ÁLGEBRA ARCADE

1. Identifique as componentes do vetor: \( v_x = 3 \) e \( v_y = 4 \).
2. Eleve cada componente ao quadrado: \( v_x^2 = 9 \) e \( v_y^2 = 16 \).
3. Some os quadrados: \( 9 + 16 = 25 \).
4. Calcule a raiz quadrada do resultado para encontrar a norma.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A norma é usada para calcular a velocidade escalar de um objeto (a leitura do "velocímetro"), o alcance de uma arma, a força de uma explosão e qualquer outra mecânica que dependa do comprimento de um vetor.

1. Calcule o vetor de deslocamento \( \vec{d} = \vec{P_2} - \vec{P_1} \).
2. Subtraia as componentes correspondentes: \( \vec{d} = (7-2, 13-1) \).
3. Agora, calcule a norma do vetor de deslocamento \( \vec{d} \) usando a fórmula \( \|\vec{d}\| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: O cálculo de distância é onipresente: a IA usa para decidir qual alvo é o mais próximo, o jogo usa para determinar se um clique do mouse acertou um inimigo, e a física usa para detectar colisões (se a distância for menor que a soma dos raios dos objetos).

1. Calcule a norma do vetor \( \vec{d} = (8, -6) \). \( \|\vec{d}\| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} \).
2. O resultado da norma será o escalar pelo qual você dividirá o vetor.
3. Crie o novo vetor \( \hat{d} \) dividindo cada componente de \( \vec{d} \) pela norma calculada.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Vetores unitários são a espinha dorsal do controle de movimento. Para fazer um personagem andar a uma velocidade constante em qualquer direção (incluindo diagonais), o jogo pega o vetor de direção do joystick, o normaliza para ter comprimento 1 e depois o multiplica pela velocidade desejada.

1. O vetor posição do orc é \( \vec{p} = (7, 6) \).
2. Calcule a norma de \( \vec{p} \): \( \|\vec{p}\| = \sqrt{7^2 + 6^2} \).
3. Compare o valor numérico da norma com 10. Se for menor ou igual a 10, está no alcance.
4. Dica de cálculo: você pode comparar os quadrados para evitar raízes. \( \|\vec{p}\|^2 \) vs \( 10^2 \). Se \( 7^2 + 6^2 \le 100 \), está no alcance. Isso é computacionalmente mais rápido.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esta é a lógica exata usada em jogos de estratégia e MOBA para determinar a 'agressão' de torres e unidades. A cada frame, o jogo calcula a distância de todos os inimigos próximos e ataca o primeiro que entrar em seu raio de ação.

1. Calcule o vetor de deslocamento \( \vec{d} = \vec{B} - \vec{A} = (9-1, 8-2, 18-3) \).
2. Calcule a norma de \( \vec{d} \) usando a fórmula para R³: \( \|\vec{d}\| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2 + d_z^2} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em jogos 3D, a distância é usada para 'level of detail' (LOD), onde objetos distantes são renderizados com menos polígonos para economizar processamento. Também é usada para atenuar o som: quanto mais longe a fonte sonora, menor o volume.

1. Para (a), calcule \( \|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \).
2. Para (b), calcule o novo vetor \( \vec{v}_{boost} = 4 \cdot (1, 2, 2) = (4, 8, 8) \).
3. Calcule a norma do novo vetor: \( \|\vec{v}_{boost}\| = \sqrt{4^2 + 8^2 + 8^2} \).
4. Alternativamente para (b), use a propriedade: a nova norma será \( 4 \times \) a norma que você calculou na parte (a).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Entender essa propriedade economiza cálculos. Se o jogo já sabe a velocidade base de um personagem, para aplicar um power-up de "velocidade em dobro", ele não precisa recalcular a norma do novo vetor, apenas multiplica a velocidade escalar conhecida por 2.

1. Calcule o quadrado da distância até E1: \( d(P, E_1)^2 = (-3-0)^2 + (4-0)^2 \).
2. Calcule o quadrado da distância até E2: \( d(P, E_2)^2 = (5-0)^2 + (2-0)^2 \).
3. Compare os dois valores quadrados. O menor indica o inimigo mais próximo.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A "otimização da raiz quadrada" (comparar distâncias ao quadrado) é uma técnica padrão em programação de jogos. Como a função de raiz quadrada é computacionalmente "cara", evitá-la em loops que rodam milhares de vezes por segundo (como checagens de IA) otimiza significativamente o desempenho do jogo.

1. Encontre a norma do vetor de direção \( \vec{d} \).
2. Normalize \( \vec{d} \) para obter o versor \( \hat{d} = \frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|} \).
3. O vetor velocidade final é \( \vec{v} = 15 \cdot \hat{d} \). Multiplique o escalar 15 por cada componente do versor \( \hat{d} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este é o processo exato para programar qualquer movimento com velocidade constante: obter a direção (do jogador ou da IA), normalizá-la e multiplicá-la pela velocidade do personagem. Isso garante que o personagem não se mova mais rápido nas diagonais, um bug comum em jogos iniciantes.

1. Calcule o comprimento do lado AB: \( d(A,B) = \|\vec{B}-\vec{A}\| = \sqrt{(5-1)^2 + (9-1)^2} \).
2. Calcule o comprimento do lado BC: \( d(B,C) = \|\vec{C}-\vec{B}\| = \sqrt{(8-5)^2 + (5-9)^2} \).
3. Calcule o comprimento do lado CA: \( d(C,A) = \|\vec{A}-\vec{C}\| = \sqrt{(1-8)^2 + (1-5)^2} \).
4. Compare os três resultados numéricos para classificar o triângulo.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Ferramentas de edição de níveis (Level Editors) frequentemente usam esses cálculos para fornecer informações úteis aos designers, como alinhar objetos, garantir simetria ou verificar se a geometria de uma área atende a certos requisitos de jogabilidade.

1. Primeiro, determine o vetor de direção do tiro, que é o vetor que vai do arqueiro até a maçã: \( \vec{d} = \vec{B} - \vec{A} \).
2. Em seguida, normalize este vetor de direção para obter a "direção pura" do tiro, o versor \( \hat{d} \). Para isso, calcule a norma de \( \vec{d} \) e divida \( \vec{d} \) por ela.
3. Finalmente, para dar a magnitude correta à flecha, multiplique o versor \( \hat{d} \) pela velocidade escalar desejada (20). O resultado é o vetor velocidade \( \vec{v} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esta missão combina todas as habilidades da fase em um único problema, que é um dos mais comuns na programação de jogos: criar o movimento de um projétil. A mesma lógica se aplica a mísseis teleguiados, raios laser ou qualquer objeto que precise se mover de um ponto A para um ponto B com velocidade constante.

1. Encontre o vetor de direção do laser, \( \vec{d} = \vec{B} - \vec{A} \).
2. Normalize o vetor de direção \( \vec{d} \) para obter o versor \( \hat{d} \), que representa a direção do feixe com comprimento 1.
3. Para encontrar um ponto que está a 5 unidades de distância de A ao longo dessa direção, simplesmente escale o versor por 5: \( 5 \cdot \hat{d} \). Este será o vetor de deslocamento a partir de A.
4. A posição final do efeito de faísca é a posição inicial mais o vetor de deslocamento: \( \vec{P}_{faísca} = \vec{A} + 5 \cdot \hat{d} \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Essa técnica é usada para posicionar efeitos visuais (VFX) ao longo de uma trajetória, para determinar o ponto de impacto de um projétil de alcance limitado, ou para a IA decidir até onde pode se mover em uma determinada direção em um único turno.

1. A condição para um ponto P estar dentro ou sobre uma esfera de centro C e raio R é que a distância entre P e C seja menor ou igual a R: \( d(P, C) \le R \).
2. Calcule a distância do asteroide ao centro do escudo: \( d(P, C) = \|\vec{P} - \vec{C}\| = \|\vec{P}\| \).
3. Compare o valor da distância calculada com o raio do escudo (9).
4. Se a distância for menor que 9, está dentro. Se for igual a 9, está na fronteira. Se for maior que 9, está fora. (Dica: é mais fácil comparar os quadrados da distância e do raio).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esta é a forma mais simples e comum de detecção de colisão, conhecida como "sphere casting" ou "bounding sphere". Muitos objetos complexos em jogos são aproximados por uma esfera invisível, e o jogo primeiro testa a colisão entre essas esferas (que é um cálculo de distância muito rápido) antes de fazer testes de colisão mais precisos e caros com a malha poligonal do objeto.