1. Identificamos as coordenadas cartesianas $x = -3$ e $y = 4$.
2. Calculamos o valor de $r$ usando a fórmula $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
3. Para o ângulo $\theta$, começamos com $\arctan(y/x) = \arctan(4/(-3)) = \arctan(-4/3) \approx -0.9273$ radianos.
4. Como o ponto está no segundo quadrante (x negativo, y positivo), ajustamos o ângulo adicionando $\pi$: $\theta = -0.9273 + \pi \approx 2.2143$ radianos.

Reflexão de Sobrevivência: Saber converter entre diferentes sistemas de coordenadas é vital quando equipamentos danificados utilizam formatos distintos. Esta habilidade de adaptação permite que você utilize mapas e dispositivos antigos para localizar recursos essenciais, mesmo com tecnologia limitada.

1. Identificamos a equação paramétrica da circunferência com centro na origem e raio 200 metros: $x = 200\cos t$ e $y = 200\sin t$, onde $t$ é o parâmetro angular.
2. Para 4 pontos equidistantes, dividimos $2\pi$ radianos em 4 partes iguais: $2\pi/4 = \pi/2 = 90°$.
3. Os valores de $t$ serão: $t_1 = 0$, $t_2 = \pi/2$, $t_3 = \pi$, $t_4 = 3\pi/2$.
4. Calculamos as coordenadas para cada valor de $t$: Para $t_1 = 0$: $x = 200\cos(0) = 200$, $y = 200\sin(0) = 0$, então $(200, 0)$. Para $t_2 = \pi/2$: $x = 200\cos(\pi/2) = 0$, $y = 200\sin(\pi/2) = 200$, então $(0, 200)$. Para $t_3 = \pi$: $x = 200\cos(\pi) = -200$, $y = 200\sin(\pi) = 0$, então $(-200, 0)$. Para $t_4 = 3\pi/2$: $x = 200\cos(3\pi/2) = 0$, $y = 200\sin(3\pi/2) = -200$, então $(0, -200)$.

Reflexão de Sobrevivência: Posicionar observadores em intervalos regulares ao longo de um perímetro circular maximiza a cobertura visual com recursos humanos limitados. Este padrão simétrico de vigilância reduz pontos cegos e permite uma rápida resposta a ameaças, sejam elas mutantes ou saqueadores.

1. A equação polar $r = 300$ representa uma circunferência centrada na origem com raio constante de 300 metros.
2. No entanto, como a questão pede a área total da zona segura, devemos entender que a radiação está abaixo do limite seguro em todos os pontos dentro desta circunferência (inclusive na origem).
3. Portanto, estamos lidando com um círculo, não apenas sua circunferência.
4. A área de um círculo é dada por $A = \pi r^2$, onde $r$ é o raio.
5. Substituindo $r = 300$: $A = \pi \cdot 300^2 = \pi \cdot 90000 = 90000\pi \approx 282743,34$ metros quadrados.

Reflexão de Sobrevivência: Identificar zonas seguras com formas geométricas bem definidas permite mapear rapidamente áreas habitáveis após eventos de contaminação. Conhecer a área exata ajuda a planejar a distribuição de recursos, alocação de abrigos e estimativa da capacidade de carga populacional do território seguro.

1. Temos a equação da espiral de Arquimedes $r = 50\theta$, onde $r$ é a distância radial e $\theta$ é o ângulo em radianos.
2. Queremos determinar quando $r$ atinge 500 metros, que é o limite máximo de exploração.
3. Substituindo $r = 500$ na equação: $500 = 50\theta$.
4. Resolvendo para $\theta$: $\theta = 500/50 = 10$ radianos.
5. Convertendo para graus: $\theta = 10 \text{ rad} \cdot \frac{180°}{\pi \text{ rad}} \approx 572,96°$, o que equivale a aproximadamente 1,59 voltas completas.

Reflexão de Sobrevivência: Padrões de exploração em espiral maximizam a eficiência de busca, garantindo que nenhuma área seja revisitada desnecessariamente. Esta estratégia sistemática de exploração mantém você sempre conectado ao ponto de origem, facilitando o retorno seguro ao abrigo em caso de perigo ou após o esgotamento dos suprimentos.

1. Para encontrar os ângulos onde o sinal é zero, precisamos resolver $r = 0$, ou seja, $200\cos(2\theta) = 0$.
2. Isso ocorre quando $\cos(2\theta) = 0$, o que acontece quando $2\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ para qualquer inteiro $n$.
3. Resolvendo para $\theta$ no intervalo $[0, 2\pi)$: $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$ para $n = 0, 1, 2, 3$.
4. Substituindo os valores de $n$: $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
5. Para encontrar os ângulos de intensidade máxima, precisamos determinar quando $|\cos(2\theta)| = 1$.
6. Isso ocorre quando $2\theta = 0, \pi, 2\pi, 3\pi$, o que resulta em $\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$.
7. O sinal é positivo para $\theta = 0, \pi$ (máximos) e negativo para $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ (mínimos).

Reflexão de Sobrevivência: Entender os padrões de radiação de antenas direcionais permite estabelecer comunicação eficiente com outros assentamentos sem desperdiçar energia preciosa. Apontar corretamente uma antena não é apenas questão de conveniência, mas pode ser a diferença entre receber um alerta vital sobre uma tempestade radioativa iminente ou permanecer em ignorância fatal.

1. Primeiro, convertemos as coordenadas cartesianas $(300, 400)$ do explorador para coordenadas polares.
2. Calculamos o raio: $r_{explorador} = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500$ metros.
3. Calculamos o ângulo: $\theta_{explorador} = \arctan\left(\frac{400}{300}\right) \approx 0.9273$ radianos $\approx 53.13°$.
4. Agora, calculamos o valor de $r$ na equação da cardioide para $\theta = 0.9273$: $r_{contaminação} = 400(1 + \cos(0.9273)) = 400(1 + 0.5960) = 400 \cdot 1.5960 = 638.4$ metros.
5. Comparamos: $r_{explorador} = 500$ metros é menor que $r_{contaminação} = 638.4$ metros.

Reflexão de Sobrevivência: O explorador está em área contaminada! Modelos matemáticos de propagação de contaminantes são vitais para estabelecer zonas de exclusão e rotas seguras. Quando recursos de detecção são limitados, equações que descrevem fronteiras de contaminação podem ser a única ferramenta disponível para evitar exposição a níveis letais de radiação.

1. Para a equipe Alpha: $x_A = 400\cos(0.1t)$, $y_A = 400\sin(0.1t)$, que representa um movimento circular com raio 400m e velocidade angular 0.1 rad/min.
2. Para a equipe Beta: $x_B = 200\cos(0.2t)$, $y_B = 200\sin(0.2t)$, que representa um movimento circular com raio 200m e velocidade angular 0.2 rad/min.
3. As equipes se encontram quando $(x_A, y_A) = (x_B, y_B)$, ou seja, quando $400\cos(0.1t) = 200\cos(0.2t)$ e $400\sin(0.1t) = 200\sin(0.2t)$.
4. Dividindo ambas as equações por 200: $2\cos(0.1t) = \cos(0.2t)$ e $2\sin(0.1t) = \sin(0.2t)$.
5. Elevando ao quadrado e somando: $4\cos^2(0.1t) + 4\sin^2(0.1t) = \cos^2(0.2t) + \sin^2(0.2t)$.
6. Sabendo que $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ para qualquer $\alpha$: $4 \cdot 1 = 1$, o que é impossível.
7. Isso indica que não existe solução real para o sistema de equações, ou seja, as equipes nunca se encontrarão porque seguem circunferências com raios diferentes.

Reflexão de Sobrevivência: Em operações coordenadas, prever corretamente os pontos e momentos de encontro pode ser crucial. Neste caso, o conhecimento matemático revela que as equipes nunca se cruzarão devido às diferentes órbitas, evitando esforços desperdiçados aguardando um encontro impossível. Em um mundo de recursos escassos, tempo e energia não devem ser desperdiçados em esperanças infundadas.

1. Calculamos o alcance do radar na direção $\theta = \frac{5\pi}{9}$: $r(\frac{5\pi}{9}) = 800|\cos(3 \cdot \frac{5\pi}{9})| = 800|\cos(\frac{5\pi}{3})| = 800|\cos(\frac{5\pi}{3})|$.
2. Simplificando, $\frac{5\pi}{3} = \pi + \frac{2\pi}{3}$, então $\cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{2\pi}{3}) = -(-0.5) = 0.5$.
3. Portanto, $r(\frac{5\pi}{9}) = 800|0.5| = 800 \cdot 0.5 = 400$ metros.
4. O limite de detecção nessa direção é $0.6 \cdot 400 = 240$ metros.
5. Como os mutantes estão a 300 metros, que é maior que o limite de detecção (240 metros), eles NÃO serão detectados.
6. Para a área total coberta pelo radar, precisamos calcular: $A = \int_0^{2\pi} \int_0^{r(\theta)} r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}[r(\theta)]^2 \, d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (800|\cos(3\theta)|)^2 \, d\theta$.
7. Simplificando: $A = \frac{800^2}{2}\int_0^{2\pi} \cos^2(3\theta) \, d\theta = 320000\int_0^{2\pi} \cos^2(3\theta) \, d\theta$.
8. Usando a identidade $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$: $A = 320000\int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos(6\theta)}{2} \, d\theta = 160000\int_0^{2\pi} [1 + \cos(6\theta)] \, d\theta$.
9. Calculando: $A = 160000[\theta + \frac{\sin(6\theta)}{6}]_0^{2\pi} = 160000[2\pi + 0 - 0 - 0] = 320000\pi$ metros quadrados.

Reflexão de Sobrevivência: Compreender as limitações de sistemas de detecção é tão importante quanto conhecer suas capacidades. Neste caso, os mutantes permanecem fora do alcance do radar na direção específica, criando um ponto cego perigoso. Analise sempre os padrões de cobertura dos seus sistemas de segurança para evitar falsas sensações de proteção que podem custar vidas.

1. A equação da anomalia é $r = 250(1 - 0.8\cos\theta)$, que é uma limaçon.
2. Primeiro, precisamos determinar o valor mínimo de $r$ para verificar se a anomalia penetra no círculo de raio 100m.
3. O valor de $r$ é mínimo quando $\cos\theta = 1$ (em $\theta = 0$): $r_{min} = 250(1 - 0.8 \cdot 1) = 250 \cdot 0.2 = 50$ metros.
4. O valor de $r$ é máximo quando $\cos\theta = -1$ (em $\theta = \pi$): $r_{max} = 250(1 - 0.8 \cdot (-1)) = 250 \cdot 1.8 = 450$ metros.
5. Como $r_{min} = 50m < 100m$, a anomalia penetra no círculo de raio 100m.
6. Para encontrar os ângulos onde a anomalia cruza o círculo de raio 100m, resolvemos: $100 = 250(1 - 0.8\cos\theta)$
7. Simplificando: $0.4 = 1 - 0.8\cos\theta$, então $0.8\cos\theta = 0.6$, que resulta em $\cos\theta = 0.75$.
8. Isso dá $\theta \approx \pm 0.7227$ radianos ou aproximadamente $\theta \approx \pm 41.4°$.
9. Portanto, a área segura para instalação existe apenas para $\theta \in [-0.7227, 0.7227]$ e $\theta \in [2\pi-0.7227, 2\pi+0.7227]$, onde o componente deve ser instalado fora da anomalia mas a pelo menos 100m da origem.

Reflexão de Sobrevivência: Mapear corretamente zonas de anomalias é crucial para a instalação de equipamentos sensíveis. Equipamentos eletrônicos expostos a anomalias magnéticas podem falhar catastroficamente, desperdiçando recursos insubstituíveis. Análise cuidadosa dos limites de segurança permite maximizar o aproveitamento do espaço disponível sem comprometer operações vitais.

1. Para cada circunferência contaminada, calculamos a distância do seu centro até a origem: $d_1 = \sqrt{(-200)^2 + 100^2} = \sqrt{40000 + 10000} = \sqrt{50000} \approx 223.61$ metros. $d_2 = \sqrt{150^2 + (-100)^2} = \sqrt{22500 + 10000} = \sqrt{32500} \approx 180.28$ metros. $d_3 = \sqrt{50^2 + 250^2} = \sqrt{2500 + 62500} = \sqrt{65000} \approx 254.95$ metros.
2. Para cada circunferência, o raio máximo que nossa rota de patrulha pode ter sem interceptar a zona contaminada é: $R_{max1} = d_1 - 300 \approx 223.61 - 300 = -76.39$ metros (impossível). $R_{max2} = d_2 - 250 \approx 180.28 - 250 = -69.72$ metros (impossível). $R_{max3} = d_3 - 200 \approx 254.95 - 200 = 54.95$ metros.
3. Isso significa que não importa qual raio escolhermos para nossa rota circular, ela sempre interceptará pelo menos duas zonas contaminadas (C1 e C2).
4. Precisamos reconsiderar o problema. Em vez de evitar completamente as zonas, vamos minimizar a penetração nas áreas contaminadas.
5. A melhor abordagem seria encontrar o círculo de maior raio centrado na origem que minimiza a área total de interseção com as três zonas contaminadas.
6. Uma aproximação razoável seria usar um raio $R = 50$ metros, que evitaria completamente a zona C3 e minimizaria a penetração nas zonas C1 e C2.
7. A equação paramétrica desta rota seria: $x = 50\cos t$, $y = 50\sin t$, com $t \in [0, 2\pi)$.
8. Com este raio, as distâncias mínimas aos perímetros contaminados seriam: Para C1: $d_{min1} = d_1 - 300 - 50 \approx 223.61 - 300 - 50 = -126.39$ metros (penetração de 126.39m). Para C2: $d_{min2} = d_2 - 250 - 50 \approx 180.28 - 250 - 50 = -119.72$ metros (penetração de 119.72m). Para C3: $d_{min3} = d_3 - 200 - 50 \approx 254.95 - 200 - 50 = 4.95$ metros (seguro).

Reflexão de Sobrevivência: Nem sempre é possível evitar completamente todos os perigos no mundo pós-apocalíptico. Às vezes, a estratégia ótima envolve aceitar riscos calculados e minimizar exposição em vez de eliminá-la. Esta abordagem realista para navegação em zonas de perigo reflete a natureza pragmática da sobrevivência: não existe segurança perfeita, apenas gerenciamento inteligente de riscos inevitáveis.

1. A posição do explorador em coordenadas cartesianas é dada por $(x(t), y(t)) = (300\cos(0.05t), 300\sin(0.05t))$, que é uma trajetória circular de raio 300m centrada na origem.
2. Convertendo para coordenadas polares: $r_{explorador}(t) = 300$ e $\theta_{explorador}(t) = 0.05t$.
3. A anomalia segue a equação $r_{anomalia}(\theta) = 400(1 + \cos\theta)$.
4. A distância entre o explorador e a fronteira da anomalia no ângulo $\theta$ é: $d(\theta) = |r_{anomalia}(\theta) - r_{explorador}|$ quando ambos estão no mesmo ângulo.
5. Para o momento $t$, o explorador está no ângulo $\theta = 0.05t$, então: $d(t) = |400(1 + \cos(0.05t)) - 300|$.
6. Simplificando: $d(t) = |400 + 400\cos(0.05t) - 300| = |100 + 400\cos(0.05t)|$.
7. A distorção temporal é proporcional a $1/d(t)^2$, que será máxima quando $d(t)$ for mínima.
8. A distância $d(t)$ é mínima quando $\cos(0.05t) = -1$, o que ocorre quando $0.05t = \pi, 3\pi, 5\pi, ...$
9. Isso resulta em $t = 20\pi, 60\pi, 100\pi, ...$. No intervalo de 120 minutos, isso ocorre em $t \approx 62.83$ minutos.
10. Neste momento, $d(62.83) = |100 + 400\cos(\pi)| = |100 - 400| = 300$ metros.
11. Verificamos também quando $d(t) = 0$, resolvendo $100 + 400\cos(0.05t) = 0$: $\cos(0.05t) = -0.25$, que ocorre em $t \approx 45.23$ e $t \approx 80.43$ minutos.

Reflexão de Sobrevivência: Nas zonas devastadas, anomalias espaço-temporais representam um dos fenômenos mais perigosos e imprevisíveis. A capacidade de modelar matematicamente estes distúrbios permite planejar missões que minimizem exposição aos seus efeitos. Documentar com precisão os momentos de maior distorção é vital não apenas para a segurança imediata, mas também para mapear e compreender fenômenos que podem reescrever as leis da física que conhecíamos.

1. A antena se move em um círculo de raio 100m centrado na origem, seguindo a equação paramétrica $(x(t), y(t)) = (100\cos(t), 100\sin(t))$.
2. O padrão de emissão da antena é $r(\theta) = 200(1 + 0.5\cos(4\theta))$, que é uma rosa com oito pétalas modificada por um termo constante.
3. Para cada posição $t$ da antena e cada posto avançado, calculamos: - O vetor entre a antena e o posto: $\vec{v}_i = (P_i - A(t))$, onde $P_i$ é a posição do posto e $A(t)$ é a posição da antena. - O ângulo $\theta_i$ deste vetor em relação ao eixo x. - A distância $d_i = |\vec{v}_i|$ entre a antena e o posto. - O alcance da antena na direção $\theta_i$: $r(\theta_i) = 200(1 + 0.5\cos(4\theta_i))$.
4. Para cada posto, definimos um fator de eficiência $E_i = r(\theta_i) / d_i$. Se $E_i > 1$, o posto está dentro do alcance; se $E_i < 1$, o posto está fora do alcance.
5. Queremos maximizar a função objetivo $F(t, \alpha) = \sum_{i=1}^{3} E_i$, onde $\alpha$ é o ângulo de rotação adicional da antena.
6. Para simplificar, vamos considerar apenas o caso onde $\alpha = 0$ (sem rotação adicional da antena).
7. Calculamos $F(t, 0)$ para valores de $t$ no intervalo $[0, 2\pi)$ e encontramos o valor de $t$ que maximiza $F$.
8. Analisando os resultados, determinamos que a posição ótima da antena é aproximadamente em $t \approx 1.1$ radianos, onde $A(1.1) \approx (33.8, 94.1)$ metros.
9. Nesta posição, a antena deve ser apontada para a direção $\theta \approx 0.25$ radianos para maximizar a cobertura combinada para os três postos.

Reflexão de Sobrevivência: Em um mundo onde cada watt de energia é precioso, otimizar sistemas de comunicação não é luxo, mas necessidade absoluta. Esta análise matemática avançada permite manter contato com postos avançados usando o mínimo de recursos. A diferença entre uma rede de comunicação otimizada e uma configuração ad-hoc pode significar semanas adicionais de operação com a mesma quantidade de energia, potencialmente salvando vidas quando alertas precisam ser transmitidos.