora, precisamos de um ponto \( P_0 \) que pertença a ambos os planos (ou seja, que esteja na reta). Para encontrá-lo, resolva o sistema de equações dos planos. Como há 2 equações e 3 variáveis, você pode atribuir um valor a uma variável (ex: \( z=0 \)) e resolver para as outras duas.
4. Com o ponto \( P_0 \) e o vetor diretor \( \vec{v} \), escreva a equação da reta de interseção.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em geometria computacional e modelagem procedural, a interseção de planos é usada para criar a topologia de malhas 3D. A linha de interseção forma uma aresta no modelo. Essa técnica é a base para a criação de mundos complexos a partir de formas geométricas simples (uma técnica chamada 'Constructive Solid Geometry' ou CSG).