ÁLGEBRA ARCADE

1. Pegue os valores propostos, \(x=3\) e \(y=1\), e substitua-os na primeira equação do sistema. Verifique se o resultado do lado esquerdo é igual ao do lado direito.
2. Agora, faça o mesmo para a segunda equação: substitua os mesmos valores de \(x\) e \(y\) e confira se a igualdade se mantém.
3. Se ambas as equações se tornaram verdadeiras após a substituição, então o par de valores é a solução do sistema. Caso contrário, não é.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Isso é análogo a testar uma senha ou um item em um jogo. Se o item não funciona em todas as condições necessárias (abrir todas as fechaduras, por exemplo), ele não é a solução para aquele puzzle específico.

1. Como ambas as equações já isolam a variável \(y\), podemos usar o método da comparação (ou substituição). Se \(y\) é igual a duas coisas diferentes, essas duas coisas devem ser iguais entre si.
2. Construa uma nova equação igualando as expressões para \(y\): \(-x + 5 = 2x - 1\).
3. Resolva esta nova equação, que agora possui apenas a variável \(x\), para encontrar a coordenada \(x\) da colisão.
4. Depois de encontrar o valor de \(x\), substitua-o em QUALQUER uma das duas equações originais para encontrar o valor correspondente de \(y\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: A detecção de colisão é fundamental em quase todos os jogos. A solução de um sistema de equações é a base matemática para determinar o ponto exato onde objetos em movimento se encontram.

1. Alinhe as duas equações verticalmente.
2. Some o lado esquerdo da primeira equação com o lado esquerdo da segunda. Faça o mesmo para o lado direito.
3. Observe que a variável \(d\) será eliminada no processo de soma, resultando em uma equação com apenas a variável \(a\).
4. Resolva esta nova equação para encontrar o valor de \(a\).
5. Substitua o valor de \(a\) encontrado em uma das equações originais para descobrir o valor de \(d\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: O balanceamento de jogos (game balancing) usa sistemas de equações para garantir que nenhum personagem, item ou estratégia seja forte ou fraco demais, mantendo o jogo justo e divertido.

1. Traduza o problema em um sistema de duas equações. A primeira frase resulta em uma equação e a segunda, em outra.
2. Na segunda equação (\(f + t = 5\)), isole uma das variáveis. Por exemplo, escreva \(f\) em função de \(t\).
3. Pegue a expressão para \(f\) que você encontrou e substitua-a no lugar de \(f\) na primeira equação.
4. Agora você terá uma equação com apenas a variável \(t\). Resolva-a para encontrar o valor de um ticket.
5. Com o valor de \(t\) em mãos, substitua-o de volta na equação onde você isolou \(f\) para encontrar o custo de uma ficha.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Jogos de estratégia e RPGs frequentemente têm sistemas econômicos complexos. Entender o valor relativo de cada recurso é crucial para a vitória, e isso pode ser modelado com sistemas de equações.

1. Observe que somar as equações diretamente não ajuda. Escolha uma variável para eliminar, por exemplo, \(s\).
2. Para eliminar \(s\), o coeficiente na segunda equação precisa ser o oposto do coeficiente na primeira (\(2s\)). Portanto, multiplique a segunda equação inteira (ambos os lados) por -2.
3. Reescreva o sistema com a nova segunda equação.
4. Agora, some a primeira equação com a nova segunda equação. A variável \(s\) será cancelada.
5. Resolva a equação resultante para encontrar o valor de \(v\).
6. Substitua o valor de \(v\) em qualquer uma das equações originais para encontrar \(s\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em RPGs, os bônus de status (stats) de equipamentos e habilidades se acumulam. Calcular o efeito final ou o valor base de cada atributo muitas vezes requer a resolução de sistemas como este.

1. Escreva o sistema de 3 equações com base nas dicas: \(x+y+z=9\), \(x=z\), \(x+y=5\).
2. Use a equação mais simples, \(x=z\), para fazer uma substituição. Substitua todo \(z\) na primeira equação por \(x\).
3. A primeira equação se tornará uma equação apenas com \(x\) e \(y\).
4. Agora você tem um sistema 2x2 com a nova primeira equação e a terceira equação original.
5. Resolva este novo sistema 2x2 para encontrar os valores de \(x\) e \(y\).
6. Use a relação \(x=z\) para encontrar o valor de \(z\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Puzzles que envolvem encontrar combinações secretas ou alinhar mecanismos são comuns. A lógica por trás deles é, frequentemente, um sistema de equações que precisa ser decifrado.

1. Prepare o sistema para o método da adição. Multiplique a primeira equação por -2.
2. A nova primeira equação será o resultado dessa multiplicação. A segunda equação permanece a mesma.
3. Some a nova primeira equação com a segunda equação.
4. Observe que tanto a variável \(x\) quanto a variável \(y\) serão eliminadas, resultando em 0 no lado esquerdo.
5. Observe o valor resultante no lado direito. Você chegará a uma afirmação matematicamente impossível (como \(0 = 2\)).
6. Uma afirmação falsa como essa significa que o sistema não tem solução. É inconsistente.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Graficamente, isso representa duas linhas paralelas. Em design de jogos, isso pode ser intencional (duas naves voando em formação) ou um bug (um projétil que nunca atinge um alvo que se move em paralelo).

1. Tente resolver o sistema pelo método da adição. Multiplique a primeira equação por -2.
2. Some a equação resultante com a segunda equação do sistema.
3. Você notará que tanto as variáveis quanto os termos constantes se anulam, resultando na identidade \(0 = 0\).
4. Uma afirmação que é sempre verdadeira, como \(0=0\), indica que as duas equações são, na verdade, a mesma. Uma é apenas um múltiplo da outra.
5. Isso significa que qualquer solução que funciona para a primeira equação também funcionará para a segunda. Existem infinitos pontos de encontro.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Isso representa duas retas coincidentes (uma sobre a outra). Os guardas estão patrulhando exatamente o mesmo caminho. Eles podem se encontrar em qualquer ponto de sua rota compartilhada.

1. Escolha uma variável para eliminar. A variável \(a\) é uma boa candidata, pois seus coeficientes são 1, 1, e -1.
2. Passo A: Some a primeira e a terceira equações. Isso eliminará \(a\) e resultará em uma nova equação com apenas \(f\) e \(m\).
3. Passo B: Some a segunda e a terceira equações. Isso também eliminará \(a\) e resultará em uma segunda equação com \(f\) e \(m\).
4. Agora você tem um sistema 2x2 formado pelas duas novas equações geradas nos Passos A e B. Resolva este sistema para encontrar os valores de \(f\) e \(m\).
5. Finalmente, substitua os valores de \(f\) e \(m\) em qualquer uma das três equações originais para encontrar o valor de \(a\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Sistemas de "crafting" em jogos complexos frequentemente envolvem receitas com múltiplos ingredientes e restrições, uma aplicação direta de sistemas de equações para encontrar as quantidades corretas.

1. Este é um sistema 2x2 padrão, mas os números não se cancelarão facilmente. Escolha o método da adição.
2. Para eliminar \(x\), encontre o mínimo múltiplo comum dos coeficientes de \(x\) (5 e 2), que é 10.
3. Multiplique a primeira equação por 2 e a segunda equação por -5 para que os coeficientes de \(x\) se tornem opostos (10 e -10).
4. Some as duas novas equações resultantes. A variável \(x\) será eliminada.
5. Resolva a equação restante para encontrar o valor de \(y\). A resposta provavelmente será uma fração.
6. Substitua o valor fracionário de \(y\) em uma das equações originais e resolva para \(x\). Tenha cuidado com as operações com frações.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em simulações de física ou programação de IA, os valores raramente são números inteiros. Posição, velocidade e outras variáveis são representadas por números de ponto flutuante, exigindo cálculos precisos como neste exercício.

1. Analise a relação entre os lados esquerdos das duas equações. Observe que o lado esquerdo da segunda equação é exatamente 3 vezes o lado esquerdo da primeira.
2. Para que o sistema tenha solução (seja consistente), a mesma relação deve se aplicar aos lados direitos.
3. Um sistema é inconsistente (sem solução) quando os lados esquerdados são múltiplos um do outro, mas os lados direitos não seguem a mesma proporção.
4. Multiplique a primeira equação inteira por 3. Isso lhe dará uma nova equação.
5. Compare essa nova equação com a segunda equação original (\(3x + 6y = k\)). Para que o sistema seja inconsistente, os lados esquerdos devem ser idênticos, mas os lados direitos devem ser diferentes.
6. Determine qual valor de \(k\) faria os lados direitos serem iguais, e conclua que qualquer outro valor de \(k\) tornará o sistema inconsistente.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Parâmetros são usados constantemente na programação de jogos para ajustar a dificuldade, o comportamento dos inimigos ou as regras da física. Encontrar valores críticos desses parâmetros pode levar a comportamentos inesperados ou "glitches", que às vezes são explorados por jogadores (speedrunners).

1. Traduza cada observação de ataque em uma equação linear, formando um sistema 3x3. Por exemplo, a primeira observação se torna \(f + g + t = 1500\).
2. Observe que a segunda e a terceira equações já possuem uma variável faltando. Isso simplifica o problema.
3. Use a segunda equação para isolar uma variável em termos da outra (por exemplo, escreva \(f\) em função de \(g\)).
4. Use a terceira equação para isolar uma variável em termos da outra (por exemplo, escreva \(f\) em função de \(t\)).
5. Agora você tem duas expressões diferentes para \(f\). Substitua ambas na primeira equação (\(f+g+t=1500\)). Você precisará primeiro expressar \(g\) e \(t\) em função de \(f\) e então substituir na primeira equação.
6. Um método mais direto: Isole \(g\) da segunda equação e \(t\) da terceira equação, ambas em termos de \(f\).
7. Substitua essas duas expressões para \(g\) e \(t\) na primeira equação. O resultado será uma equação contendo apenas a variável \(f\). Resolva-a.
8. Com o valor de \(f\) encontrado, substitua-o de volta nas expressões que você usou para encontrar \(g\) e \(t\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Esta é a essência do "theorycrafting" em jogos avançados. Jogadores analisam dados de combate (dano, cura, etc.) para decifrar as fórmulas ocultas do jogo, otimizando seus personagens e estratégias para desafios de alto nível, como chefes de raide.