1. Identificar que $a^2 = 25$, logo $a = 5$ (semi-eixo maior)
2. Identificar que $b^2 = 9$, logo $b = 3$ (semi-eixo menor)
3. Calcular a distância focal: $c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$, logo $c = 4$
4. Determinar as coordenadas dos focos: F₁(-4, 0) e F₂(4, 0)

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer os focos de sua rota permite estabelecer pontos estratégicos de comunicação, garantindo que qualquer posição na elipse mantenha a mesma soma de distâncias aos pontos de controle.

1. Substituir P(3, 2) na equação: $\frac{3^2}{16} + \frac{2^2}{12}$
2. Calcular: $\frac{9}{16} + \frac{4}{12} = \frac{9}{16} + \frac{1}{3}$
3. Encontrar denominador comum: $\frac{9}{16} + \frac{16}{48} = \frac{27}{48} + \frac{16}{48} = \frac{43}{48}$
4. Como $\frac{43}{48} < 1$, o mutante está dentro da zona de proteção

Reflexão de Sobrevivência: Esta verificação rápida permite avaliar ameaças instantaneamente. Um resultado menor que 1 significa que o alvo está dentro do alcance de suas defesas automáticas.

1. Identificar que a distância focal é c = 3 (distância do centro ao foco)
2. O semi-eixo maior é a = 5 (dado)
3. Calcular o semi-eixo menor: $b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$, logo $b = 4$
4. Escrever a equação canônica com os valores encontrados

Reflexão de Sobrevivência: Esta configuração cria um perímetro de segurança otimizado, onde os focos podem ser posições de torres de vigilância, garantindo cobertura máxima com recursos mínimos.

1. A soma constante é 2a = 10, logo a = 5
2. A distância focal é c = 4 (distância do centro ao foco)
3. Calcular: $b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 16 = 9$, logo $b = 3$
4. Como os focos estão no eixo y, a equação é $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$

Reflexão de Sobrevivência: Mapear campos de radiação permite calcular rotas seguras. A propriedade da soma constante garante que você sempre saiba sua distância total aos pontos de maior intensidade radioativa.

1. Identificar que 2a = 20, logo a = 10
2. A distância focal é c = 6 (distância do centro ao foco)
3. Calcular: $b^2 = a^2 - c^2 = 100 - 36 = 64$, logo $b = 8$
4. Calcular a excentricidade: $e = \frac{c}{a} = \frac{6}{10} = 0,6$
5. Como 0 < e < 1 e e = 0,6, a elipse é moderadamente achatada

Reflexão de Sobrevivência: Uma excentricidade de 0,6 indica uma rota eficiente que balanceia acessibilidade às duas bases. Rotas com baixa excentricidade são mais previsíveis, enquanto alta excentricidade pode oferecer vantagens táticas.

1. Dividir a equação por 36: $\frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = 1$
2. Simplificar: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
3. Identificar: $a^2 = 9$ (maior denominador), logo $a = 3$
4. Identificar: $b^2 = 4$, logo $b = 2$
5. Calcular: $c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5$, logo $c = \sqrt{5}$

Reflexão de Sobrevivência: A conversão rápida de equações é vital em emergências. Esta zona tem formato elíptico horizontal com focos em $(\pm\sqrt{5}, 0)$, oferecendo proteção máxima na direção horizontal.

1. Os focos da elipse são F₁(-5, 0) e F₂(5, 0), logo c = 5
2. A elipse deve passar por P(6, 0), que está no eixo maior
3. Como P(6, 0) está no eixo x e c = 5, temos que a = 6 (distância do centro ao vértice)
4. Calcular: $b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 25 = 11$
5. A equação é: $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1$

Reflexão de Sobrevivência: Estabelecer elipses de monitoramento com os mesmos focos que hipérboles inimigas permite interceptar comunicações mantendo distância segura dos pontos de transmissão hostis.

1. Identificar o centro: C(2, -1) (valores que tornam zero os termos entre parênteses)
2. Identificar: $a^2 = 16$, logo $a = 4$; $b^2 = 9$, logo $b = 3$
3. Calcular: $c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7$, logo $c = \sqrt{7}$
4. Os focos estão em: $(2 \pm \sqrt{7}, -1)$
5. Verificar I(6, 2): $\frac{(6-2)^2}{16} + \frac{(2+1)^2}{9} = \frac{16}{16} + \frac{9}{9} = 1 + 1 = 2 > 1$
6. Como o resultado é maior que 1, o ponto está fora da zona de alcance

Reflexão de Sobrevivência: Analisar trajetórias deslocadas é crucial para prever impactos. O ponto I(6, 2) está fora do alcance, indicando que o projétil não atingirá essa posição com a configuração atual.

1. A largura é o eixo maior: 2a = 8, logo a = 4
2. A altura é o eixo menor: 2b = 6, logo b = 3
3. Calcular a distância focal: $c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7$, logo $c = \sqrt{7}$
4. A equação do refletor é: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$
5. As coordenadas ideais para o transmissor são: $(\pm\sqrt{7}, 0)$

Reflexão de Sobrevivência: A propriedade reflexiva da elipse garante que sinais emitidos de um foco sempre convergem para o outro foco após reflexão, criando um sistema de comunicação altamente eficiente e focado.

1. Analisar as possibilidades: B(-3, 0) e C(3, 0) são simétricos em relação à origem
2. Configuração possível: focos em B(-3, 0) e C(3, 0), passando por A(0, 4)
3. Distância focal: c = 3
4. Para encontrar 'a': soma das distâncias de A aos focos = $d(A,B) + d(A,C)$
5. $d(A,B) = \sqrt{(-3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5$
6. $d(A,C) = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5$
7. Soma = 10 = 2a, logo a = 5
8. Calcular: $b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$, logo $b = 4$

Reflexão de Sobrevivência: Esta configuração otimiza a coleta de recursos, garantindo que a rota passe pelos três depósitos com eficiência máxima. A simetria dos focos simplifica o planejamento logístico.

1. Para a elipse externa: $a_1 = 10$, $b_1 = 8$, $c_1^2 = 100 - 64 = 36$, logo $c_1 = 6$
2. Área externa: $A_1 = \pi \cdot 10 \cdot 8 = 80\pi$
3. Área interna: $A_2 = \frac{A_1}{2} = 40\pi = \pi a_2 b_2$, logo $a_2 b_2 = 40$
4. Para mesmos focos: $c_2 = c_1 = 6$, então $c_2^2 = a_2^2 - b_2^2 = 36$
5. Sistema: $a_2 b_2 = 40$ e $a_2^2 - b_2^2 = 36$
6. De $b_2 = \frac{40}{a_2}$: $a_2^2 - \frac{1600}{a_2^2} = 36$
7. $a_2^4 - 36a_2^2 - 1600 = 0$. Seja $u = a_2^2$: $u^2 - 36u - 1600 = 0$
8. $u = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 6400}}{2} = \frac{36 \pm \sqrt{7696}}{2} = \frac{36 \pm 4\sqrt{481}}{2}$
9. Como $\sqrt{481} \approx 21.9$: $u \approx 50$, logo $a_2 \approx \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
10. $b_2 = \frac{40}{5\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$

Reflexão de Sobrevivência: Sistemas de defesa multicamadas com diferentes excentricidades criam zonas de proteção complementares. A elipse interna mais "alongada" oferece cobertura direcionada, enquanto a externa fornece proteção mais uniforme.

1. Equação com centro em (3, -2): $\frac{(x-3)^2}{a^2} + \frac{(y+2)^2}{b^2} = 1$
2. Dado: semi-eixo menor = 4, então o menor entre a e b é 4
3. P(7, 1) está na elipse: $\frac{(7-3)^2}{a^2} + \frac{(1+2)^2}{b^2} = 1$
4. $\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1$
5. Se $b = 4$: $\frac{16}{a^2} + \frac{9}{16} = 1$, então $\frac{16}{a^2} = \frac{7}{16}$, logo $a^2 = \frac{256}{7}$
6. Se $a = 4$: $\frac{16}{16} + \frac{9}{b^2} = 1$, então $\frac{9}{b^2} = 0$ (impossível)
7. Portanto: $a^2 = \frac{256}{7}$, $b^2 = 16$
8. Para maximizar $x + y$ na elipse, usar multiplicadores de Lagrange ou parametrização
9. Parametrizando: $x = 3 + \frac{16}{\sqrt{7}}\cos t$, $y = -2 + 4\sin t$
10. $x + y = 1 + \frac{16}{\sqrt{7}}\cos t + 4\sin t$
11. Máximo quando $\frac{d}{dt}(x + y) = 0$: $-\frac{16}{\sqrt{7}}\sin t + 4\cos t = 0$
12. $\tan t = \frac{\sqrt{7}}{4}$, então $\cos t = \frac{4}{\sqrt{23}}$, $\sin t = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{23}}$

Reflexão de Sobrevivência: Otimização de posicionamento em operações coordenadas requer cálculo avançado. A terceira equipe será posicionada no ponto da elipse onde a soma das coordenadas é máxima, garantindo vantagem tática e comunicação otimizada com as equipes nos focos.