A hipérbole é uma cônica fascinante que surge quando interceptamos um cone duplo com um plano que corta ambas as napas. Na Zona Devastada, ela aparece frequentemente em trajetórias de projéteis, ondas de radiação e padrões de dispersão de explosões. Conhecer suas propriedades pode significar a diferença entre um abrigo seguro e uma armadilha mortal.
Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P no plano tais que o valor absoluto da diferença das distâncias de P a dois pontos fixos F₁ e F₂ (chamados focos) é constante e igual a 2a. Esta propriedade é fundamental para entender sistemas de navegação por diferença de tempo e detectores de radiação.
A equação canônica da hipérbole com centro na origem possui duas formas principais. Quando o eixo real é horizontal, temos a equação $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, onde os focos estão em $(\pm c, 0)$. Quando o eixo real é vertical, a equação torna-se $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$, com focos em $(0, \pm c)$. A relação fundamental entre os parâmetros é $c^2 = a^2 + b^2$, e a excentricidade $e = \frac{c}{a}$ é sempre maior que 1.
As assíntotas da hipérbole são retas que se aproximam da curva no infinito. Para a hipérbole horizontal, as assíntotas são $y = \pm\frac{b}{a}x$, enquanto para a vertical são $y = \pm\frac{a}{b}x$. Estas linhas são cruciais para determinar zonas de segurança e calcular alcances máximos de equipamentos de detecção.
O detector de radiação do seu Traje de Proteção captou uma assinatura que segue a equação $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$. Determine os focos desta hipérbole para calibrar adequadamente os sensores de detecção.
Para uma hipérbole horizontal $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, use a relação $c^2 = a^2 + b^2$ e os focos estão em $(\pm c, 0)$.
Reflexão de Sobrevivência: Conhecer a localização dos focos permite posicionar detectores secundários para triangular com precisão a fonte de radiação, criando um sistema de alerta precoce eficaz.
Duas torres de comunicação estão posicionadas nos focos de uma hipérbole nos pontos F₁(-4, 0) e F₂(4, 0). Se a diferença constante das distâncias é 2a = 6, encontre a equação canônica da hipérbole que determina a zona de cobertura ótima.
Com os focos em $(\pm 4, 0)$, temos $c = 4$. Se $2a = 6$, então $a = 3$. Use $c^2 = a^2 + b^2$ para encontrar $b$.
Reflexão de Sobrevivência: Esta configuração cria zonas de interferência construtiva e destrutiva, permitindo comunicações seguras em regiões específicas enquanto bloqueia interceptações em outras áreas.
Um projétil rebelde segue uma trajetória hiperbólica descrita por $\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{9} = 1$. Determine a excentricidade desta trajetória para calcular o desvio máximo esperado.
Para uma hipérbole vertical $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$, a excentricidade é $e = \frac{c}{a}$ onde $c^2 = a^2 + b^2$.
Reflexão de Sobrevivência: Uma excentricidade próxima de 1 indica uma trajetória menos "aberta", facilitando a previsão do caminho do projétil e o cálculo de zonas de segurança.
Dois transmissores de navegação estão em F₁(-6, 0) e F₂(6, 0). Um sobrevivente recebe sinais com diferença de tempo constante, criando uma hipérbole com vértices em (-2, 0) e (2, 0). Encontre a equação da hipérbole e determine as equações das assíntotas.
Os vértices estão a distância $a$ do centro, e os focos a distância $c$. Use essas informações para encontrar $a$ e $c$, depois calcule $b$.
Reflexão de Sobrevivência: As assíntotas definem os limites das zonas de navegação confiável. Fora dessas linhas, os sinais tornam-se imprecisos e podem levar a armadilhas ou territórios hostis.
Uma fonte de radiação move-se de tal forma que a diferença das distâncias a dois detectores fixos em A(0, -5) e B(0, 5) é sempre 6 unidades. Se a fonte passa pelo ponto P(4, 0), determine a equação completa da trajetória hiperbólica.
Com focos no eixo y, a hipérbole é vertical. Use $2a = 6$ e a condição de que P(4, 0) pertence à curva para encontrar todos os parâmetros.
Reflexão de Sobrevivência: A trajetória hiperbólica permite predizer a posição futura da fonte radiativa, essencial para evacuar áreas antes que a contaminação se torne letal.
Após uma explosão controlada, os fragmentos seguem trajetórias hiperbólicas. Uma das hipérboles tem equação $4x^2 - 9y^2 = 36$. Reescreva na forma canônica e determine todos os elementos geométricos desta cônica.
Divida toda a equação por 36 para obter a forma canônica. Depois identifique $a^2$ e $b^2$ para calcular os demais elementos.
Reflexão de Sobrevivência: Conhecer a excentricidade e as assíntotas permite calcular a área de impacto dos fragmentos, crucial para determinar perímetros de segurança após explosões.
Um sinal inimigo é transmitido seguindo uma hipérbole com centro em C(2, -1), um foco em F₁(2, 4) e excentricidade e = 5/3. Determine a equação desta hipérbole para configurar o sistema de interceptação.
Com centro fora da origem, use a forma $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$. A distância do centro ao foco é $c$, e $e = c/a$.
Reflexão de Sobrevivência: Interceptar sinais hiperbólicos requer posicionamento preciso dos receptores. A geometria da hipérbole define as zonas ótimas de captação para quebrar códigos inimigos.
Dois sonares subterrâneos estão posicionados nos pontos A(-3, 2) e B(3, 2). Eles detectam um objeto que mantém |d(P,A) - d(P,B)| = 8. Se o objeto passa pelo ponto (5, 6), encontre a equação da hipérbole e suas assíntotas.
Reflexão de Sobrevivência: Sistemas de sonar hiperbólico permitem localizar objetos subterrâneos ou entradas secretas de bunkers, essencial para exploração segura de ruínas urbanas.
Um vazamento químico cria um padrão de dispersão hiperbólico descrito por $9(x-1)^2 - 4(y+2)^2 = 36$. Determine o centro, focos, vértices e a excentricidade desta zona de contaminação.
Reflexão de Sobrevivência: A excentricidade elevada indica dispersão rápida do contaminante. Os focos marcam pontos críticos onde a concentração muda drasticamente, definindo zonas de evacuação prioritária.
Um satélite de defesa segue uma órbita hiperbólica com focos na Terra (0, 0) e numa estação espacial (8, 0). A diferença das distâncias é constante igual a 6. Se o satélite passa pelo ponto (5, 3), determine a equação completa da trajetória e calcule a distância mínima do satélite à Terra.
Reflexão de Sobrevivência: Órbitas hiperbólicas são típicas de objetos que escapam da gravidade. Conhecer a distância mínima é crucial para determinar janelas de comunicação e momentos de máxima vulnerabilidade do sistema.
Três estações sísmicas detectam uma explosão nuclear. As estações A(0, 0) e B(10, 0) registram uma diferença de tempo tal que os pontos equidistantes formam a hipérbole $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$. Uma terceira estação C(5, 8) confirma que a explosão ocorreu num ponto onde x + y = 7. Determine as coordenadas exatas da explosão.
Reflexão de Sobrevivência: Quando os dados sísmicos são inconsistentes, pode indicar múltiplas explosões simultâneas ou reflexões sísmicas complexas. Protocolos de emergência devem assumir o pior cenário até confirmação.
Um sistema de comunicação usa um refletor híbrido onde sinais seguem uma hipérbole $\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1$ antes de serem refletidos por uma parábola $x^2 = 16y$. Determine os pontos de intersecção entre essas curvas para otimizar o posicionamento dos componentes.
Reflexão de Sobrevivência: A intersecção precisa entre hipérbole e parábola cria pontos focais ótimos para amplificação de sinais. Estes pontos são cruciais para maximizar o alcance de comunicações de emergência na Zona Devastada.