ÁLGEBRA ARCADE

1. Monte o determinante simbólico com \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) na primeira linha, as componentes de \( \vec{u} \) na segunda e as de \( \vec{v} \) na terceira.
2. Calcule a componente \( \mathbf{i} \): \( (0)(0) - (1)(3) \).
3. Calcule a componente \( \mathbf{j} \): \( (2)(0) - (1)(0) \). Lembre-se de subtrair este termo.
4. Calcule a componente \( \mathbf{k} \): \( (2)(3) - (0)(0) \).
5. Combine os resultados para formar o vetor final \( \vec{w} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este é o cálculo fundamental para criar um sistema de coordenadas local para qualquer objeto em 3D. A partir dos vetores "frente" e "direita", o motor do jogo pode sempre derivar o vetor "cima", garantindo que a orientação do objeto seja consistente.

1. Pegue o vetor \( \vec{w} \) que você encontrou na Missão 1-A.
2. Calcule o primeiro produto escalar: \( \vec{w} \cdot \vec{u} \). Some os produtos das componentes correspondentes. O resultado deve ser 0.
3. Calcule o segundo produto escalar: \( \vec{w} \cdot \vec{v} \). O resultado também deve ser 0.
4. Conclua que, como ambos os produtos escalares são zero, \( \vec{w} \) é ortogonal a \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Os motores de jogo realizam essa verificação (ou confiam nela) constantemente. A iluminação 3D, por exemplo, depende do vetor normal (calculado via produto vetorial) ser verdadeiramente perpendicular à superfície para calcular como a luz reflete.

1. Calcule o produto vetorial \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \).
2. O resultado será um vetor com componentes x, y e z.
3. Calcule a norma do vetor \( \vec{c} \) usando a fórmula \( \|\vec{c}\| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2 + c_z^2} \).
4. O valor numérico da norma é a área do paralelogramo.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Embora não seja comum calcular áreas de efeito dessa forma (geralmente se usam círculos ou retângulos), essa propriedade é crucial na física de fluidos simulada, onde a magnitude do produto vetorial entre a velocidade do fluido e um vetor normal de superfície pode determinar a força de arrasto.

1. Escolha um vértice como ponto de partida, por exemplo, P.
2. Crie o primeiro vetor de aresta: \( \vec{u} = \vec{Q} - \vec{P} \).
3. Crie o segundo vetor de aresta: \( \vec{v} = \vec{R} - \vec{P} \).
4. Calcule o produto vetorial \( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \). Este será um vetor normal à superfície do triângulo.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este é um dos usos mais importantes do produto vetorial em computação gráfica. O cálculo do vetor normal para cada face de um modelo 3D é um passo essencial no pipeline de renderização, determinando como a luz interage com o objeto para criar sombras e destaques.

1. Calcule o produto vetorial \( \vec{c} = \vec{u} \times \vec{v} \).
2. Calcule a norma do vetor resultante: \( \|\vec{c}\| \).
3. A área do portal é \( \frac{1}{2} \|\vec{c}\| \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em simulações de física mais avançadas, calcular a área da superfície de um objeto (somando as áreas de todos os seus triângulos) é importante para determinar propriedades como resistência do ar ou pressão de fluidos.

1. Calcule o primeiro produto vetorial: \( (1,0,0) \times (0,1,0) \).
2. Calcule o segundo produto vetorial: \( (0,1,0) \times (1,0,0) \).
3. Compare os dois vetores resultantes. Eles devem ser idênticos em magnitude, mas com sinais opostos em todas as componentes.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esta propriedade é vital para o "back-face culling", uma otimização onde o motor de renderização não desenha os triângulos que estão de costas para a câmera. O jogo usa o produto vetorial para determinar a orientação da face e, se ela estiver "de costas", é simplesmente ignorada, economizando muito poder de processamento.

1. Calcule \( \vec{d} = (0, 1, 1) \times (0, 1, 0) \). O resultado será o vetor "direita".
2. Pegue o vetor \( \vec{d} \) que você acabou de encontrar e o vetor original \( \vec{f} \).
3. Calcule \( \vec{u} = \vec{d} \times \vec{f} \). O resultado será o vetor "cima" real, perfeitamente ortogonal aos outros dois.
4. O conjunto \( \{ \vec{f}, \vec{d}, \vec{u} \} \) agora forma uma base ortogonal para a câmera.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este procedimento, conhecido como processo de ortogonalização de Gram-Schmidt (em uma versão simplificada), é usado para construir a matriz de visualização ("View Matrix") da câmera, que transforma as coordenadas de todos os objetos do mundo para o sistema de coordenadas da câmera antes de serem projetados na tela.

1. Monte o determinante para calcular \( \vec{r} \times \vec{F} \), com as componentes de \( \vec{r} \) na segunda linha e as de \( \vec{F} \) na terceira.
2. Calcule cada componente do vetor resultante.
3. Interprete o resultado: a direção do vetor torque é o eixo de rotação, e sua magnitude é a intensidade da rotação.

Conexão com o Mundo dos Jogos: O produto vetorial é o coração da simulação de rotações em motores de física como Havok ou PhysX. Qualquer força que não seja aplicada no centro de massa de um objeto gera um torque que é calculado dessa forma para produzir uma rotação realista.

1. Calcule o produto vetorial \( \vec{d} = \vec{a} \times \vec{b} \).
2. O resultado será um vetor. Chame-o de \( \vec{d} \).
3. Calcule o produto escalar \( \vec{d} \cdot \vec{c} \).
4. O volume é o valor absoluto do escalar resultante.

Conexão com o Mundo dos Jogos: O produto misto não é tão comum quanto os outros, mas é usado em física avançada para detectar certos tipos de colisão e em geometria computacional para determinar a orientação ("winding order") de tetraedros em malhas volumétricas.

1. Primeiro, encontre o vetor normal ao plano. Para isso, crie dois vetores de aresta no plano, como \( \vec{u} = \vec{Q} - \vec{P} \) e \( \vec{v} = \vec{R} - \vec{P} \).
2. Calcule o vetor normal \( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \). As componentes deste vetor são os coeficientes \( a, b, c \) da equação do plano.
3. Agora você tem a forma \( ax + by + cz = d \). Para encontrar \( d \), substitua as coordenadas de um dos pontos originais (P, Q ou R) na equação. Por exemplo, usando P: \( a(p_x) + b(p_y) + c(p_z) = d \).
4. Resolva para \( d \) e escreva a equação final completa do plano.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A equação do plano é fundamental para a detecção de colisão 3D. Quando um personagem se move, o jogo verifica se sua nova posição "cruzou" o plano do chão. É também usada para reflexões em superfícies planas (como um espelho) e para "prender" personagens ao chão em terrenos irregulares.

1. Crie três vetores a partir de um ponto em comum, por exemplo, A: \( \vec{AB} = \vec{B}-\vec{A} \), \( \vec{AC} = \vec{C}-\vec{A} \), e \( \vec{AD} = \vec{D}-\vec{A} \).
2. Se os quatro pontos forem coplanares, esses três vetores também serão.
3. Três vetores são coplanares se o volume do paralelepípedo que eles formam for zero. Calcule o produto misto: \( (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} \).
4. Se o resultado for zero, os pontos são coplanares. Caso contrário, não são.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Ferramentas de modelagem 3D e editores de níveis usam esse teste para validar a geometria. Muitos motores de jogo só funcionam bem com geometria "planar" (quadriláteros e polígonos cujos vértices estão no mesmo plano), e essa verificação matemática garante que os modelos criados sejam válidos.

1. Identifique o vetor posição \( \vec{r} \) e o vetor momento linear \( \vec{p} \).
2. Aplique a fórmula do produto vetorial para calcular \( \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \).
3. Monte o determinante com \( \vec{r} \) na segunda linha e \( \vec{p} \) na terceira.
4. Calcule as componentes do vetor resultante. Este vetor representa o eixo e a magnitude da "quantidade de rotação" do asteroide em torno do planeta.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A conservação do momento angular é um princípio fundamental da física. Em simulações realistas, os motores de física garantem que \( \vec{L} \) permaneça constante na ausência de torques externos. Isso é o que faz patinadores girarem mais rápido ao encolher os braços e o que mantém planetas em suas órbitas.