Questão 1

Encontre os autovalores e bases dos autoespaços de:

\[ A = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & 2 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} \]
Gabarito

Para encontrar os autovalores e bases dos autoespaços da matriz \( A \), precisamos resolver a equação característica \(\det(A - \lambda I) = 0\), onde \( \lambda \) são os autovalores e \( I \) é a matriz identidade.

Passo 1: Calcular \( A - \lambda I \)

\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} -2 - \lambda & 2 & 3 \\ -2 & 3 - \lambda & 2 \\ -4 & 2 & 5 - \lambda \end{bmatrix} \]

Passo 2: Calcular o determinante \(\det(A - \lambda I)\)

Vamos calcular o determinante usando operações elementares para simplificar a matriz.

Primeiro, escrevemos o determinante:

\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -2 - \lambda & 2 & 3 \\ -2 & 3 - \lambda & 2 \\ -4 & 2 & 5 - \lambda \end{vmatrix} \]

Passo 3: Simplificar o determinante usando operações elementares

Desta vez, expandiremos o determinante usando cofactores.

Passo 4: Expandir o determinante usando a primeira linha

Calculamos o determinante usando a expansão em cofactores na primeira linha:

\[ \det(A - \lambda I) = (-2 - \lambda) \cdot \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 2 & 5 - \lambda \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -4 & 5 - \lambda \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 3 - \lambda \\ -4 & 2 \end{vmatrix} \]

Passo 5: Calcular os determinantes menores

  1. \( D_1 = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 2 & 5 - \lambda \end{vmatrix} = (3 - \lambda)(5 - \lambda) - (2)(2) = \lambda^2 - 8\lambda + 11 \)
  2. \( D_2 = \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -4 & 5 - \lambda \end{vmatrix} = (-2)(5 - \lambda) - (2)(-4) = 2\lambda - 2 \)
  3. \( D_3 = \begin{vmatrix} -2 & 3 - \lambda \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = (-2)(2) - (3 - \lambda)(-4) = 8 - 4\lambda \)

Passo 6: Substituir os menores na expansão

\[ \det(A - \lambda I) = (-2 - \lambda)(\lambda^2 - 8\lambda + 11) - 2(2\lambda - 2) + 3(8 - 4\lambda) \]

Passo 7: Expandir e simplificar a expressão

Expandindo:

\[ \begin{align*} \det(A - \lambda I) &= (-2 - \lambda)(\lambda^2 - 8\lambda + 11) - 4\lambda + 4 + 24 - 12\lambda \\ &= -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 11\lambda + 6 \\ &= 0 \end{align*} \]

Passo 8: Encontrar os autovalores resolvendo a equação característica

\[ \lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0 \]

Fatorando:

\[ (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0 \]

Portanto, os autovalores são \( \lambda_1 = 1 \), \( \lambda_2 = 2 \) e \( \lambda_3 = 3 \).

Passo 9: Encontrar os autovetores associados a cada autovalor

Para \( \lambda = 1 \):

Calcular \( A - I \):

\[ A - I = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 3 \\ -2 & 2 & 2 \\ -4 & 2 & 4 \end{bmatrix} \]

Resolver \( (A - I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \):

Sistema de equações:

  1. \(-3x + 2y + 3z = 0\)
  2. \(-2x + 2y + 2z = 0\)
  3. \(-4x + 2y + 4z = 0\)

Simplificando, encontramos:

Base do autoespaço para \( \lambda = 1 \):

\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ 0 \\ x \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Portanto, a base é \( \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} \).

Para \( \lambda = 2 \):

Calcular \( A - 2I \):

\[ A - 2I = \begin{bmatrix} -4 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 2 & 3 \end{bmatrix} \]

Sistema de equações:

  1. \(-4x + 2y + 3z = 0\)
  2. \(-2x + y + 2z = 0\)

Simplificando, encontramos:

Base do autoespaço para \( \lambda = 2 \):

\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ 2x \\ 0 \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Portanto, a base é \( \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \).

Para \( \lambda = 3 \):

Calcular \( A - 3I \):

\[ A - 3I = \begin{bmatrix} -5 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 2 \\ -4 & 2 & 2 \end{bmatrix} \]

Sistema de equações:

  1. \(-5x + 2y + 3z = 0\)
  2. \(-2x + 0y + 2z = 0\)

Simplificando, encontramos:

Base do autoespaço para \( \lambda = 3 \):

\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ x \\ x \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Portanto, a base é \( \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} \).

Resposta Final:

Questão 2

Determine se o espaço solução do sistema \(Ax = 0\) é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações paramétricas dessa reta.

(a)

\[ A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 2 & -4 & -5 \end{bmatrix} \]

(b)

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -3 & 6 & 9 \\ -2 & 4 & -6 \end{bmatrix} \]
Gabarito

(a)

Dado o sistema homogêneo $$Ax=0$$ com a matriz:

$$A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 2 & -4 & -5 \end{bmatrix}$$
Passo 1: Escrever a matriz aumentada
$$\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -4 & -5 & 0 \\ \end{array}\right]$$
Passo 2: Multiplicar a Linha 1 por $$-1$$ para facilitar os cálculos
$$R1 = -R1 \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -4 & -5 & 0 \\ \end{array}\right]$$
Passo 3: Eliminar $$x_1$$ das Linhas 2 e 3 A matriz fica assim:
$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 0 \\ \end{array}\right]$$
Passo 4: Eliminar $$x_2$$ da Linha 3 $$R3 = R3 + R2$$
$$R3 = [0, -2, -3] + [0, 2, 3] = [0, 0, 0]$$
A matriz agora é:
$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right]$$
Passo 5: Resolver para as variáveis

Da Linha 2:

$$2x_2 + 3x_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -\dfrac{3}{2}x_3$$

Da Linha 1:

$$x_1 - x_2 - x_3 = 0$$

Substituindo $$x_2$$:

$$x_1 - \left(-\dfrac{3}{2}x_3\right) - x_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 + \dfrac{3}{2}x_3 - x_3 = 0$$

Simplificando:

$$x_1 + \dfrac{1}{2}x_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -\dfrac{1}{2}x_3$$
Passo 6: Parametrizar a solução

Seja $$x_3 = t$$, então:

$$\begin{cases} x_1 = -\dfrac{1}{2}t \\ x_2 = -\dfrac{3}{2}t \\ x_3 = t \\ \end{cases}$$

Multiplicando por 2 para eliminar frações:

$$\begin{cases} x_1 = -t \\ x_2 = -3t \\ x_3 = 2t \\ \end{cases}$$
Conclusão:

O espaço solução é uma reta passando pela origem com as equações paramétricas:

$$x = t \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$$

(b)

Dado o sistema homogêneo $$Ax=0$$ com a matriz:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -3 & 6 & 9 \\ -2 & 4 & -6 \\ \end{bmatrix}$$
Passo 1: Escrever a matriz aumentada
$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 \\ -3 & 6 & 9 & 0 \\ -2 & 4 & -6 & 0 \\ \end{array}\right]$$
Passo 2: Eliminar $$x_1$$ das Linhas 2 e 3 A matriz agora é:
$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 18 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right]$$
Passo 3: Resolver para $$x_3$$ $$18x_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = 0$$
Passo 4: Encontrar $$x_1$$ e $$x_2$$

Da Linha 1:

$$x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0$$

Como $$x_3 = 0$$, temos:

$$x_1 - 2x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2x_2$$

Seja $$x_2 = t$$, então:

$$\begin{cases} x_1 = 2t \\ x_2 = t \\ x_3 = 0 \\ \end{cases}$$
Conclusão:

O espaço solução é uma reta passando pela origem com as equações paramétricas:

$$x = t \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$
Resposta Final:

(a) O espaço solução é uma reta passando pela origem com equações paramétricas:

$$x = t \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$$

(b) O espaço solução é uma reta passando pela origem com equações paramétricas:

$$x = t \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

Questão 3

Mostre que \( \{A_1, A_2, A_3, A_4\} \) é uma base de \(M_{22}\) e expresse \(A\) como uma combinação linear dos vetores da base.

\[A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A_4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}; \quad A = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\]
Gabarito

Para mostrar que $$\{A_1, A_2, A_3, A_4\}$$ é uma base de $$M_{22}$$, precisamos verificar que esses vetores são linearmente independentes e que geram $$M_{22}$$.

Primeiro, representamos cada matriz como um vetor em $$\mathbb{R}^4$$:

$$A_1 \rightarrow (1, 0, 1, 0)$$

$$A_2 \rightarrow (1, 1, 0, 0)$$

$$A_3 \rightarrow (1, 0, 0, 1)$$

$$A_4 \rightarrow (0, 0, 1, 0)$$

Independência Linear :

Consideremos a combinação linear:

$$c_1A_1 + c_2A_2 + c_3A_3 + c_4A_4 = 0$$

Convertendo para vetores:

$$c_1(1, 0, 1, 0) + c_2(1, 1, 0, 0) + c_3(1, 0, 0, 1) + c_4(0, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 0)$$

Isto nos dá o sistema:

1. $c_1 + c_2 + c_3 = 0$

2. $c_2 = 0$

3. $c_1 + c_4 = 0$

4. $c_3 = 0$

Resolvendo:

- De (2): $c_2 = 0$

- De (4): $c_3 = 0$

- De (1): $c_1 = 0$

- De (3): $c_4 = 0$

Todos os coeficientes são zero, portanto, os vetores são linearmente independentes.

Geração de $$M_{22}$$:

Como $M_{22}$ é um espaço vetorial de dimensão 4 e temos 4 vetores linearmente independentes, eles formam uma base.

Expressando $$A$$ como combinação linear:

Queremos encontrar escalares $k_1, k_2, k_3, k_4$ tais que:

$A = k_1A_1 + k_2A_2 + k_3A_3 + k_4A_4$

Escrevendo em termos de vetores:

$(6, 2, 5, 3) = k_1(1, 0, 1, 0) + k_2(1, 1, 0, 0) + k_3(1, 0, 0, 1) + k_4(0, 0, 1, 0)$

Isto resulta no sistema:

1. $k_1 + k_2 + k_3 = 6$

2. $k_2 = 2$

3. $k_1 + k_4 = 5$

4. $k_3 = 3$

Resolvendo:

- De (2): $k_2 = 2$

- De (4): $k_3 = 3$

- De (1): $k_1 = 6 - k_2 - k_3 = 6 - 2 - 3 = 1$

- De (3): $k_4 = 5 - k_1 = 5 - 1 = 4$

Conclusão:

A base $\{A_1, A_2, A_3, A_4\}$ gera $M_{22}$, e podemos expressar $A$ como:

$A = 1\cdot A_1 + 2\cdot A_2 + 3\cdot A_3 + 4\cdot A_4$

Questão 4

Encontre o vetor de coordenadas de \(A\) em relação à base \(S = \{A_1, A_2, A_3, A_4\}\) de \(M_{22}\).

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, \quad A_1 = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad A_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad A_4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]
Gabarito

Para encontrar as coordenadas de \(A\) em relação à base \(S=\{A_1, A_2, A_3, A_4\}\), precisamos expressar \(A\) como uma combinação linear dos vetores da base:

\[A = c_1 A_1 + c_2 A_2 + c_3 A_3 + c_4 A_4\]

Substituindo as matrizes:

\[\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + c_4 \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Calculando a combinação linear:

Substituindo \(c_3 = -1\) na equação (2):

\[c_1 + c_2 - 1 = 0 \implies c_1 + c_2 = 1 \quad \text{(5)}\]

Agora, resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (5):

\[\begin{cases} - c_1 + c_2 = 2 \\ c_1 + c_2 = 1 \end{cases}\]

Somando as duas equações:

\[(- c_1 + c_2) + (c_1 + c_2) = 2 + 1 \implies 2 c_2 = 3 \implies c_2 = \dfrac{3}{2}\]

Substituindo \(c_2\) na equação (5):

\[c_1 + \dfrac{3}{2} = 1 \implies c_1 = -\dfrac{1}{2}\]

Portanto, as coordenadas de \(A\) em relação à base \(S\) são:

\[(c_1, c_2, c_3, c_4) = \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, -1, 3\right)\]

Resposta: As coordenadas de \(A\) são \(\left(-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2},\ -1,\ 3\right)\) em relação à base \(S\).

Questão 5

Encontre um subconjunto dos vetores dados que forma uma base do espaço gerado pelos vetores; em seguida, expresse cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base.

(c)

\[ \mathbf{v}_1 = (1, -1, 5, 2), \quad \mathbf{v}_2 = (-2, 3, 1, 0), \quad \mathbf{v}_3 = (4, -5, 9, 4), \quad \mathbf{v}_4 = (0, 4, 2, -3), \quad \mathbf{v}_5 = (-7, 18, 2, -8) \]
Gabarito

Para resolver este problema, seguimos os passos propostos:

1. Colocar os vetores como colunas de uma matriz e escalonar:

Formamos a matriz A com os vetores dados como colunas:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 & 0 & -7 \\ -1 & 3 & -5 & 4 & 18 \\ 5 & 1 & 9 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & -3 & -8 \\ \end{bmatrix}$$

Aplicamos operações elementares de linha para escalonar a matriz:

Passo 1: Usamos o elemento $$a_{11} = 1$$ como pivô e zeramos os elementos abaixo dele na coluna 1. $$\begin{align*} L_2 &= L_2 + L_1 \\ L_3 &= L_3 - 5L_1 \\ L_4 &= L_4 - 2L_1 \\ \end{align*}$$

A matriz torna-se:

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 & 0 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 4 & 11 \\ 0 & 11 & -11 & 2 & 37 \\ 0 & 4 & -4 & -3 & 6 \\ \end{bmatrix}$$
Passo 2: Usamos o elemento $$a_{22} = 1$$ como pivô e zeramos os elementos abaixo dele na coluna 2. $$\begin{align*} L_3 &= L_3 - 11L_2 \\ L_4 &= L_4 - 4L_2 \\ \end{align*}$$

A matriz torna-se:

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 & 0 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 4 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & -42 & -84 \\ 0 & 0 & 0 & -19 & -38 \\ \end{bmatrix}$$
Passo 3: Usamos o elemento $$a_{33} = -42$$ como pivô (após trocar de linha, se necessário) e zeramos os elementos acima e abaixo dele na coluna 4.

Dividimos $$L_3$$ por $$-42$$:

$$L_3 = \frac{1}{-42} L_3$$

A matriz torna-se:

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 & 0 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 4 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -19 & -38 \\ \end{bmatrix}$$

Zeramos o elemento $$a_{42}$$:

$$L_4 = L_4 - (-19)L_3$$

A matriz final escalonada é:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$
2. Identificar os vetores que formam uma base:

Os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 4. Portanto, os vetores correspondentes $$\mathbf{v}_1$$, $$\mathbf{v}_2$$ e $$\mathbf{v}_4$$ formam uma base para o espaço gerado pelos vetores dados.

3. Expressar os vetores não básicos como combinações lineares dos vetores da base:
Para $$\mathbf{v}_3$$:

Montamos o sistema:

$$\begin{cases} 4 = a_1(1) + a_2(-2) + a_4(0) \\ -5 = a_1(-1) + a_2(3) + a_4(4) \\ 9 = a_1(5) + a_2(1) + a_4(2) \\ 4 = a_1(2) + a_2(0) + a_4(-3) \\ \end{cases}$$

Resolvendo, encontramos:

$$a_1 = 2, \quad a_2 = -1, \quad a_4 = 0$$

Portanto:

$$\mathbf{v}_3 = 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2$$
Para $$\mathbf{v}_5$$:

Montamos o sistema:

$$\begin{cases} -7 = b_1(1) + b_2(-2) + b_4(0) \\ 18 = b_1(-1) + b_2(3) + b_4(4) \\ 2 = b_1(5) + b_2(1) + b_4(2) \\ -8 = b_1(2) + b_2(0) + b_4(-3) \\ \end{cases}$$

Resolvendo, encontramos:

$$b_1 = -1, \quad b_2 = 3, \quad b_4 = 2$$

Portanto:

$$\mathbf{v}_5 = -\mathbf{v}_1 + 3\mathbf{v}_2 + 2\mathbf{v}_4$$
Resposta Final:

Os vetores $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$ e $\mathbf{v}_4$ formam uma base do espaço gerado pelos vetores dados. Os vetores $\mathbf{v}_3$ e $\mathbf{v}_5$ podem ser escritos como combinações lineares dos vetores da base:

$$\mathbf{v}_3 = 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2$$ $$\mathbf{v}_5 = -\mathbf{v}_1 + 3\mathbf{v}_2 + 2\mathbf{v}_4$$