Álgebra Arcade

1. Represente o sistema como uma matriz aumentada. A primeira coluna representa 'v', a segunda 'a', e a terceira os totais.
2. Escolha uma variável para eliminar na segunda linha (por exemplo, 'v'). Para isso, use a primeira linha como pivô. Execute a operação de linha \( L_2 \leftarrow 2L_2 - L_1 \).
3. A nova matriz estará em forma escalonada. A segunda linha agora terá a forma \( 0v + ka = c \), permitindo que você descubra 'a'.
4. Com o valor de 'a', use a primeira equação original para encontrar 'v'.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Sistemas lineares são usados constantemente no balanceamento de jogos para garantir que as combinações de itens, habilidades e atributos sejam justas e interessantes.

1. Escreva a matriz aumentada correspondente ao sistema de preços.
2. Para eliminar a variável 'e' na segunda linha, você precisa que os coeficientes de 'e' nas duas linhas sejam múltiplos um do outro. Uma boa estratégia é encontrar o mínimo múltiplo comum.
3. Execute a operação \(L_2 \leftarrow 3L_2 - 4L_1\). Isso fará com que o primeiro elemento da segunda linha se torne zero.
4. A partir da matriz escalonada, resolva para 's' na segunda linha e depois substitua o valor encontrado na primeira equação para achar 'e'.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A economia interna de jogos de RPG é toda baseada em sistemas de equações para definir preços, recompensas e custos de craft, mantendo o universo do jogo consistente.

1. Monte a matriz aumentada para o sistema, lembrando de colocar um 0 no lugar do 'x' na primeira equação.
2. Observe que o elemento na posição (1,1) é zero. Para facilitar a eliminação, é melhor ter um número diferente de zero ali. Use o "Power-up de Swap": troque a Linha 1 com a Linha 2 (\(L_1 \leftrightarrow L_2\)).
3. A matriz já estará em forma escalonada após a troca! Resolva para 'y' usando a nova segunda linha e depois encontre 'x' com a primeira.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Muitos puzzles em jogos de aventura, como em "The Legend of Zelda", são, na essência, sistemas de equações onde a ordem das ações (trocar linhas) importa para chegar à solução.

1. Construa a matriz aumentada 3x4 para o sistema.
2. **Passo 1 (Eliminar 'R'):** Use a primeira linha como pivô. Zere o primeiro elemento da Linha 2 e da Linha 3.
3. **Passo 2 (Eliminar 'G'):** Agora, ignore a primeira linha. Use a nova Linha 2 como pivô para zerar o segundo elemento da nova Linha 3.
4. A matriz está agora em forma escalonada. Use a última linha para encontrar 'B', depois substitua na segunda para encontrar 'G', e por fim, use ambas na primeira para encontrar 'R'.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A representação de cores em computadores (RGB) é um espaço vetorial tridimensional. Efeitos complexos de iluminação e shaders frequentemente resolvem sistemas lineares para calcular a cor final de cada pixel.

1. Monte a matriz aumentada 3x4.
2. Execute as operações \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\) e \(L_3 \leftarrow L_3 + L_1\) para eliminar 'x' da segunda e terceira equações.
3. Com a matriz parcialmente escalonada, use a nova segunda linha para eliminar a variável 'y' da nova terceira linha.
4. Resolva o sistema de trás para frente (resolução por substituição retroativa) a partir da forma escalonada.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Sistemas de "crafting" em jogos complexos como "Minecraft" ou "World of Warcraft" usam regras que podem ser modeladas como sistemas de equações para determinar as receitas e os recursos necessários.

1. Ao montar a matriz aumentada, note que o elemento na posição (2,1) já é zero. Isso significa que um passo da eliminação já foi feito para você!
2. Você só precisa eliminar o 'x' da terceira linha. Use a primeira linha para fazer isso: \(L_3 \leftarrow 2L_3 - L_1\).
3. Depois disso, a sua matriz estará quase em forma escalonada. Use a segunda linha para eliminar 'y' da nova terceira linha.
4. Resolva o sistema escalonado por substituição retroativa.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em programação de jogos, otimização é tudo. Reconhecer casos especiais (como um zero já no lugar certo) economiza poder de processamento, permitindo que o jogo rode mais rápido.

1. Monte a matriz aumentada.
2. Use a primeira linha para eliminar 'x' da segunda. Execute a operação \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\).
3. Analise a nova segunda linha. Você obterá uma equação da forma \(0x + 0y + 0z = k\), onde \(k\) é um número diferente de zero.
4. Essa equação, \(0 = k\), é uma contradição matemática. Isso significa que o sistema é inconsistente e não possui solução.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Isso representa um "softlock" ou uma condição impossível em um jogo. É um erro de design onde as regras do puzzle se contradizem, impedindo o jogador de progredir. Identificar isso é como fazer um debug na lógica do jogo.

1. Monte a matriz aumentada e comece o processo de eliminação padrão, zerando a primeira coluna abaixo do pivô.
2. Continue o processo para a segunda coluna. Você notará que a terceira linha se tornará uma linha de zeros: \( [0 \quad 0 \quad 0 \quad | \quad 0] \).
3. Essa linha \(0=0\) é sempre verdade e não adiciona informação. Você fica com 2 equações e 3 variáveis. Isso significa que há infinitas soluções.
4. Escolha uma variável para ser o "parâmetro livre" (geralmente a última, 'o'). Chame-a de \(t\). Expresse as outras variáveis ('f' e 'a') em termos de \(t\).

Conexão com o Mundo dos Jogos: Isso é comum em jogos com sistemas de "crafting" ou construção. A solução não é única; o jogador tem liberdade (um parâmetro livre) para customizar suas criações dentro de um conjunto de regras, como em "Kerbal Space Program".

1. Monte a matriz aumentada, que terá 2 linhas e 4 colunas.
2. Execute uma única operação de eliminação para zerar o elemento (2,1): \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\).
3. A matriz já está em forma escalonada. Como você tem 3 variáveis e 2 equações efetivas, uma variável será livre. Escolha \(z=t\).
4. Use a segunda equação para encontrar 'y' em função de 't'.
5. Substitua 'y' e 'z' na primeira equação para encontrar 'x' em função de 't'. A solução será um conjunto de equações paramétricas.

Conexão com o Mundo dos Jogos: A solução representa uma linha reta no espaço 3D. Isso é usado para definir trajetórias de projéteis, feixes de laser ou caminhos de patrulha de NPCs em um jogo. A IA pode escolher qualquer ponto nessa linha (qualquer valor de 't') como seu destino.

1. Antes de começar, você pode simplificar a primeira equação dividindo-a por 2. Isso torna os cálculos mais fáceis. Chame a nova equação de \(L_1\).
2. Monte a matriz aumentada com a linha simplificada.
3. Execute as operações de linha para zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna.
4. Execute a operação de linha para zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna.
5. Com a matriz em forma escalonada, use a substituição retroativa para encontrar z, depois y, e finalmente x.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Puzzles de "Boss Fight" que não envolvem apenas reflexos, mas também lógica, são comuns. Resolver esse sistema é como alinhar os canhões de energia na hora certa para o golpe final, exigindo precisão e método.

1. Monte a matriz aumentada 2x5.
2. Execute a eliminação para zerar o primeiro elemento da segunda linha: \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\).
3. Após a eliminação, você terá 2 equações e 4 variáveis. Isso significa que haverá \(4 - 2 = 2\) variáveis livres.
4. Escolha 'y' e 'z' como variáveis livres. Defina \(y = t\) e \(z = s\), onde t e s são parâmetros.
5. Use a segunda equação para expressar 'w' (ou 'x') em termos de 's' e 't'.
6. Substitua tudo na primeira equação para encontrar a variável restante em termos de 's' e 't'.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Em jogos de sandbox como "Garry's Mod" ou "Dreams", os criadores não definem uma única solução. Eles fornecem um conjunto de regras (equações) e os jogadores têm múltiplos graus de liberdade (variáveis livres) para criar o que quiserem dentro desse sistema.

1. Monte a matriz aumentada 4x5. Observe que já existem alguns zeros na matriz, o que é uma vantagem.
2. **Passo 1:** Use a Linha 1 para eliminar 'w' da Linha 3 (\(L_3 \leftarrow L_3 + L_1\)). A Linha 2 e a Linha 4 já têm zero na primeira coluna.
3. **Passo 2:** A matriz resultante agora tem zeros abaixo do pivô (1,1). Use a Linha 2 como pivô para eliminar 'x' da nova Linha 3.
4. **Passo 3:** A matriz está quase escalonada. Use a nova Linha 3 como pivô para eliminar 'y' da Linha 4.
5. A matriz está em forma escalonada. Resolva para z, depois y, depois x, e finalmente w, usando substituição retroativa.

Conexão com o Mundo dos Jogos: Sistemas de física em tempo real, especialmente em simulações complexas envolvendo múltiplos objetos interconectados (como um prédio desmoronando), resolvem sistemas de equações lineares muito grandes a cada frame para calcular as forças e posições corretas.