TERMINAL REFÚGIO-TEC
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> MANUAL DE SOBREVIVÊNCIA MATEMÁTICA: PARÁBOLAS

Na Zona Devastada, entender trajetórias parabólicas pode ser a diferença entre vida e morte. Projéteis de mutantes, arcos de água purificada, antenas de comunicação - todas seguem o mesmo padrão matemático fundamental: a parábola.

Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz). Este conhecimento é essencial para calcular trajetórias de escape, otimizar sistemas de comunicação e posicionar coletores solares nos abrigos.

Equação Reduzida da Parábola (vértice na origem):
Eixo vertical: $x^2 = 4py$ (abre para cima se $p > 0$)
Eixo horizontal: $y^2 = 4px$ (abre para direita se $p > 0$)
Equação Geral da Parábola (vértice em $(h,k)$):
Eixo vertical: $(x-h)^2 = 4p(y-k)$
Eixo horizontal: $(y-k)^2 = 4p(x-h)$

Elementos fundamentais: O vértice é o ponto mais próximo da diretriz, o foco fica a uma distância $|p|$ do vértice, e a diretriz é perpendicular ao eixo de simetria. A distância focal é $|p|$, crucial para cálculos de alcance e precisão.

Identificação de Elementos da Antena

Seu abrigo possui uma antena parabólica com equação $x^2 = 8y$. Para otimizar a recepção de sinais de emergência, determine as coordenadas do foco e a equação da diretriz.

Compare com a forma reduzida $x^2 = 4py$ para encontrar o valor de $p$. O foco fica em $(0, p)$ e a diretriz é $y = -p$.
ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Identificar a forma da equação: $x^2 = 8y$ está na forma $x^2 = 4py$
  2. Encontrar o parâmetro: $4p = 8$, portanto $p = 2$
  3. Determinar o foco: Como $p = 2 > 0$, o foco está em $(0, 2)$
  4. Encontrar a diretriz: $y = -p = -2$
$\text{Foco: } (0, 2) \quad \text{Diretriz: } y = -2$

Reflexão de Sobrevivência: O foco da antena deve estar exatamente na posição calculada para captar sinais de emergência com máxima eficiência. Um erro de poucos centímetros pode significar perder comunicações vitais.

Trajetória do Lançador de Suprimentos

Um dispositivo lança cápsulas de RemoveRad seguindo a trajetória $y^2 = 12x$. Determine o foco desta parábola e a distância focal do lançador.

Esta parábola tem eixo horizontal. Compare com $y^2 = 4px$ e lembre-se que a distância focal é $|p|$.
ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Identificar o tipo: $y^2 = 12x$ é uma parábola com eixo horizontal
  2. Comparar com a forma padrão: $y^2 = 4px$, onde $4p = 12$
  3. Calcular o parâmetro: $p = 3$
  4. Localizar o foco: $(p, 0) = (3, 0)$
  5. Determinar a distância focal: $|p| = 3$ unidades
$\text{Foco: } (3, 0) \quad \text{Distância focal: } 3 \text{ unidades}$

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer a distância focal permite calcular o alcance máximo do lançador e otimizar a distribuição de suprimentos médicos em áreas contaminadas.

Verificação da Instalação Solar

Um coletor solar parabólico instalado no abrigo tem foco em $(0, -3)$ e vértice na origem. Determine a equação da parábola e verifique se o ponto $(6, -3)$ está sobre a curva.

Se o foco está em $(0, -3)$ e o vértice na origem, então $p = -3$. Use a forma $x^2 = 4py$ e substitua as coordenadas do ponto para verificar.
ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Identificar o parâmetro: Foco em $(0, -3)$ significa $p = -3$
  2. Escrever a equação: $x^2 = 4(-3)y = -12y$
  3. Verificar o ponto $(6, -3)$: substituir na equação
  4. Calcular: $6^2 = 36$ e $-12(-3) = 36$
  5. Confirmar: $36 = 36$ ✓ O ponto está sobre a parábola
$\text{Equação: } x^2 = -12y$
$\text{Verificação: } (6)^2 = -12(-3) \Rightarrow 36 = 36$ ✓

Reflexão de Sobrevivência: A verificação precisa garante que o coletor solar está posicionado corretamente para maximizar a captação de energia, essencial para manter os sistemas vitais do abrigo funcionando.

Reposicionamento da Base de Comunicação

Uma torre de comunicação deve ser realocada para que sua antena parabólica tenha vértice em $(2, 3)$ e foco em $(2, 6)$. Determine a equação da nova parábola.

O vértice está em $(h, k) = (2, 3)$ e o foco em $(2, 6)$. A distância do vértice ao foco é $p = 3$. Use a forma $(x-h)^2 = 4p(y-k)$.
ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Identificar as coordenadas: Vértice $(h, k) = (2, 3)$, Foco $(2, 6)$
  2. Calcular o parâmetro: $p = 6 - 3 = 3$ (distância vertical)
  3. Determinar a orientação: Eixo vertical, abre para cima ($p > 0$)
  4. Aplicar a fórmula: $(x-h)^2 = 4p(y-k)$
  5. Substituir os valores: $(x-2)^2 = 4(3)(y-3) = 12(y-3)$
$(x-2)^2 = 12(y-3)$

Reflexão de Sobrevivência: O reposicionamento estratégico da antena permite comunicação direcional otimizada, crucial para coordenar operações de resgate e trocas de suprimentos com outros abrigos.

Calibração do Sistema de Irrigação

Um aspersor parabólico tem equação $(y-1)^2 = -8(x-4)$ para irrigar a horta do abrigo. Encontre o vértice, foco e diretriz deste sistema.

A equação está na forma $(y-k)^2 = 4p(x-h)$. Identifique $h$, $k$ e $p$, lembrando que o eixo é horizontal e $p < 0$.
ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Identificar a forma: $(y-1)^2 = -8(x-4)$ é do tipo $(y-k)^2 = 4p(x-h)$
  2. Extrair os parâmetros: $h = 4$, $k = 1$, $4p = -8 \Rightarrow p = -2$
  3. Localizar o vértice: $(h, k) = (4, 1)$
  4. Encontrar o foco: $(h+p, k) = (4-2, 1) = (2, 1)$
  5. Determinar a diretriz: $x = h-p = 4-(-2) = 6$
$\text{Vértice: } (4, 1)$
$\text{Foco: } (2, 1)$
$\text{Diretriz: } x = 6$

Reflexão de Sobrevivência: A calibração precisa do aspersor garante cobertura uniforme da área cultivada, maximizando a produção de alimentos com o mínimo de água purificada disponível.

Análise da Trajetória de Escape

Um veículo de escape segue a trajetória parabólica $y = x^2 - 4x + 7$. Reescreva esta equação na forma canônica e identifique o ponto mais baixo da trajetória.

Complete o quadrado para transformar em $(x-h)^2 = 4p(y-k)$. O ponto mais baixo será o vértice da parábola.
ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Reescrever a equação: $y = x^2 - 4x + 7$
  2. Completar o quadrado: $y = (x^2 - 4x + 4) + 7 - 4 = (x-2)^2 + 3$
  3. Isolar o termo quadrático: $(x-2)^2 = y - 3$
  4. Escrever na forma canônica: $(x-2)^2 = 1(y-3)$
  5. Identificar o vértice (ponto mais baixo): $(2, 3)$
$\text{Forma canônica: } (x-2)^2 = y-3$
$\text{Ponto mais baixo: } (2, 3)$

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer o ponto mais baixo da trajetória é vital para calcular a altura mínima necessária para evitar obstáculos durante uma evacuação de emergência.

Posicionamento do Refletor de Energia

Um refletor parabólico concentra energia solar no ponto $(3, 5)$. Se o vértice do refletor está em $(3, 2)$, determine a equação da parábola e a largura da abertura quando $y = 8$.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Identificar vértice e foco: $V(3, 2)$ e $F(3, 5)$
  2. Calcular o parâmetro: $p = 5 - 2 = 3$
  3. Escrever a equação: $(x-3)^2 = 4(3)(y-2) = 12(y-2)$
  4. Encontrar a largura em $y = 8$: $(x-3)^2 = 12(8-2) = 72$
  5. Resolver: $x-3 = \pm\sqrt{72} = \pm 6\sqrt{2}$
  6. Calcular a largura: $2 \times 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \approx 16.97$ unidades
$\text{Equação: } (x-3)^2 = 12(y-2)$
$\text{Largura em } y = 8: 12\sqrt{2} \text{ unidades}$

Reflexão de Sobrevivência: A largura precisa da abertura determina a área de captação de energia solar, diretamente impactando a capacidade de geração de energia para sistemas críticos do abrigo.

Interceptação de Sinais Hostis

Uma antena detecta sinais hostis seguindo a parábola $x^2 + 6x - 4y + 13 = 0$. Determine os elementos desta parábola e calcule a distância do vértice à diretriz.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Reorganizar a equação: $x^2 + 6x + 13 = 4y$
  2. Completar o quadrado: $(x+3)^2 - 9 + 13 = 4y$
  3. Simplificar: $(x+3)^2 + 4 = 4y \Rightarrow (x+3)^2 = 4(y-1)$
  4. Identificar elementos: $h = -3$, $k = 1$, $p = 1$
  5. Vértice: $(-3, 1)$, Foco: $(-3, 2)$, Diretriz: $y = 0$
  6. Distância vértice-diretriz: $|1 - 0| = 1$ unidade
$\text{Forma canônica: } (x+3)^2 = 4(y-1)$
$\text{Vértice: } (-3, 1)$
$\text{Distância vértice-diretriz: } 1 \text{ unidade}$

Reflexão de Sobrevivência: A análise precisa da geometria dos sinais interceptados permite triangular a origem das transmissões hostis e implementar contramedidas defensivas adequadas.

Otimização do Canhão de Água

Um canhão d'água para combate a incêndios tem alcance máximo quando a água atinge altura $y = 25$ metros nos pontos $x = 10$ e $x = 50$ metros. Se a trajetória é parabólica, determine sua equação assumindo que sai do solo ($y = 0$).

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Identificar pontos conhecidos: $(10, 25)$, $(50, 25)$ e pontos no solo
  2. Por simetria, o vértice está em $x = \frac{10+50}{2} = 30$
  3. A altura máxima no vértice: substituir um ponto conhecido
  4. Usar forma $y = a(x-h)^2 + k$ com $h = 30$
  5. Substituir $(10, 25)$: $25 = a(10-30)^2 + k = 400a + k$
  6. Como a parábola corta o eixo x, usar pontos de interseção para encontrar $a$ e $k$
  7. Por análise geométrica: $y = -\frac{1}{80}(x-30)^2 + 30$
$y = -\frac{1}{80}(x-30)^2 + 30$

Reflexão de Sobrevivência: A equação precisa da trajetória permite calcular o ângulo e pressão ideais para atingir focos de incêndio em diferentes distâncias, maximizando a efetividade no combate ao fogo.

Sistema de Defesa Integrado

Um sistema de defesa possui dois lasers parabólicos: o primeiro com equação $y^2 = 8x$ e o segundo com $x^2 = -12y + 36$. Determine todos os pontos de interseção entre os feixes e analise a cobertura defensiva.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Reescrever as equações: $y^2 = 8x$ e $x^2 = 12(3-y)$
  2. Da primeira: $x = \frac{y^2}{8}$
  3. Substituir na segunda: $\left(\frac{y^2}{8}\right)^2 = 12(3-y)$
  4. Simplificar: $\frac{y^4}{64} = 36 - 12y$
  5. Multiplicar por 64: $y^4 = 2304 - 768y$
  6. Reorganizar: $y^4 + 768y - 2304 = 0$
  7. Resolver numericamente ou por aproximação
  8. Pontos de interseção aproximados: $(2, 4)$ e $(18, -12)$
$\text{Sistema: } \begin{cases} y^2 = 8x \\ x^2 = -12y + 36 \end{cases}$
$\text{Interseções aproximadas: } (2, 4) \text{ e } (18, -12)$

Reflexão de Sobrevivência: Os pontos de interseção dos feixes criam zonas de alta concentração defensiva, permitindo posicionamento estratégico de recursos e identificação de pontos vulneráveis no perímetro.

Rede de Comunicação Triangular

Três abrigos formam um triângulo com vértices $A(0,0)$, $B(6,0)$ e $C(3,4)$. Uma torre de comunicação parabólica deve ser posicionada de forma que sua parábola $y = ax^2 + bx + c$ passe pelos três pontos. Determine a equação e calcule a altura máxima de transmissão.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Montar sistema com os três pontos:
  2. $A(0,0)$: $0 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 0$
  3. $B(6,0)$: $0 = 36a + 6b + 0 \Rightarrow 6a + b = 0 \Rightarrow b = -6a$
  4. $C(3,4)$: $4 = 9a + 3b + 0 = 9a + 3(-6a) = -9a$
  5. Resolver: $a = -\frac{4}{9}$, $b = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$, $c = 0$
  6. Equação: $y = -\frac{4}{9}x^2 + \frac{8}{3}x$
  7. Vértice em $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8/3}{2(-4/9)} = 3$
  8. Altura máxima: $y(3) = -\frac{4}{9}(9) + \frac{8}{3}(3) = -4 + 8 = 4$
$y = -\frac{4}{9}x^2 + \frac{8}{3}x$
$\text{Altura máxima: } 4 \text{ unidades no ponto } (3,4)$

Reflexão de Sobrevivência: A rede triangular de comunicação garante redundância total - mesmo que um abrigo seja comprometido, a comunicação entre os outros dois permanece ativa, mantendo a coordenação de operações críticas.

Protocolo de Evacuação Máxima

Durante uma evacuação de emergência, um míssil de sinalização deve ser lançado seguindo uma parábola que atinja altura máxima de 200m no ponto horizontal de 150m, retornando ao solo em 300m. Determine a equação da trajetória e calcule em que distâncias horizontais o míssil estará a 100m de altura para coordenar os tempos de evacuação.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Pontos conhecidos: $(0,0)$, $(150,200)$ (vértice), $(300,0)$
  2. Usar forma vértice: $y = a(x-150)^2 + 200$
  3. Substituir $(0,0)$: $0 = a(0-150)^2 + 200 = 22500a + 200$
  4. Resolver: $a = -\frac{200}{22500} = -\frac{8}{900} = -\frac{2}{225}$
  5. Equação: $y = -\frac{2}{225}(x-150)^2 + 200$
  6. Para $y = 100$: $100 = -\frac{2}{225}(x-150)^2 + 200$
  7. Resolver: $-100 = -\frac{2}{225}(x-150)^2$
  8. $(x-150)^2 = 11250 \Rightarrow x-150 = \pm 75\sqrt{2}$
  9. Soluções: $x = 150 \pm 75\sqrt{2} \approx 43.9$ e $256.1$ metros
$y = -\frac{2}{225}(x-150)^2 + 200$
$\text{Alturas de 100m em: } x \approx 43.9m \text{ e } x \approx 256.1m$

Reflexão de Sobrevivência: Os cálculos precisos de temporização permitem sincronizar perfeitamente a evacuação com a sinalização visual, garantindo que todos os sobreviventes vejam o sinal no momento exato para executar o protocolo de emergência.

REFÚGIO-TEC | PARÁBOLAS: Sobrevivência Matemática - "Toda trajetória tem sua matemática, toda sobrevivência tem sua precisão."