ÁLGEBRA ARCADE

1. Escreva o sistema de equações uma sobre a outra.
2. Some a primeira equação à segunda. O termo \( y \) será cancelado.
3. Resolva a equação resultante para encontrar o valor de \( x \).
4. Substitua o valor de \( x \) encontrado em qualquer uma das equações originais para encontrar o valor de \( y \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Calcular a interseção de caminhos é fundamental para a IA prever colisões, determinar pontos de encontro ou interceptar o jogador. Em 2D, isso se resume a resolver um sistema linear 2x2.

1. Monte o sistema com as duas equações.
2. Subtraia a segunda equação da primeira: \( (x - 2y) - (x - 2y) = 4 - (-2) \).
3. Simplifique a equação. Você chegará a uma contradição, como \( 0 = 6 \).
4. Uma contradição significa que o sistema é inconsistente (não tem solução). Geometricamente, isso significa que as retas são paralelas e nunca se cruzam.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em design de níveis, garantir que certas barreiras ou caminhos sejam paralelos é importante para criar corredores ou zonas seguras. A matemática por trás disso é a de um sistema linear sem solução.

1. Divida a segunda equação, \( 6x - 2y = 4 \), por 2.
2. Você obterá \( 3x - y = 2 \), que é idêntica à primeira equação.
3. Quando as equações são equivalentes, qualquer ponto que satisfaz uma, satisfaz a outra. Isso leva a uma identidade como \( 0 = 0 \) se você tentar eliminá-las.
4. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções. Geometricamente, as duas retas são coincidentes; elas são, na verdade, a mesma reta.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Este cenário pode aparecer como um "glitch no código" ou uma redundância. Se dois sistemas de lógica diferentes (por exemplo, física e IA) estão tentando controlar um objeto com as mesmas regras, eles estão descrevendo o mesmo caminho geométrico.

1. Da primeira equação, sabemos que \( x = 5 \).
2. Da segunda equação, sabemos que \( y = 3 \).
3. Substitua esses valores na terceira equação: \( (5) + (3) + z = 10 \).
4. Resolva para \( z \). O ponto de interseção será \( (5, 3, z) \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Mecânicas de "triangulação" em jogos, onde o jogador deve usar múltiplos sinais ou pistas para encontrar um local, são uma aplicação direta da resolução de sistemas lineares. O ponto de solução é o local do objetivo.

1. Traduza as regras para equações: \( 2A + D = 12 \) e \( A + 3D = 11 \).
2. Resolva o sistema. Por exemplo, usando substituição: isole \( D \) na primeira equação (\( D = 12 - 2A \)).
3. Substitua essa expressão para \( D \) na segunda equação.
4. Resolva a nova equação para encontrar o valor de \( A \).
5. Substitua o valor de \( A \) de volta em \( D = 12 - 2A \) para encontrar \( D \).

Conexão com o Mundo dos Jogos: O balanceamento de atributos, economia de recursos em jogos de estratégia, e até mesmo a distribuição de pontos de experiência, são frequentemente modelados e resolvidos usando sistemas de equações lineares.

1. Defina \( z = t \).
2. Substitua \( z=t \) na primeira equação: \( x + t = 4 \). Isole \( x \).
3. Substitua \( z=t \) na segunda equação: \( y + t = 6 \). Isole \( y \).
4. Escreva as equações paramétricas para \( x, y, z \). Isso descreve a reta de interseção.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em modelagem 3D e design de níveis, a interseção de dois planos define uma aresta. A matemática para encontrar essa aresta é resolver um sistema linear e parametrizar a solução como uma reta.

1. Compare as equações do Plano 1 e do Plano 2. A expressão \( x+y+z \) não pode ser igual a 6 e a 10 ao mesmo tempo.
2. Isso é uma contradição direta. O sistema é inconsistente e não tem solução.
3. Geometricamente, o Plano 1 e o Plano 2 são paralelos e distintos. Como eles nunca se cruzam, é impossível que os três planos se encontrem em um ponto (ou mesmo em uma linha) comum.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Detectar inconsistências em sistemas lógicos é uma parte crucial da depuração. Se um objeto recebe comandos contraditórios (ex: "esteja na posição A" e "esteja na posição B" ao mesmo tempo), o resultado é um 'glitch'. A análise de sistemas lineares pode modelar e identificar esses problemas.

1. Divida a equação do Plano 2 por 2. Você obterá a mesma equação do Plano 1.
2. Isso significa que o Plano 1 e o Plano 2 são coincidentes. A informação do Plano 2 é redundante.
3. O sistema efetivamente se resume a duas equações não-paralelas (Plano 1 e Plano 3) em três variáveis.
4. A interseção de dois planos não-paralelos é sempre uma reta. Portanto, o sistema tem infinitas soluções ao longo de uma linha.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em sistemas de constraints (restrições) na física de animação, a detecção de equações redundantes é importante para a estabilidade e eficiência do solver. Se duas restrições estão tentando fazer a mesma coisa, uma pode ser removida para acelerar os cálculos.

1. Resolva o sistema 2x2 formado pelas Reta 1 e Reta 2. Somando as duas equações, você encontrará \( 2x = 4 \), então \( x=2 \). Substituindo de volta, \( y=1 \). O ponto de interseção é \( (2,1) \).
2. Agora, verifique se o ponto \( (2,1) \) satisfaz a equação da Reta 3.
3. A Reta 3 é \( x=2 \). Como a coordenada x do nosso ponto é 2, a equação é satisfeita.
4. Como o ponto satisfaz todas as três equações, o sistema é consistente e a solução é \( (2,1) \). As três pistas apontam para o mesmo local.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Sistemas sobredeterminados aparecem em problemas de otimização, como o "inverse kinematics" (IK), onde o sistema tenta satisfazer múltiplas restrições (ex: mão deve tocar o objeto, cotovelo não pode dobrar para trás) para encontrar a melhor pose para um personagem.

1. Para que o sistema tenha infinitas soluções, as equações (ou os vetores normais) devem ser linearmente dependentes. Isso ocorre quando o determinante da matriz de coeficientes é zero.
2. Monte a matriz 3x3 com os coeficientes de x, y e z das três equações.
3. Calcule o determinante dessa matriz. O resultado será uma expressão em termos de \( k \).
4. Iguale o determinante a zero e resolva para \( k \). Esse valor de \( k \) fará com que um plano seja uma combinação linear dos outros, resultando em uma linha de interseção (assumindo que o sistema seja consistente).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Parâmetros em equações são a base de jogos com física ajustável ou puzzles dinâmicos. O jogador pode mover um controle deslizante (alterando um 'k') que muda o comportamento do mundo do jogo, e a transição entre diferentes tipos de solução (ex: de estável para instável) pode ser um objetivo de jogabilidade.

1. Um sistema homogêneo (onde todos os termos constantes são zero) tem soluções não triviais se, e somente se, o determinante da matriz de coeficientes for zero.
2. Monte a matriz de coeficientes com as três equações.
3. Calcule o determinante.
4. Se o determinante for diferente de zero, a única solução é a trivial (0,0,0) e o sistema é estável.
5. Se o determinante for igual a zero, existem infinitas soluções (uma linha ou plano de instabilidade passando pela origem). Observe se há alguma dependência linear entre as equações.

Conexão com o Mundo dos Jogos: O "espaço nulo" de uma matriz (o conjunto de soluções para \( A\vec{x}=0 \)) é um conceito fundamental em animação por computador. Ele representa os movimentos que um personagem pode fazer sem violar suas restrições (por exemplo, os movimentos de um braço que mantêm a mão fixa em um ponto).

1. **Plano 1:** Perpendicular ao eixo x significa que seu normal é \( \vec{n_1}=(1,0,0) \). Se passa por \( (5,1,1) \), sua equação é \( 1x+0y+0z = 1(5) \), ou seja, \( x=5 \).
2. **Plano 2:** Use o normal \( \vec{n_2}=(0,1,1) \) e o ponto \( (0,2,2) \) para achar a equação. \( 0x+1y+1z = 0(0)+1(2)+1(2) \), ou seja, \( y+z=4 \).
3. **Plano 3:** Encontre o normal usando o produto vetorial \( \vec{n_3} = (B-A) \times (C-A) \). Depois, use um dos pontos para achar a equação do plano.
4. Agora você tem um sistema 3x3 com as três equações. Resolva-o, provavelmente por substituição, já que a primeira equação é muito simples.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esta missão simula um problema completo de geometria computacional. Em um jogo, os dados sobre a geometria (pontos, normais) são a entrada, e o motor precisa primeiro construir as representações algébricas (equações) para depois realizar cálculos com elas, como encontrar interseções.