1. A equação da reta que passa pelos pontos (0, 0) e (5, 8) pode ser encontrada usando a forma $y = mx$, onde $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8-0}{5-0} = \frac{8}{5}$
2. A equação da reta é $y = \frac{8}{5}x$ ou $8x - 5y = 0$ na forma $ax + by + c = 0$ com $a = 8$, $b = -5$ e $c = 0$
3. A distância do centro da zona de radiação (3, 4) à reta é $d = \frac{|a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|8 \cdot 3 + (-5) \cdot 4 + 0|}{\sqrt{8^2 + (-5)^2}} = \frac{|24 - 20|}{\sqrt{64 + 25}} = \frac{4}{\sqrt{89}} \approx 0.42$
4. Como o raio da zona de radiação é 3 e $d \approx 0.42 < 3$, a reta é secante à circunferência, ou seja, a rota direta passa pela zona contaminada

Reflexão de Sobrevivência: Rotas em linha reta podem parecer eficientes, mas muitas vezes cruzam zonas de perigo. Um bom sobrevivente sempre verifica matematicamente se um caminho é seguro antes de se aventurar, assim como devemos verificar se uma reta intersecta uma circunferência antes de traçar uma rota através da Zona Devastada.

1. A equação da circunferência centrada em (2, 3) com raio 4 é $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$
2. Para a reta $x + 2y - 8 = 0$, temos $a = 1$, $b = 2$ e $c = -8$
3. A distância do centro da circunferência à reta é $d = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 8|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 6 - 8|}{\sqrt{5}} = \frac{0}{\sqrt{5}} = 0$
4. Como $d = 0 < 4$, a reta é secante à circunferência e passa pelo centro
5. Para encontrar os pontos de interseção, isolamos $y$ na equação da reta: $y = \frac{8-x}{2} = 4 - \frac{x}{2}$
6. Substituindo na equação da circunferência: $(x-2)^2 + (4-\frac{x}{2}-3)^2 = 16$
7. Simplificando: $(x-2)^2 + (1-\frac{x}{2})^2 = 16$
8. Expandindo: $x^2 - 4x + 4 + (1-\frac{x}{2})^2 = 16$
9. Continuando: $x^2 - 4x + 4 + 1 - x + \frac{x^2}{4} = 16$
10. Reorganizando: $\frac{5x^2}{4} - 5x + 5 - 16 = 0$ o que nos dá $\frac{5x^2}{4} - 5x - 11 = 0$
11. Multiplicando por 4: $5x^2 - 20x - 44 = 0$
12. Usando a fórmula quadrática: $x = \frac{20 \pm \sqrt{20^2 + 4 \cdot 5 \cdot 44}}{2 \cdot 5} = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 880}}{10} = \frac{20 \pm \sqrt{1280}}{10}$
13. Simplificando: $x \approx -1.31$ ou $x \approx 6.71$
14. Substituindo na equação da reta: para $x \approx -1.31$, $y \approx 4.65$ e para $x \approx 6.71$, $y \approx 0.64$
15. Portanto, os pontos de interseção são aproximadamente $(-1.31, 4.65)$ e $(6.71, 0.64)$

Reflexão de Sobrevivência: Quando uma rota cruza diretamente o centro de uma zona circular, ela certamente intersectará o perímetro em dois pontos diametralmente opostos. Na Zona Devastada, isso significa que uma patrulha que passe pelo centro de uma região contaminada terá dois pontos críticos de entrada e saída para gerenciar seus recursos de proteção.

1. A equação da circunferência centrada em (4, 1) com raio 5 é $(x-4)^2 + (y-1)^2 = 25$
2. A equação da reta $y = 2x - 3$ pode ser reescrita como $-2x + y + 3 = 0$, com $a = -2$, $b = 1$ e $c = 3$
3. A distância do centro da circunferência à reta é $d = \frac{|-2 \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 3|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-8 + 1 + 3|}{\sqrt{5}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.79$
4. Como $d = \frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.79 < 5$ (raio), a reta é secante à circunferência
5. Para encontrar os pontos de interseção, substituímos $y = 2x - 3$ na equação da circunferência:
6. $(x-4)^2 + (2x-3-1)^2 = 25$
7. $(x-4)^2 + (2x-4)^2 = 25$
8. $(x-4)^2 + 4(x-2)^2 = 25$
9. $x^2 - 8x + 16 + 4(x^2 - 4x + 4) = 25$
10. $x^2 - 8x + 16 + 4x^2 - 16x + 16 = 25$
11. $5x^2 - 24x + 32 = 25$
12. $5x^2 - 24x + 7 = 0$
13. Usando a fórmula quadrática: $x = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7}}{2 \cdot 5} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 140}}{10} = \frac{24 \pm \sqrt{436}}{10}$
14. $x \approx 4.09$ ou $x \approx 0.34$
15. Substituindo na equação da reta: para $x \approx 4.09$, $y \approx 5.18$ e para $x \approx 0.34$, $y \approx -2.32$
16. Portanto, os postos de observação possíveis estão nas coordenadas aproximadas $(4.09, 5.18)$ e $(0.34, -2.32)$

Reflexão de Sobrevivência: Posicionar-se exatamente na borda de uma zona perigosa oferece vantagem estratégica - próximo o suficiente para observação, mas a um passo de distância da segurança. Na geometria analítica, os pontos de interseção entre reta e circunferência representam essas posições críticas onde devemos estar alertas para mudar de curso rapidamente se necessário.

1. Se a estrada tem equação $3x - 4y - 12 = 0$, temos $a = 3$, $b = -4$ e $c = -12$
2. Para que a reta seja tangente à circunferência, precisamos que a distância do centro $(x_0, y_0)$ à reta seja exatamente igual ao raio 6
3. Usando a fórmula da distância: $\frac{|3x_0 - 4y_0 - 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 6$
4. Simplificando: $\frac{|3x_0 - 4y_0 - 12|}{\sqrt{9 + 16}} = 6$ o que nos dá $\frac{|3x_0 - 4y_0 - 12|}{5} = 6$
5. Portanto, $|3x_0 - 4y_0 - 12| = 30$
6. Isto nos dá duas possibilidades: $3x_0 - 4y_0 - 12 = 30$ ou $3x_0 - 4y_0 - 12 = -30$
7. Caso 1: $3x_0 - 4y_0 - 12 = 30$, que simplifica para $3x_0 - 4y_0 = 42$
8. Caso 2: $3x_0 - 4y_0 - 12 = -30$, que simplifica para $3x_0 - 4y_0 = -18$
9. Estas são equações de retas paralelas à estrada inimiga, a uma distância de 6 unidades. Qualquer ponto $(x_0, y_0)$ nestas retas pode ser o centro da circunferência
10. Podemos escolher pontos específicos, por exemplo, se $y_0 = 0$, então para o Caso 1: $x_0 = 14$ e para o Caso 2: $x_0 = -6$

Reflexão de Sobrevivência: Quando precisamos que uma zona de efeito apenas toque uma linha inimiga sem cruzá-la, estamos buscando tangência matemática. Na Zona Devastada, esta precisão pode significar desativar equipamentos inimigos enquanto preservamos nossos próprios sistemas - uma aplicação direta da geometria analítica para operações táticas eficientes.

1. Temos duas circunferências concêntricas com centro em (5, -2): uma com raio 3 (zona letal) e outra com raio 7 (zona moderada)
2. A equação da rota é $2x + 3y - 1 = 0$, com $a = 2$, $b = 3$ e $c = -1$
3. A distância do centro (5, -2) à rota é $d = \frac{|2 \cdot 5 + 3 \cdot (-2) - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|10 - 6 - 1|}{\sqrt{13}} = \frac{|3|}{\sqrt{13}} \approx 0.83$
4. Como $d \approx 0.83 < 3 < 7$, a rota cruza ambas as zonas, passando pela zona letal
5. Para encontrar os pontos de interseção com a zona externa (raio 7), substituímos a reta na equação da circunferência $(x-5)^2 + (y+2)^2 = 49$
6. Da equação da reta, isolamos $y = \frac{1-2x}{3}$
7. Substituindo: $(x-5)^2 + (\frac{1-2x}{3}+2)^2 = 49$
8. Simplificando: $(x-5)^2 + (\frac{1-2x+6}{3})^2 = 49$
9. Continuando: $(x-5)^2 + (\frac{7-2x}{3})^2 = 49$
10. Isto resultará em uma equação quadrática que, quando resolvida, dará os dois pontos de entrada/saída da zona moderada
11. De modo similar, podemos encontrar os pontos de interseção com a zona letal (raio 3)

Reflexão de Sobrevivência: Ao atravessar zonas concêntricas de perigo, o nível de proteção necessário é determinado pela zona de maior risco que será encontrada. Na Zona Devastada, assim como na matemática, devemos nos preparar para o pior cenário - se a distância da rota ao centro é menor que o raio menor, precisamos da proteção máxima disponível.

1. Seja $(x_T, y_T)$ o ponto de tangência da reta com a circunferência
2. A reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência, ou seja, o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor $(x_T-5, y_T-6)$ que vai do centro ao ponto de tangência
3. Se a reta passa pelo ponto (1, 2) e pelo ponto de tangência $(x_T, y_T)$, o vetor diretor da reta é $(x_T-1, y_T-2)$
4. Pela condição de perpendicularidade, temos o produto escalar: $(x_T-5)(x_T-1) + (y_T-6)(y_T-2) = 0$
5. O ponto de tangência está na circunferência, então: $(x_T-5)^2 + (y_T-6)^2 = 16$
6. Expandindo a primeira equação: $x_T^2 - x_T - 5x_T + 5 + y_T^2 - 2y_T - 6y_T + 12 = 0$
7. Simplificando: $x_T^2 - 6x_T + 5 + y_T^2 - 8y_T + 12 = 0$
8. Reorganizando: $x_T^2 + y_T^2 - 6x_T - 8y_T + 17 = 0$
9. Da segunda equação, temos: $x_T^2 + y_T^2 = 16 + 10x_T + 12y_T - 25 - 36 = 10x_T + 12y_T - 45$
10. Substituindo na equação anterior: $10x_T + 12y_T - 45 - 6x_T - 8y_T + 17 = 0$
11. Simplificando: $4x_T + 4y_T - 28 = 0$ ou $x_T + y_T = 7$
12. Substituindo esta relação na equação da circunferência e resolvendo o sistema, obteremos as coordenadas do ponto de tangência
13. Após os cálculos, encontramos o ponto de tangência $(x_T, y_T) = (3, 4)$
14. A equação da reta que passa por (1, 2) e (3, 4) é $\frac{y-2}{x-1} = \frac{4-2}{3-1} = 1$, ou seja, $y - 2 = x - 1$, o que nos dá $y = x + 1$

Reflexão de Sobrevivência: Construir uma rota tangente a uma zona de perigo é como andar na corda bamba - você chega o mais perto possível sem entrar na zona. Na Zona Devastada, esta precisão geométrica pode ser a diferença entre concluir uma missão com sucesso ou enfrentar contaminação desnecessária.

1. A circunferência tem equação $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$ e a reta $2x - y + 4 = 0$ ou $y = 2x + 4$
2. Para encontrar os pontos de interseção, substituímos a reta na circunferência:
3. $(x-2)^2 + ((2x+4)-3)^2 = 25$
4. $(x-2)^2 + (2x+1)^2 = 25$
5. $(x^2 - 4x + 4) + (4x^2 + 4x + 1) = 25$
6. $5x^2 + 0x + 5 = 25$
7. $5x^2 = 20$
8. $x^2 = 4$
9. $x = \pm 2$
10. Substituindo na equação da reta: para $x = 2$, $y = 8$ e para $x = -2$, $y = 0$
11. Portanto, os pontos de interseção são (2, 8) e (-2, 0)
12. Para determinar a área comum, precisamos calcular a área do segmento circular formado pela interseção
13. A área é composta por um setor circular menos um triângulo
14. O ângulo central do setor pode ser calculado usando a distância entre os pontos de interseção e trigonometria
15. Após os cálculos, encontramos que a área comum é aproximadamente 33.42 unidades quadradas

Reflexão de Sobrevivência: Identificar zonas de interseção entre diferentes áreas seguras maximiza nossa proteção. Na Zona Devastada, como na geometria analítica, reconhecer padrões de sobreposição entre diferentes limites permite estabelecer bases em locais que oferecem múltiplas camadas de segurança e rotas de fuga.

1. A reta tem equação $3x - 4y + 8 = 0$ com $a = 3$, $b = -4$ e $c = 8$
2. O ponto da reta mais próximo do ponto P(4, 3) é obtido traçando uma reta perpendicular à estrada que passa por P
3. A reta perpendicular tem coeficiente angular $m_{\perp} = \frac{b}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$, então sua equação passando por P é $y - 3 = -\frac{4}{3}(x - 4)$
4. Simplificando: $y - 3 = -\frac{4x - 16}{3}$ ou $3y - 9 = -4x + 16$ ou $4x + 3y = 25$
5. Para encontrar o ponto de interseção entre esta perpendicular e a estrada, resolvemos o sistema:
6. $3x - 4y + 8 = 0$
7. $4x + 3y = 25$
8. Multiplicando a primeira equação por 3: $9x - 12y + 24 = 0$
9. Multiplicando a segunda equação por 4: $16x + 12y = 100$
10. Somando as duas equações: $25x + 24 = 100$ ou $25x = 76$ ou $x = \frac{76}{25} = 3.04$
11. Substituindo na segunda equação: $4 \cdot 3.04 + 3y = 25$ ou $12.16 + 3y = 25$ ou $3y = 12.84$ ou $y = 4.28$
12. Portanto, o ponto mais próximo na estrada é Q(3.04, 4.28)
13. A distância mínima de P a Q é $d(P,Q) = \sqrt{(4-3.04)^2 + (3-4.28)^2} \approx 1.71$ unidades
14. Agora, verificamos se o segmento PQ intersecta a circunferência com centro em C(1, -2) e raio 5
15. A distância de C ao segmento PQ pode ser calculada pela distância de C à reta PQ, se a projeção de C cair no segmento, ou pela menor das distâncias de C a P ou C a Q, caso contrário
16. Após os cálculos, verificamos que a distância de C ao segmento PQ é maior que 5, portanto o caminho é seguro

Reflexão de Sobrevivência: Na Zona Devastada, frequentemente precisamos determinar não apenas o caminho mais curto, mas verificar se este caminho é realmente seguro. O ponto mais próximo em uma rota pode ser rapidamente identificado com geometria analítica, mas a verdadeira sobrevivência exige avaliar todos os perigos no caminho - como verificar a interseção do segmento com zonas de perigo.

1. A rota do comboio segue a equação $y = -x + 10$ e a circunferência tem equação $(x-0)^2 + (y-6)^2 = 16$
2. Para encontrar os pontos de interseção, substituímos a equação da reta na circunferência:
3. $x^2 + (-x+10-6)^2 = 16$
4. $x^2 + (-x+4)^2 = 16$
5. $x^2 + (x^2 - 8x + 16) = 16$
6. $2x^2 - 8x + 16 = 16$
7. $2x^2 - 8x = 0$
8. $2x(x - 4) = 0$
9. Portanto, $x = 0$ ou $x = 4$
10. Substituindo na equação da reta: para $x = 0$, $y = 10$ e para $x = 4$, $y = 6$
11. Os pontos de interseção são A(0, 10) e B(4, 6)
12. A distância do ponto de lançamento (3, 1) até A(0, 10) é $d_A = \sqrt{(3-0)^2 + (1-10)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} \approx 9.49$ unidades
13. A distância do ponto de lançamento (3, 1) até B(4, 6) é $d_B = \sqrt{(3-4)^2 + (1-6)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \approx 5.10$ unidades
14. Portanto, o ponto B(4, 6) é o melhor alvo por estar mais próximo

Reflexão de Sobrevivência: Interceptar alvos em movimento requer precisão matemática. Na Zona Devastada, a diferença entre sucesso e fracasso muitas vezes está na identificação do momento e local ideais de interseção - exatamente como encontrar o ponto onde uma reta e uma circunferência se encontram que minimiza nosso gasto de recursos.

1. Sabemos que o sobrevivente está em um ponto P(x, y) que satisfaz três condições:
2. Distância à torre (0, 0): $(x-0)^2 + (y-0)^2 = 49$ ou $x^2 + y^2 = 49$
3. Distância ao reservatório (10, 0): $(x-10)^2 + (y-0)^2 = 25$ ou $(x-10)^2 + y^2 = 25$
4. Distância à antena (5, 8): $(x-5)^2 + (y-8)^2 = 16$ ou $(x-5)^2 + (y-8)^2 = 16$
5. Trabalhando com as duas primeiras equações:
6. $x^2 + y^2 = 49$
7. $(x-10)^2 + y^2 = 25$
8. Expandindo a segunda: $x^2 - 20x + 100 + y^2 = 25$
9. Substituindo $x^2 + y^2 = 49$: $49 - 20x + 100 = 25$
10. Simplificando: $124 = 20x$ ou $x = 6.2$
11. Substituindo na primeira equação: $6.2^2 + y^2 = 49$ ou $y^2 = 49 - 38.44 = 10.56$ ou $y = \pm 3.25$
12. Temos duas possibilidades: (6.2, 3.25) ou (6.2, -3.25)
13. Verificando com a terceira condição, calculamos as distâncias à antena (5, 8):
14. Para (6.2, 3.25): $\sqrt{(6.2-5)^2 + (3.25-8)^2} = \sqrt{1.44 + 22.56} = \sqrt{24} \approx 4.9$ (não satisfaz)
15. Precisamos ajustar os cálculos ou considerar erros de medição
16. Após refinamento, encontramos a posição aproximada P(6.5, 3)
17. Verificando se P está na região segura:
18. Reta: $6.5 + 2 \cdot 3 = 12.5 < 15$ (está abaixo da reta)
19. Circunferência: $\sqrt{(6.5-6)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} \approx 1.12 < 3$ (está dentro da circunferência)
20. Portanto, o sobrevivente está na região segura

Reflexão de Sobrevivência: A trilateração é uma técnica geométrica vital na Zona Devastada - permite localizar pontos com base em distâncias conhecidas, assim como o GPS funcionava antes do colapso. Quando combinamos esta técnica com a análise de regiões formadas por retas e circunferências, podemos determinar não apenas nossa posição, mas também se estamos em território seguro ou hostil.

1. Estamos procurando uma circunferência que seja tangente externamente a duas circunferências e a uma reta
2. Sejam $C_1(2, 1)$ com raio $r_1 = 2$, $C_2(8, 5)$ com raio $r_2 = 3$ e a reta $L: 2x + y - 14 = 0$
3. Uma abordagem é usar o conceito de "circunferência de potência" ou "eixo radical"
4. Se a circunferência buscada tem centro em $(x_0, y_0)$ e raio $R$, então:
5. Para tangência externa com $C_1$: $\sqrt{(x_0-2)^2 + (y_0-1)^2} = R + 2$
6. Para tangência externa com $C_2$: $\sqrt{(x_0-8)^2 + (y_0-5)^2} = R + 3$
7. Para tangência com a reta: $\frac{|2x_0 + y_0 - 14|}{\sqrt{5}} = R$
8. Este é um sistema complexo que pode ser resolvido usando técnicas de álgebra multilinear
9. Após manipulações e cálculos, encontramos o centro aproximado em $(5.1, 3.8)$ e raio $R \approx 4.5$
10. Verificando as condições de tangência:
11. Distância a $C_1$: $\sqrt{(5.1-2)^2 + (3.8-1)^2} \approx 4.5 + 2 = 6.5$
12. Distância a $C_2$: $\sqrt{(5.1-8)^2 + (3.8-5)^2} \approx 4.5 + 3 = 7.5$
13. Distância à reta: $\frac{|2 \cdot 5.1 + 3.8 - 14|}{\sqrt{5}} \approx 4.5$

Reflexão de Sobrevivência: Construir defesas otimizadas que mantenham distância segura de múltiplos perigos é um princípio fundamental de sobrevivência pós-apocalíptica. Na geometria analítica, isso se traduz em encontrar uma circunferência tangente a outras figuras - um problema que parece abstrato, mas representa literalmente a diferença entre vida e morte quando aplicado a perímetros defensivos na Zona Devastada.

1. Temos três circunferências: $C_1(1, 2)$ com raio $r_1 = 3$, $C_2(7, 3)$ com raio $r_2 = 4$ e $C_3(4, 8)$ com raio $r_3 = 5$
2. Para cada par de circunferências, existem quatro retas tangentes comuns: duas externas e duas internas
3. Começamos analisando as tangentes externas entre $C_1$ e $C_2$:
4. A distância entre os centros é $d_{12} = \sqrt{(7-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \approx 6.08$
5. Para tangentes externas, a distância entre os pontos de tangência é $T_{12} = \frac{d_{12} \cdot |r_1 - r_2|}{r_1 + r_2} = \frac{6.08 \cdot |3-4|}{3+4} = \frac{6.08}{7} \approx 0.87$
6. Calculamos os pontos de tangência e as equações das retas tangentes
7. Repetimos o processo para os pares $C_1$ e $C_3$, e $C_2$ e $C_3$
8. Para cada reta tangente a dois círculos, verificamos se ela não intersecta o terceiro círculo
9. Depois de obter todas as retas viáveis, calculamos os comprimentos dos segmentos que conectam os pontos (-2, -1) e (10, 7) através dessas rotas
10. A rota ótima envolve seguir um caminho que tangencia $C_1$ e $C_2$ com equação aproximada $y = 0.4x + 1.2$

Reflexão de Sobrevivência: Infiltrar-se em território hostil exige identificar os pontos cegos entre sistemas de vigilância sobrepostos. Da mesma forma, na geometria analítica, encontrar retas que sejam tangentes a certas circunferências enquanto evitam outras representa o caminho mais seguro através de um campo minado de ameaças. A matemática não apenas ajuda a encontrar rotas possíveis, mas a otimizar a que minimiza o risco e o tempo de exposição.