1. Calcular o ponto médio M do segmento AB: $M = \left(\frac{2+8}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (5, 3)$
2. Calcular o coeficiente angular do segmento AB: $m_{AB} = \frac{5-1}{8-2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
3. O coeficiente angular da mediatriz é o inverso negativo: $m_{mediatriz} = -\frac{3}{2}$
4. Usar a forma ponto-coeficiente angular: $y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 5)$
5. Simplificar: $y - 3 = -\frac{3}{2}x + \frac{15}{2}$

Reflexão de Sobrevivência: A mediatriz garante que seu posto de comunicação tenha acesso igualmente eficiente aos dois abrigos, otimizando recursos e tempo de deslocamento em emergências.

1. Identificar o centro C(3, -2) e o raio r = 5
2. Aplicar a forma geral da circunferência: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$
3. Substituir os valores: $(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$
4. Simplificar: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Reflexão de Sobrevivência: Este perímetro circular garante detecção precoce de ameaças, permitindo tempo adequado para ativar defesas ou iniciar evacuação do abrigo principal.

1. Estabelecer a condição: $d(P,A) = d(P,B)$
2. Aplicar a fórmula da distância: $\sqrt{(x+1)^2 + (y-4)^2} = \sqrt{(x-7)^2 + (y+2)^2}$
3. Elevar ambos os lados ao quadrado: $(x+1)^2 + (y-4)^2 = (x-7)^2 + (y+2)^2$
4. Expandir: $x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = x^2 - 14x + 49 + y^2 + 4y + 4$
5. Simplificar: $2x - 8y + 17 = -14x + 4y + 53$
6. Reagrupar: $16x - 12y = 36$

Reflexão de Sobrevivência: Esta linha de equidistância funciona como zona neutra, evitando conflitos territoriais e permitindo comércio seguro entre os dois grupos.

1. Identificar os focos: F₁(-3, 0) e F₂(3, 0), com c = 3
2. A soma das distâncias é 2a = 10, logo a = 5
3. Calcular b usando a relação: $c^2 = a^2 - b^2$
4. Substituir: $9 = 25 - b^2$, então $b^2 = 16$ e $b = 4$
5. Como os focos estão no eixo x, a elipse tem centro na origem

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer os limites exatos da zona elíptica de contaminação permite planejar rotas seguras e estabelecer protocolos de descontaminação adequados.

1. Identificar o foco F(0, 2) e a diretriz y = -2
2. O vértice está no ponto médio: V(0, 0)
3. A distância do vértice ao foco é p = 2
4. Como a parábola abre para cima, usar a forma: $x^2 = 4py$
5. Substituir p = 2: $x^2 = 4(2)y = 8y$

Reflexão de Sobrevivência: O campo parabólico concentra a detecção de forma eficiente, maximizando a cobertura frontal enquanto economiza energia da torre de vigilância.

1. Identificar os focos: A(-4, 0) e B(4, 0), com c = 4
2. A diferença das distâncias é 2a = 6, logo a = 3
3. Calcular b usando: $c^2 = a^2 + b^2$
4. Substituir: $16 = 9 + b^2$, então $b^2 = 7$
5. A hipérbole tem centro na origem e focos no eixo x

Reflexão de Sobrevivência: Mapear a zona hiperbólica de interferência evita problemas de comunicação e permite reposicionar equipamentos para máxima eficiência.

1. Ponto médio de AB: $M = (3, 1)$
2. Segmento AB é horizontal, então a mediatriz é vertical: $x = 3$
3. Equação da reta AC: coeficiente angular = $\frac{4-1}{3-1} = \frac{3}{2}$
4. Equação de AC: $y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)$ → $y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$
5. Interseção: substituir $x = 3$ em AC: $y = \frac{3}{2}(3) - \frac{1}{2} = 4$

Reflexão de Sobrevivência: A interseção da mediatriz com o lado do triângulo identifica um ponto estratégico para instalação de equipamentos com acesso otimizado aos marcos A e B.

1. Círculo 1: $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$. Substituir $y = x + 1$:
2. $(x-2)^2 + (x+1+1)^2 = 9$ → $(x-2)^2 + (x+2)^2 = 9$
3. $x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 4 = 9$ → $2x^2 + 8 = 9$ → $2x^2 = 1$
4. $\Delta > 0$: duas interseções para todos os círculos
5. Verificar que a reta passa por todos os três círculos calculando a distância do centro à reta

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer os pontos de interseção permite calcular exatamente quando o invasor cruzará cada perímetro, otimizando o tempo de resposta defensiva.

1. Centro da elipse: $C = (1, 1)$ (ponto médio entre P₁ e P₂)
2. Distância entre focos: $2c = \sqrt{36 + 16} = 2\sqrt{13}$, então $c = \sqrt{13}$
3. Soma das distâncias: $2a = 10$, então $a = 5$
4. Calcular $b$: $b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 13 = 12$
5. A elipse está rotacionada. Para verificar interseção, use método algébrico complexo

Reflexão de Sobrevivência: O corredor elíptico de comunicação garante que mensagens possam ser transmitidas entre as bases mantendo uma distância total controlada para segurança.

1. Usar a definição: $d(P,F) = d(P,\text{reta})$
2. $\sqrt{(x-3)^2 + (y-1)^2} = \frac{|2x - y - 3|}{\sqrt{5}}$
3. Elevar ao quadrado e simplificar: $(x-3)^2 + (y-1)^2 = \frac{(2x-y-3)^2}{5}$
4. Expandir e reagrupar para obter a equação da parábola
5. Para interseção com $x^2 + y^2 = 25$, resolver o sistema simultaneamente

Reflexão de Sobrevivência: O campo parabólico deslocado cria uma zona de proteção assimétrica, essencial para defender instalações críticas contra ataques direcionais.

1. Círculo A: $x^2 + y^2 = 16$
2. Círculo B: $(x-6)^2 + y^2 = 16$
3. Círculo C: $(x-3)^2 + (y-3\sqrt{3})^2 = 16$
4. Zona AB: interseção de A e B, mas fora de C
5. Calcular interseções: AB se encontram em $(3, \pm\sqrt{7})$
6. Verificar quais pontos estão fora do terceiro círculo

Reflexão de Sobrevivência: As zonas de sobreposição dupla garantem redundância na vigilância, eliminando pontos cegos críticos no perímetro de segurança integrado.

1. A fronteira é a mediatriz do segmento E₁E₂
2. Ponto médio: $M = (0, 0)$
3. Coeficiente angular de E₁E₂: $m = \frac{-2-2}{5-(-5)} = -\frac{2}{5}$
4. Coeficiente da mediatriz: $m_{med} = \frac{5}{2}$
5. Equação da fronteira: $y = \frac{5}{2}x$
6. Interseção com elipse: substituir na equação $4x^2 + 9(\frac{5x}{2})^2 = 36$
7. $4x^2 + 9 \cdot \frac{25x^2}{4} = 36$ → $x^2(4 + \frac{225}{4}) = 36$

Reflexão de Sobrevivência: A fronteira de evacuação otimizada garante que cada sobrevivente use a rota mais eficiente, minimizando tempo de exposição e congestionamento nas saídas.