Capítulo II

Desenvolvendo a equação reduzida \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), chegamos à forma geral:

\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)

Onde os coeficientes D, E, F estão relacionados com o centro (a,b) e o raio R:

\(D = -2a\),   \(E = -2b\),   \(F = a^2 + b^2 - R^2\).

Esta forma pode aparecer em sinais interceptados ou dados corrompidos.

Uma equação da forma \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) SÓ representa uma circunferência se a seguinte condição for satisfeita:

\( D^2 + E^2 - 4F > 0 \)

Por quê? Porque o termo à esquerda está relacionado ao quadrado do raio (<(>R^2 = \frac{D^2+E^2-4F}{4}\)). E o raio deve ser real e positivo.

• Se \(D^2+E^2-4F = 0 \implies\) Representa um único ponto (raio zero).
• Se \(D^2+E^2-4F < 0 \implies\) Conjunto vazio (raio imaginário).

Se \( D^2 + E^2 - 4F > 0 \), podemos encontrar o centro e o raio a partir de D, E, F:

Centro \(C(a,b)\):

\(a = -\frac{D}{2}\)      \(b = -\frac{E}{2}\)

Raio \(R\):

\(R = \sqrt{a^2 + b^2 - F} = \frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}\)

(Estes resultados vêm da técnica de completar quadrados na equação geral).

Equação: \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\)

Forma Geral: \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)

Comparando termo a termo:

\(D = -6\)

\(E = 8\)

\(F = 9\)

Usando \(D=-6\), \(E=8\), \(F=9\):

\( D^2 + E^2 - 4F = (-6)^2 + (8)^2 - 4(9) \)

\( = 36 + 64 - 36 \)

\( = 64 \)

Como \(64 > 0\), a equação representa uma circunferência válida.

Usando as fórmulas de conversão:

\(a = -D/2 = -(-6)/2 = 6/2 = 3\)

\(b = -E/2 = -(8)/2 = -8/2 = -4\)

Portanto, o centro da zona de perigo é:

\( C = (3, -4) \)

Usando a fórmula de conversão:

\(R = \frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}\)

Já calculamos \(D^2+E^2-4F = 64\).

\(R = \frac{\sqrt{64}}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

Portanto, o raio da zona de perigo é:

\( R = 4 \)

Para evitar raízes quadradas, comparamos as distâncias ao quadrado.

Dada \(\lambda: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\) e \(P(x_p, y_p)\):

1. Calcule: \(d^2 = (x_p - a)^2 + (y_p - b)^2\)
2. Compare \(d^2\) com \(R^2\):
   • \(d^2 < R^2 \implies\) Interno
   • \(d^2 = R^2 \implies\) Pertencente
   • \(d^2 > R^2 \implies\) Externo

Simples, rápido e eficaz para análise de campo.

Centro \(C = (a, b) = (2, 1)\)

Raio \(R = 5 \implies R^2 = 5^2 = 25\)

Ponto \(P = (x_p, y_p) = (6, 4)\)

Objetivo: Comparar \(d(P,C)^2\) com \(R^2\).

Fórmula da distância ao quadrado:

\(d^2 = (x_p - a)^2 + (y_p - b)^2\)

Substituindo os valores:

\(d^2 = (6 - 2)^2 + (4 - 1)^2\)

\(d^2 = (4)^2 + (3)^2\)

\(d^2 = 16 + 9\)

\(d^2 = 25\)

Calculamos \(d^2 = 25\).

Temos \(R^2 = 25\).

Comparando: \(d^2 = R^2\)

Conclusão: Como \(d^2\) é igual a \(R^2\), o ponto P é Pertencente (está na fronteira).

Resultado: O sinal vem da borda da zona segura!

O centro C deve estar à mesma distância de A e B. Logo, C pertence à mediatriz do segmento AB.

[Mediatriz: reta perpendicular a AB passando pelo ponto médio de AB]

O centro C também deve estar à mesma distância de B e C. Logo, C pertence à mediatriz de BC.

O ponto onde essas duas mediatrizes se cruzam é o único ponto equidistante de A, B e C: o Circuncentro!

[Diagrama: Triângulo ABC, mediatrizes de AB e BC se cruzando em C, circunferência passando por A,B,C]

Como Encontrar C e R:

1. Verificar Colinearidade: Calcule as inclinações mAB e mBC. Se mAB = mBC, pare (pontos colineares).
2. Mediatriz 1 (ex: de AB):
   • Ache o Ponto Médio \(M_{AB}\).
   • Ache a Inclinação Perpendicular \(m_{\perp AB} = -1/m_{AB}\).
   • Obtenha a Equação da reta mediatriz (usando \(M_{AB}\) e \(m_{\perp AB}\)).

Primeiro passo: garantir que existe um círculo e encontrar a equação da primeira mediatriz.

Como Encontrar C e R (cont.):

3. Mediatriz 2 (ex: de BC):
   • Ache o Ponto Médio \(M_{BC}\).
   • Ache a Inclinação Perpendicular \(m_{\perp BC} = -1/m_{BC}\).
   • Obtenha a Equação da reta mediatriz de BC.
4. Encontrar Centro C (Interseção): Resolva o sistema linear formado pelas equações das duas mediatrizes encontradas. A solução \((x, y)\) é o centro \(C(a, b)\).
5. Calcular Raio R: Calcule a distância do centro \(C\) a *qualquer* um dos pontos originais (A, B ou C). Ex: \(R = d(C, A)\).

Com as duas mediatrizes, achamos o centro; com o centro e um ponto, achamos o raio.

Inclinação PQ: \( m_{PQ} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{3-1}{5-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Inclinação QR: \( m_{QR} = \frac{y_R - y_Q}{x_R - x_Q} = \frac{6-3}{2-5} = \frac{3}{-3} = -1 \)

Como \(m_{PQ} \ne m_{QR}\), os pontos não são colineares. Uma circunferência pode ser definida.

Ponto Médio \(M_{PQ} = (\frac{1+5}{2}, \frac{1+3}{2}) = (3, 2)\)

Inclinação de PQ: \(m_{PQ} = 1/2\)

Inclinação Perpendicular: \(m_{\perp PQ} = -1 / (1/2) = -2\)

Equação (ponto-inclinação): \( y - y_{M} = m_{\perp}(x - x_{M}) \)

\( y - 2 = -2(x - 3) \implies y - 2 = -2x + 6 \)

Eq. Mediatriz PQ: \( 2x + y - 8 = 0 \)    (Eq. 1)

Ponto Médio \(M_{QR} = (\frac{5+2}{2}, \frac{3+6}{2}) = (3.5, 4.5)\)

Inclinação de QR: \(m_{QR} = -1\)

Inclinação Perpendicular: \(m_{\perp QR} = -1 / (-1) = 1\)

Equação (ponto-inclinação): \( y - y_{M} = m_{\perp}(x - x_{M}) \)

\( y - 4.5 = 1(x - 3.5) \implies y - 4.5 = x - 3.5 \)

Eq. Mediatriz QR: \( x - y + 1 = 0 \)    (Eq. 2)

Resolver o sistema formado pelas equações das mediatrizes:

\( \begin{cases} 2x + y = 8 & \text{(Eq. 1)} \\ x - y = -1 & \text{(Eq. 2)} \end{cases} \)

Método da Adição (somar as duas equações):

\((2x + y) + (x - y) = 8 + (-1)\)

\(3x = 7 \implies x = 7/3\)

Substituir x na Eq. 2:

\( (7/3) - y = -1 \implies y = 7/3 + 1 = 7/3 + 3/3 = 10/3 \)

O centro (Circuncentro) é:

\( C = (7/3, 10/3) \)

O raio é a distância do centro \(C(7/3, 10/3)\) a qualquer um dos pontos (P, Q ou R). Vamos usar P(1,1).

Calculamos o raio ao quadrado \(R^2 = d(C, P)^2\):

\( R^2 = (x_P - x_C)^2 + (y_P - y_C)^2 \)

\( R^2 = (1 - 7/3)^2 + (1 - 10/3)^2 \)

\( R^2 = (3/3 - 7/3)^2 + (3/3 - 10/3)^2 \)

\( R^2 = (-4/3)^2 + (-7/3)^2 = \frac{16}{9} + \frac{49}{9} = \frac{65}{9} \)

O raio ao quadrado é \(R^2 = 65/9\). O raio é \(R = \sqrt{65}/3\).

Temos o Centro \(C(7/3, 10/3)\) e o Raio ao Quadrado \(R^2 = 65/9\).

Substituímos na equação reduzida \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\):

\( (x - 7/3)^2 + (y - 10/3)^2 = 65/9 \)

Esta é a equação da circunferência que passa pelos três sensores.

Reta vs. Circunferência:

[Diagrama: Circulo com reta externa, tangente, secante. Indicar d>R, d=R, d

Circunferência vs. Circunferência:

[Diagrama: 2 Círculos em várias posições. Indicar d>R1+R2, d=R1+R2, |R1-R2|

(Nota: Adicionar diagramas aqui seria ideal)

Dada a reta \(r\) e a circunferência \(\lambda\) de centro \(C\) e raio \(R\).

Calcule a distância \(d = d(C, r)\) do centro C à reta r.

• Se \(d > R \implies\) A reta é Externa (0 pontos comuns).
• Se \(d = R \implies\) A reta é Tangente (1 ponto comum).
• Se \(d < R \implies\) A reta é Secante (2 pontos comuns).

Lembrete Distância: \( d(C(x_c,y_c), r:Ax+By+K=0) = \frac{|Ax_c + By_c + K|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)

Dadas \(\lambda_1(C_1, R_1)\) e \(\lambda_2(C_2, R_2)\).

Calcule a distância \(d = d(C_1, C_2)\) entre os centros.

• \(d > R_1 + R_2 \implies\) Externas
• \(d = R_1 + R_2 \implies\) Tangentes Externas
• \(|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2 \implies\) Secantes
• \(d = |R_1 - R_2| > 0 \implies\) Tangentes Internas
• \(0 \le d < |R_1 - R_2| \implies\) Internas
• \(d = 0 \implies\) Concêntricas

Cenário 1: Base \(C(2, -1)\), \(R=5\). Rota \(r: 3x - 4y + k = 0\).

Para que a reta \(r\) seja tangente à circunferência, a distância do centro \(C\) à reta \(r\) deve ser igual ao raio \(R\).

\(d(C, r) = R = 5\)

Usando \(C(x_c=2, y_c=-1)\) e \(3x - 4y + k = 0\) (A=3, B=-4, C=k):

\( d(C, r) = \frac{|A x_c + B y_c + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{|3(2) + (-4)(-1) + k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \)

\( d(C, r) = \frac{|6 + 4 + k|}{\sqrt{25}} = \frac{|10 + k|}{5} \)

Igualando a distância ao raio: \( \frac{|10 + k|}{5} = 5 \)

\( |10 + k| = 25 \)

Duas possibilidades:

1) \(10 + k = 25 \implies \mathbf{k = 15}\)

2) \(10 + k = -25 \implies \mathbf{k = -35}\)

Resultado: Rotas tangentes: \(3x-4y+15=0\) e \(3x-4y-35=0\).

Cenário 2:

Base 1: \(\lambda_1\) com \(C_1(0,0)\) e \(R_1=3\).

Base 2: \(\lambda_2\) com \(C_2(5,0)\) e \(R_2=1\).

Passo 1: Distância \(d\) entre Centros

\(d = d(C_1, C_2) = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{25} = 5\)

Passo 2: Soma e Diferença dos Raios

\(R_1 + R_2 = 3 + 1 = 4\)

\(|R_1 - R_2| = |3 - 1| = 2\)

Passo 3: Comparar

Temos: \(d = 5\), \(R_1 + R_2 = 4\), \(|R_1 - R_2| = 2\).

Observamos que \(d = 5\) é maior que \(R_1 + R_2 = 4\).

\(d > R_1 + R_2\)

Passo 4: Classificar

A condição \(d > R_1 + R_2\) significa que as circunferências são Externas.

Resultado: As bases não se tocam.

Conversão Polar \(\leftrightarrow\) Cartesiana:

\( x = r \cos \theta \)     \( y = r \sin \theta \)

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)     \( \tan \theta = y/x \) (cuidado ao quadrante!)

Circunferência Paramétrica (Centro \(C(a,b)\), Raio \(R\)):

\( x(t) = a + R \cos t \)

\( y(t) = b + R \sin t \),   para \( 0 \le t < 2\pi \)

Circunferência Polar (Centro na Origem):

\( r = R \)

(Distância constante à origem)

Circunferência Polar (Passando pela Origem):

Centro \((R, 0)\) no eixo polar: \( r = 2R \cos \theta \).

Espiral de Arquimedes:

\( r = a \theta \)

(Distância cresce com o ângulo).

Ponto \(P(x=3, y=-3)\).

Passo 1: Calcular Raio \(r\)

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)

\( r = 3\sqrt{2} \approx 4.24 \)

Passo 2: Calcular Ângulo \(\theta\)

\(\tan \theta = y/x = -3 / 3 = -1\)

Ponto (3, -3) está no 4º Quadrante.

Ângulo: \( \theta = 315^\circ \) ou \( 7\pi/4 \) rad.

Resultado: \( (3\sqrt{2}, 315^\circ) \) ou \( (3\sqrt{2}, 7\pi/4) \).

Patrulha circular: Centro \(C(a=1, b=2)\), Raio \(R=4\).

Equações paramétricas:

\( x(t) = a + R \cos t \)

\( y(t) = b + R \sin t \)

Substituindo:

\( x(t) = 1 + 4 \cos t \)

\( y(t) = 2 + 4 \sin t \),   \(0 \le t < 2\pi\)

Equação polar: \(r = 5\).

\(r\) é a distância à origem.

A equação diz que a distância à origem é constante e igual a 5.

Definição de circunferência centrada na origem \((0,0)\) com raio \(R=5\).

Equivalente cartesiana: \(x^2 + y^2 = 5^2 = 25\).