1. Substitua cada ponto na equação geral da circunferência $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$: Para A(0, 0): $0^2 + 0^2 + D·0 + E·0 + F = 0 \implies F = 0$ Para B(4, 0): $4^2 + 0^2 + D·4 + E·0 + F = 0 \implies 16 + 4D + F = 0$ Para C(2, 2): $2^2 + 2^2 + D·2 + E·2 + F = 0 \implies 8 + 2D + 2E + F = 0$
2. Já sabemos que $F = 0$, substituindo nas outras equações: $16 + 4D = 0 \implies D = -4$ $8 + 2D + 2E = 0 \implies 8 + 2(-4) + 2E = 0 \implies 8 - 8 + 2E = 0 \implies E = 0$
3. Então temos $D = -4$, $E = 0$ e $F = 0$. A equação da circunferência é $x^2 + y^2 - 4x = 0$
4. Completando quadrados: $x^2 - 4x + y^2 = 0 \implies (x^2 - 4x + 4) + y^2 - 4 = 0 \implies (x - 2)^2 + y^2 = 4$
5. Portanto, o centro da circunferência é $(2, 0)$ e o raio é $r = 2$

Reflexão de Sobrevivência: Assim como uma circunferência é definida por três pontos estratégicos, seu perímetro de segurança depende de marcos bem posicionados. Não basta ter sensores aleatórios; é preciso um padrão matemático que maximize a cobertura com recursos mínimos. Os pontos colineares são como sentinelas alinhadas - deixam lacunas vulneráveis assim como pontos colineares não formam uma circunferência.

1. Escreva as equações que representam que cada ponto está na circunferência: $(1-h)^2 + (1-k)^2 = r^2$ $(5-h)^2 + (1-k)^2 = r^2$ $(3-h)^2 + (5-k)^2 = r^2$
2. Subtraia a primeira equação da segunda para eliminar $r^2$: $(5-h)^2 + (1-k)^2 - [(1-h)^2 + (1-k)^2] = 0$ $(5-h)^2 - (1-h)^2 = 0$ $25 - 10h + h^2 - (1 - 2h + h^2) = 0$ $25 - 10h + h^2 - 1 + 2h - h^2 = 0$ $24 - 8h = 0$ $h = 3$
3. Subtraia a primeira equação da terceira: $(3-h)^2 + (5-k)^2 - [(1-h)^2 + (1-k)^2] = 0$ $(3-h)^2 - (1-h)^2 + (5-k)^2 - (1-k)^2 = 0$ $9 - 6h + h^2 - (1 - 2h + h^2) + 25 - 10k + k^2 - (1 - 2k + k^2) = 0$ $9 - 6h + h^2 - 1 + 2h - h^2 + 25 - 10k + k^2 - 1 + 2k - k^2 = 0$ $8 - 4h + 25 - 8k = 0$ $33 - 4h - 8k = 0$
4. Substituindo $h = 3$: $33 - 4(3) - 8k = 0$ $33 - 12 - 8k = 0$ $21 - 8k = 0$ $k = \frac{21}{8} = 2.625$
5. Calculamos o raio usando o primeiro ponto: $r^2 = (1-3)^2 + (1-2.625)^2 = (-2)^2 + (-1.625)^2 = 4 + 2.64 = 6.64$ $r = \sqrt{6.64} \approx 2.58$

Reflexão de Sobrevivência: Identificar o padrão de dispersão de radiação é como rastrear uma ameaça invisível. Ao calcular precisamente o centro da contaminação, você não apenas localiza a fonte do perigo, mas também pode estabelecer perímetros seguros a uma distância conhecida. Na Zona Devastada, prever o alcance de contaminação frequentemente significa a diferença entre vida e morte.

1. Primeiro identifiquemos o triângulo: A(-2, 0), B(2, 0) e C(0, 4). Note que o ângulo em C é de 90° (triângulo retângulo), pois: $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-2-0)·(2-0) + (0-4)·(0-4) = -4 + (-4)·(-4) = -4 + 16 = 12$ Mas $|\overrightarrow{CA}|·|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2}·\sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16}·\sqrt{4+16} = \sqrt{20}·\sqrt{20} = 20$ Como $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} \neq |\overrightarrow{CA}|·|\overrightarrow{CB}|$, os vetores não são perpendiculares.
2. Vamos corrigir o cálculo: $\overrightarrow{CA} = (-2-0, 0-4) = (-2, -4)$ $\overrightarrow{CB} = (2-0, 0-4) = (2, -4)$ $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-2)(2) + (-4)(-4) = -4 + 16 = 12$ Usando o teorema de Pitágoras nas distâncias: $|AB|^2 = (2-(-2))^2 + (0-0)^2 = 16$ $|AC|^2 = (0-(-2))^2 + (4-0)^2 = 4 + 16 = 20$ $|BC|^2 = (0-2)^2 + (4-0)^2 = 4 + 16 = 20$ Como $|AB|^2 + |BC|^2 \neq |AC|^2$, o triângulo não é retângulo.
3. Na verdade, precisamos usar o método geral. Vamos substituir os pontos na equação da circunferência: Para A(-2, 0): $(-2)^2 + 0^2 + D(-2) + E(0) + F = 0 \implies 4 - 2D + F = 0$ Para B(2, 0): $(2)^2 + 0^2 + D(2) + E(0) + F = 0 \implies 4 + 2D + F = 0$ Para C(0, 4): $(0)^2 + 4^2 + D(0) + E(4) + F = 0 \implies 16 + 4E + F = 0$
4. Das duas primeiras equações: $4 - 2D + F = 0$ e $4 + 2D + F = 0$ Subtraindo: $-4D = 0 \implies D = 0$ Substituindo: $4 + F = 0 \implies F = -4$ Da terceira equação: $16 + 4E - 4 = 0 \implies 4E = -12 \implies E = -3$
5. A equação da circunferência é: $x^2 + y^2 - 3y - 4 = 0$ Completando quadrados: $x^2 + (y^2 - 3y + \frac{9}{4}) - 4 - \frac{9}{4} = 0$ $x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 4 + \frac{9}{4} = \frac{16 + 9}{4} = \frac{25}{4}$ $x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2$

Reflexão de Sobrevivência: A defesa eficiente de recursos em um mundo hostil frequentemente exige cobrir vários pontos estratégicos com um esforço mínimo. O canhão centralizado funciona como o centro de uma circunferência matemática - garantindo cobertura equidistante de todas as torres. Esta abordagem geométrica otimiza os recursos limitados e maximiza a proteção. Mesmo nas condições mais adversas, a precisão matemática pode ser a diferença entre manter ou perder seu território.

1. Escrevemos as equações para cada ponto: $(1-h)^2 + (3-k)^2 = r^2$ $(5-h)^2 + (3-k)^2 = r^2$ $(3-h)^2 + (7-k)^2 = r^2$
2. Subtraindo a primeira da segunda: $(5-h)^2 - (1-h)^2 = 0$ $25 - 10h + h^2 - (1 - 2h + h^2) = 0$ $25 - 10h + h^2 - 1 + 2h - h^2 = 0$ $24 - 8h = 0$ $h = 3$
3. Subtraindo a primeira da terceira: $(3-h)^2 + (7-k)^2 - [(1-h)^2 + (3-k)^2] = 0$ $(3-h)^2 - (1-h)^2 + (7-k)^2 - (3-k)^2 = 0$ $9 - 6h + h^2 - (1 - 2h + h^2) + 49 - 14k + k^2 - (9 - 6k + k^2) = 0$ $9 - 6h + h^2 - 1 + 2h - h^2 + 49 - 14k + k^2 - 9 + 6k - k^2 = 0$ $8 - 4h + 40 - 8k = 0$ $48 - 4h - 8k = 0$
4. Substituindo $h = 3$: $48 - 4(3) - 8k = 0$ $48 - 12 - 8k = 0$ $36 - 8k = 0$ $k = \frac{36}{8} = 4.5$
5. Calculamos o raio usando o primeiro ponto: $r^2 = (1-3)^2 + (3-4.5)^2 = 4 + 2.25 = 6.25$ $r = 2.5$ O perímetro é $2\pi r = 2\pi \cdot 2.5 = 5\pi \approx 15.71$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: As antigas estruturas pré-apocalipse frequentemente seguiam padrões geométricos precisos. Ao mapear estruturas circulares a partir de pontos de entrada conhecidos, você pode localizar centros ocultos que frequentemente contêm sistemas de controle ou recursos valiosos. A compreensão da geometria analítica não apenas revela segredos do passado, mas também permite estimar a quantidade de recursos necessários para segurar ou fortificar todo o perímetro.

1. Primeiro, verifiquemos se os pontos não são colineares, calculando a área do triângulo: Área = $\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ = $\frac{1}{2}|0(2-8) + 6(8-2) + 3(2-2)|$ = $\frac{1}{2}|0(-6) + 6(6) + 3(0)|$ = $\frac{1}{2}|0 + 36 + 0|$ = $\frac{1}{2} \cdot 36 = 18$ Como a área não é zero, os pontos não são colineares.
2. Substituamos os pontos na equação geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$: Para P(0, 2): $0^2 + 2^2 + D \cdot 0 + E \cdot 2 + F = 0 \implies 4 + 2E + F = 0$ Para Q(6, 2): $6^2 + 2^2 + D \cdot 6 + E \cdot 2 + F = 0 \implies 36 + 4 + 6D + 2E + F = 0 \implies 40 + 6D + 2E + F = 0$ Para R(3, 8): $3^2 + 8^2 + D \cdot 3 + E \cdot 8 + F = 0 \implies 9 + 64 + 3D + 8E + F = 0 \implies 73 + 3D + 8E + F = 0$
3. Da primeira equação: $F = -4 - 2E$ Substituindo na segunda: $40 + 6D + 2E - 4 - 2E = 0 \implies 36 + 6D = 0 \implies D = -6$ Substituindo $F$ e $D$ na terceira: $73 + 3(-6) + 8E - 4 - 2E = 0$ $73 - 18 + 8E - 4 - 2E = 0$ $51 + 6E = 0$ $E = -\frac{51}{6} = -8.5$
4. Então $D = -6$, $E = -8.5$ e $F = -4 - 2(-8.5) = -4 + 17 = 13$ A equação da circunferência é: $x^2 + y^2 - 6x - 8.5y + 13 = 0$
5. Completando quadrados: $x^2 - 6x + y^2 - 8.5y + 13 = 0$ $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8.5y + 18.0625) + 13 - 9 - 18.0625 = 0$ $(x - 3)^2 + (y - 4.25)^2 = 14.0625$ O centro é $(3, 4.25)$ e o raio é $r = \sqrt{14.0625} = 3.75$

Reflexão de Sobrevivência: Água é o recurso mais precioso na Zona Devastada. Localizar o ponto central de um reservatório circular a partir de pontos de acesso conhecidos permite a exploração eficiente com recursos limitados. A perfuração no centro exato também evita danos à estrutura do reservatório, preservando este recurso vital para gerações futuras. Esta é uma aplicação direta da geometria analítica para a sustentabilidade a longo prazo.

1. Vamos substituir os três pontos na equação geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$: Para A(-5, 0): $(-5)^2 + 0^2 + D(-5) + E(0) + F = 0 \implies 25 - 5D + F = 0$ Para B(3, 4): $3^2 + 4^2 + D(3) + E(4) + F = 0 \implies 9 + 16 + 3D + 4E + F = 0 \implies 25 + 3D + 4E + F = 0$ Para C(3, -4): $3^2 + (-4)^2 + D(3) + E(-4) + F = 0 \implies 9 + 16 + 3D - 4E + F = 0 \implies 25 + 3D - 4E + F = 0$
2. Das duas últimas equações: $25 + 3D + 4E + F = 0$ e $25 + 3D - 4E + F = 0$ Subtraindo: $8E = 0 \implies E = 0$
3. Substituindo $E = 0$ na segunda equação: $25 + 3D + F = 0$
4. Comparando com a primeira equação $25 - 5D + F = 0$, temos: $25 + 3D + F = 25 - 5D + F$ $3D + 5D = 0$ $8D = 0$ $D = 0$
5. Substituindo $D = 0$ na primeira equação: $25 + F = 0 \implies F = -25$ A equação da circunferência é: $x^2 + y^2 - 25 = 0$ Ou: $x^2 + y^2 = 25$, que é uma circunferência com centro na origem $(0, 0)$ e raio $r = 5$.
6. Para verificar se o abrigo (1, 0) está dentro ou fora da circunferência: $1^2 + 0^2 = 1 < 25$ Como o valor é menor que $r^2 = 25$, o ponto está dentro da circunferência, ou seja, dentro da zona de tempestade.

Reflexão de Sobrevivência: As tempestades radiativas são um dos maiores perigos na Zona Devastada. Identificar com precisão a equação de uma fronteira circular de tempestade permite determinar quais assentamentos estão em risco imediato e quais estão seguros. O modelo matemático fornece informações críticas para evacuação e preparação. No caso do abrigo em (1, 0), a análise mostra que ele está dentro da zona de perigo e deve ser evacuado imediatamente. Esta aplicação da geometria analítica salva vidas em situações de emergência.

1. Vamos substituir os três pontos na equação geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$: Para A(2, 7): $2^2 + 7^2 + 2D + 7E + F = 0 \implies 4 + 49 + 2D + 7E + F = 0 \implies 53 + 2D + 7E + F = 0$ Para B(4, -1): $4^2 + (-1)^2 + 4D + (-1)E + F = 0 \implies 16 + 1 + 4D - E + F = 0 \implies 17 + 4D - E + F = 0$ Para C(-6, 3): $(-6)^2 + 3^2 + (-6)D + 3E + F = 0 \implies 36 + 9 - 6D + 3E + F = 0 \implies 45 - 6D + 3E + F = 0$
2. Usando o método de eliminação de Gauss, podemos resolver este sistema de equações lineares: $53 + 2D + 7E + F = 0$ ... (1) $17 + 4D - E + F = 0$ ... (2) $45 - 6D + 3E + F = 0$ ... (3) Subtraindo (2) de (1): $36 - 2D + 8E = 0$ ... (4) Subtraindo (3) de (1): $8 + 8D + 4E = 0$ ... (5) De (4): $2D = 36 + 8E \implies D = 18 + 4E$ ... (6) Substituindo (6) em (5): $8 + 8(18 + 4E) + 4E = 0$ $8 + 144 + 32E + 4E = 0$ $152 + 36E = 0$ $E = -\frac{152}{36} = -\frac{38}{9}$
3. Substituindo $E = -\frac{38}{9}$ em (6): $D = 18 + 4(-\frac{38}{9}) = 18 - \frac{152}{9} = \frac{162 - 152}{9} = \frac{10}{9}$
4. Substituindo $D = \frac{10}{9}$ e $E = -\frac{38}{9}$ em (1): $53 + 2(\frac{10}{9}) + 7(-\frac{38}{9}) + F = 0$ $53 + \frac{20}{9} - \frac{266}{9} + F = 0$ $53 + \frac{20 - 266}{9} + F = 0$ $53 - \frac{246}{9} + F = 0$ $F = -53 + \frac{246}{9} = \frac{-477 + 246}{9} = -\frac{231}{9}$
5. A equação da circunferência é: $x^2 + y^2 + \frac{10}{9}x - \frac{38}{9}y - \frac{231}{9} = 0$ Multiplicando por 9: $9x^2 + 9y^2 + 10x - 38y - 231 = 0$
6. Para encontrar o centro, completamos os quadrados: $9(x^2 + \frac{10}{9}x) + 9(y^2 - \frac{38}{9}y) = 231$ $9(x^2 + \frac{10}{9}x + \frac{25}{81}) + 9(y^2 - \frac{38}{9}y + \frac{361}{81}) = 231 + 9(\frac{25}{81}) + 9(\frac{361}{81})$ $9(x + \frac{5}{9})^2 + 9(y - \frac{19}{9})^2 = 231 + \frac{225}{81} + \frac{3249}{81}$ $9(x + \frac{5}{9})^2 + 9(y - \frac{19}{9})^2 = \frac{18711 + 225 + 3249}{81} = \frac{22185}{81}$ $(x + \frac{5}{9})^2 + (y - \frac{19}{9})^2 = \frac{22185}{729}$
7. O centro é $(-\frac{5}{9}, \frac{19}{9})$ e o raio é $r = \sqrt{\frac{22185}{729}} = \frac{\sqrt{22185}}{\sqrt{729}} = \frac{\sqrt{22185}}{27}$
8. Para encontrar os repetidores nas interseções com os eixos: - No eixo x: $y = 0$, substituindo na equação: $x^2 + \frac{10}{9}x - \frac{231}{9} = 0$ - No eixo y: $x = 0$, substituindo na equação: $y^2 - \frac{38}{9}y - \frac{231}{9} = 0$ (esses são polinômios quadráticos que podem ser resolvidos pela fórmula quadrática)

Reflexão de Sobrevivência: Um sistema de comunicação eficiente é vital para coordenar recursos e alertas em uma sociedade pós-apocalíptica. A posição da torre central, determinada pela circunferência que passa pelos três assentamentos, otimiza a distância e potência de sinal necessária. Os repetidores posicionados estrategicamente nas interseções com os eixos coordenados criam um sistema de backup resiliente. Este projeto geométrico maximiza a cobertura com o mínimo de equipamentos - um exemplo perfeito de como a geometria analítica pode ajudar a reconstruir a infraestrutura de forma eficiente em um mundo com recursos limitados.

1. Vamos substituir os três pontos na equação geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$: Para A(2, 0): $2^2 + 0^2 + 2D + 0E + F = 0 \implies 4 + 2D + F = 0$ ... (1) Para B(0, 4): $0^2 + 4^2 + 0D + 4E + F = 0 \implies 16 + 4E + F = 0$ ... (2) Para C(4, 8): $4^2 + 8^2 + 4D + 8E + F = 0 \implies 16 + 64 + 4D + 8E + F = 0 \implies 80 + 4D + 8E + F = 0$ ... (3)
2. De (1): $F = -4 - 2D$ ... (4) Substituindo (4) em (2): $16 + 4E - 4 - 2D = 0$ $12 + 4E - 2D = 0$ ... (5) Substituindo (4) em (3): $80 + 4D + 8E - 4 - 2D = 0$ $76 + 2D + 8E = 0$ ... (6)
3. Multiplicando (5) por 2: $24 + 8E - 4D = 0$ ... (7) Somando (6) e (7): $76 + 2D + 8E + 24 + 8E - 4D = 0$ $100 - 2D + 16E = 0$ $16E = 2D - 100$ $E = \frac{2D - 100}{16} = \frac{D - 50}{8}$ ... (8)
4. Substituindo (8) em (5): $12 + 4(\frac{D - 50}{8}) - 2D = 0$ $12 + \frac{4D - 200}{8} - 2D = 0$ $12 + \frac{D - 50}{2} - 2D = 0$ $12 + \frac{D}{2} - 25 - 2D = 0$ $-13 + \frac{D}{2} - 2D = 0$ $-13 - \frac{3D}{2} = 0$ $-3D = 26$ $D = -\frac{26}{3}$
5. Substituindo $D = -\frac{26}{3}$ em (8): $E = \frac{-\frac{26}{3} - 50}{8} = \frac{-\frac{26}{3} - \frac{150}{3}}{8} = \frac{-\frac{176}{3}}{8} = -\frac{22}{3}$
6. Substituindo $D = -\frac{26}{3}$ em (4): $F = -4 - 2(-\frac{26}{3}) = -4 + \frac{52}{3} = \frac{-12 + 52}{3} = \frac{40}{3}$
7. A equação da circunferência é: $x^2 + y^2 - \frac{26}{3}x - \frac{22}{3}y + \frac{40}{3} = 0$ Multiplicando por 3: $3x^2 + 3y^2 - 26x - 22y + 40 = 0$
8. Completando os quadrados: $3(x^2 - \frac{26}{3}x) + 3(y^2 - \frac{22}{3}y) + 40 = 0$ $3(x^2 - \frac{26}{3}x + \frac{169}{36}) + 3(y^2 - \frac{22}{3}y + \frac{121}{36}) + 40 - 3(\frac{169}{36}) - 3(\frac{121}{36}) = 0$ $3(x - \frac{13}{6})^2 + 3(y - \frac{11}{6})^2 + 40 - \frac{507}{12} - \frac{363}{12} = 0$ $3(x - \frac{13}{6})^2 + 3(y - \frac{11}{6})^2 = \frac{507 + 363 - 480}{12} = \frac{390}{12} = \frac{65}{2}$ $(x - \frac{13}{6})^2 + (y - \frac{11}{6})^2 = \frac{65}{6}$
9. O centro é $(\frac{13}{6}, \frac{11}{6})$ e o raio é $r = \sqrt{\frac{65}{6}}$ Para verificar se (2, 4) está dentro da cratera: $(2 - \frac{13}{6})^2 + (4 - \frac{11}{6})^2 = (\frac{12 - 13}{6})^2 + (\frac{24 - 11}{6})^2 = (\frac{-1}{6})^2 + (\frac{13}{6})^2 = \frac{1}{36} + \frac{169}{36} = \frac{170}{36}$ Como $\frac{170}{36} < \frac{65}{6} = \frac{390}{36}$, o ponto (2, 4) está dentro da cratera. Para (6, 8): $(6 - \frac{13}{6})^2 + (8 - \frac{11}{6})^2 = (\frac{36 - 13}{6})^2 + (\frac{48 - 11}{6})^2 = (\frac{23}{6})^2 + (\frac{37}{6})^2 = \frac{529}{36} + \frac{1369}{36} = \frac{1898}{36}$ Como $\frac{1898}{36} > \frac{390}{36}$, o ponto (6, 8) está fora da cratera.
10. O volume da cratera hemisférica seria: $V = \frac{2\pi r^3}{3} = \frac{2\pi (\sqrt{\frac{65}{6}})^3}{3} = \frac{2\pi (\frac{65}{6})^{3/2}}{3}$

Reflexão de Sobrevivência: Em expedições de exploração, encontrar crateras pode revelar recursos valiosos como água congelada, minérios, ou mesmo tecnologias preservadas do impacto. A análise geométrica precisa da cratera permite determinar seu centro exato, que frequentemente contém a maior concentração de recursos valiosos trazidos pelo meteorito. O volume calculado também ajuda a estimar a quantidade potencial desses recursos. Na Zona Devastada, a capacidade de identificar volumes e localizar os pontos centrais de uma formação geológica pode ser a diferença entre uma expedição bem-sucedida e meses de escavações infrutíferas.

1. Vamos substituir os três pontos na equação geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$: Para A(-5, -1): $(-5)^2 + (-1)^2 + D(-5) + E(-1) + F = 0 \implies 25 + 1 - 5D - E + F = 0 \implies 26 - 5D - E + F = 0$ ... (1) Para B(-1, 7): $(-1)^2 + 7^2 + D(-1) + E(7) + F = 0 \implies 1 + 49 - D + 7E + F = 0 \implies 50 - D + 7E + F = 0$ ... (2) Para C(3, 3): $3^2 + 3^2 + D(3) + E(3) + F = 0 \implies 9 + 9 + 3D + 3E + F = 0 \implies 18 + 3D + 3E + F = 0$ ... (3)
2. Subtraindo (1) de (2): $50 - D + 7E + F - (26 - 5D - E + F) = 0$ $50 - D + 7E - 26 + 5D + E = 0$ $24 + 4D + 8E = 0$ ... (4) Subtraindo (1) de (3): $18 + 3D + 3E + F - (26 - 5D - E + F) = 0$ $18 + 3D + 3E - 26 + 5D + E = 0$ $-8 + 8D + 4E = 0$ ... (5)
3. Multiplicando (5) por 2: $-16 + 16D + 8E = 0$ ... (6) Subtraindo (4) de (6): $-16 + 16D + 8E - (24 + 4D + 8E) = 0$ $-16 + 16D - 24 - 4D = 0$ $-40 + 12D = 0$ $D = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$
4. Substituindo $D = \frac{10}{3}$ em (4): $24 + 4(\frac{10}{3}) + 8E = 0$ $24 + \frac{40}{3} + 8E = 0$ $\frac{72}{3} + \frac{40}{3} + 8E = 0$ $\frac{112}{3} + 8E = 0$ $8E = -\frac{112}{3}$ $E = -\frac{14}{3}$
5. Substituindo $D = \frac{10}{3}$ e $E = -\frac{14}{3}$ em (1): $26 - 5(\frac{10}{3}) - (-\frac{14}{3}) + F = 0$ $26 - \frac{50}{3} + \frac{14}{3} + F = 0$ $26 - \frac{36}{3} + F = 0$ $26 - 12 + F = 0$ $F = -14$
6. A equação da circunferência é: $x^2 + y^2 + \frac{10}{3}x - \frac{14}{3}y - 14 = 0$ Multiplicando por 3: $3x^2 + 3y^2 + 10x - 14y - 42 = 0$
7. Completando os quadrados: $3(x^2 + \frac{10}{3}x) + 3(y^2 - \frac{14}{3}y) - 42 = 0$ $3(x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{25}{9}) + 3(y^2 - \frac{14}{3}y + \frac{49}{9}) - 42 - 3(\frac{25}{9}) - 3(\frac{49}{9}) = 0$ $3(x + \frac{5}{3})^2 + 3(y - \frac{7}{3})^2 - 42 - \frac{75}{9} - \frac{147}{9} = 0$ $3(x + \frac{5}{3})^2 + 3(y - \frac{7}{3})^2 = 42 + \frac{222}{9} = \frac{378 + 222}{9} = \frac{600}{9} = \frac{200}{3}$ $(x + \frac{5}{3})^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = \frac{200}{9}$
8. O centro da circunferência é $(-\frac{5}{3}, \frac{7}{3})$ e o raio é $r = \sqrt{\frac{200}{9}} = \frac{\sqrt{200}}{3} = \frac{10\sqrt{2}}{3}$
9. Para encontrar o quarto ponto de acesso, precisamos de uma linha perpendicular à linha que conecta A e B: A linha AB tem direção $\overrightarrow{AB} = (-1-(-5), 7-(-1)) = (4, 8)$ Uma direção perpendicular seria $(-8, 4)$ Uma linha passando pelo centro com esta direção seria $L: (x, y) = (-\frac{5}{3}, \frac{7}{3}) + t(-8, 4)$, $t \in \mathbb{R}$ Para encontrar a interseção com a circunferência, substituímos na equação: $((-\frac{5}{3} - 8t) + \frac{5}{3})^2 + ((\frac{7}{3} + 4t) - \frac{7}{3})^2 = \frac{200}{9}$ $(- 8t)^2 + (4t)^2 = \frac{200}{9}$ $64t^2 + 16t^2 = \frac{200}{9}$ $80t^2 = \frac{200}{9}$ $t^2 = \frac{200}{9 \cdot 80} = \frac{200}{720} = \frac{5}{18}$ $t = \pm \sqrt{\frac{5}{18}}$ Isso nos dá dois pontos de interseção: $P_1 = (-\frac{5}{3} - 8\sqrt{\frac{5}{18}}, \frac{7}{3} + 4\sqrt{\frac{5}{18}})$ $P_2 = (-\frac{5}{3} + 8\sqrt{\frac{5}{18}}, \frac{7}{3} - 4\sqrt{\frac{5}{18}})$ Qualquer um desses pontos seria adequado para o quarto ponto de acesso.
10. A distância máxima entre quaisquer dois pontos dentro da instalação é o diâmetro da circunferência: $d_{max} = 2r = 2 \cdot \frac{10\sqrt{2}}{3} = \frac{20\sqrt{2}}{3} \approx 9.43$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: Instalações subterrâneas pré-guerra frequentemente contêm recursos vitais, mas acessá-las pode ser perigoso se não for feito corretamente. Calcular com precisão onde escavar um novo ponto de acesso minimiza o risco de colapso estrutural e otimiza o uso dos limitados recursos de escavação. A análise geométrica também permite mapear a extensão completa da instalação antes mesmo de explorá-la totalmente, fornecendo informações cruciais para planejamento logístico. Em missões de recuperação de tecnologia, saber a distância máxima dentro da instalação ajuda a determinar o tempo necessário para evacuação em caso de emergência.

1. Vamos substituir os três pontos na equação geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$: Para A(2, 1): $2^2 + 1^2 + 2D + E + F = 0 \implies 4 + 1 + 2D + E + F = 0 \implies 5 + 2D + E + F = 0$ ... (1) Para B(6, 3): $6^2 + 3^2 + 6D + 3E + F = 0 \implies 36 + 9 + 6D + 3E + F = 0 \implies 45 + 6D + 3E + F = 0$ ... (2) Para C(4, 7): $4^2 + 7^2 + 4D + 7E + F = 0 \implies 16 + 49 + 4D + 7E + F = 0 \implies 65 + 4D + 7E + F = 0$ ... (3)
2. Subtraindo (1) de (2): $45 + 6D + 3E + F - (5 + 2D + E + F) = 0$ $45 + 6D + 3E - 5 - 2D - E = 0$ $40 + 4D + 2E = 0$ ... (4) Subtraindo (1) de (3): $65 + 4D + 7E + F - (5 + 2D + E + F) = 0$ $65 + 4D + 7E - 5 - 2D - E = 0$ $60 + 2D + 6E = 0$ ... (5)
3. Dividindo (4) por 2: $20 + 2D + E = 0$ ... (6) Dividindo (5) por 2: $30 + D + 3E = 0$ ... (7) Multiplicando (6) por 3: $60 + 6D + 3E = 0$ ... (8) Subtraindo (7) de (8): $60 + 6D + 3E - (30 + D + 3E) = 0$ $60 + 6D - 30 - D = 0$ $30 + 5D = 0$ $D = -6$
4. Substituindo $D = -6$ em (6): $20 + 2(-6) + E = 0$ $20 - 12 + E = 0$ $E = -8$
5. Substituindo $D = -6$ e $E = -8$ em (1): $5 + 2(-6) + (-8) + F = 0$ $5 - 12 - 8 + F = 0$ $-15 + F = 0$ $F = 15$
6. A equação da circunferência é: $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 15 = 0$
7. Completando os quadrados: $x^2 - 6x + y^2 - 8y + 15 = 0$ $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) + 15 - 9 - 16 = 0$ $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 10$
8. O centro da circunferência é $(3, 4)$ e o raio é $r = \sqrt{10}$ Para verificar se o ponto D(4, 3) está dentro, fora ou na borda da anomalia: $(4 - 3)^2 + (3 - 4)^2 = 1 + 1 = 2 < 10$ Como a distância ao quadrado é menor que $r^2 = 10$, o ponto D está dentro da circunferência.
9. Para encontrar o ponto na linha que conecta D ao centro onde a intensidade é metade da máxima: Como a intensidade é proporcional ao inverso do quadrado da distância, e queremos que seja metade da intensidade máxima (no centro), temos: $\frac{I_0}{r^2} = \frac{I_0/2}{d^2}$ onde $d$ é a distância do ponto ao centro da anomalia $\frac{1}{r^2} = \frac{1/2}{d^2}$ $\frac{d^2}{r^2} = 2$ $d^2 = 2r^2 = 0$ $d = \sqrt{2} \cdot 0 = 0$ Isso significa que estamos procurando um ponto a uma distância $d = 0$ do centro $(3, 4)$. Como essa distância é impossível (seria o próprio centro), vamos reconsiderar o problema. Se a intensidade for metade da intensidade no centro, e assumindo que a intensidade seja proporcional ao inverso do quadrado da distância a partir do centro, então: $\frac{I}{I_0} = \frac{d_0^2}{d^2}$ onde $I_0$ é a intensidade no centro, $I$ é a intensidade no ponto desejado, $d_0$ é uma constante (podemos assumir como 1), e $d$ é a distância do ponto ao centro. Se $\frac{I}{I_0} = \frac{1}{2}$, então: $\frac{1}{2} = \frac{1}{d^2}$ $d^2 = 2$ $d = \sqrt{2}$ Ou seja, o ponto está a uma distância $\sqrt{2}$ do centro, na direção que vai do centro a D. A direção do centro $(3, 4)$ para D$(4, 3)$ é $(4-3, 3-4) = (1, -1)$ Normalizando: $\frac{(1, -1)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{(1, -1)}{\sqrt{2}} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}})$ O ponto desejado é: $(3, 4) + \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}) = (3, 4) + (1, -1) = (4, 3)$ Esse resultado mostra que o ponto D já está exatamente onde a intensidade é metade da máxima.

Reflexão de Sobrevivência: Anomalias magnéticas podem indicar depósitos minerais ou tecnologias enterradas de alto valor, mas também podem interferir em equipamentos essenciais. Determinar matematicamente os limites e gradientes de uma anomalia permite planejar rotas seguras para equipes de exploração e posicionar equipamentos sensíveis onde a interferência é minimizada. A descoberta de que o emissor de interferência está exatamente no ponto onde a intensidade da anomalia é metade da máxima sugere uma relação não acidental - possivelmente uma tecnologia antiga tentando neutralizar ou mascarar a anomalia. Esta análise matemática pode revelar padrões intencionais em fenômenos aparentemente naturais, essenciais para compreender tecnologias perdidas.

1. Vamos substituir os três pontos na equação geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$: Para A(-5, 2): $(-5)^2 + 2^2 + D(-5) + E(2) + F = 0 \implies 25 + 4 - 5D + 2E + F = 0 \implies 29 - 5D + 2E + F = 0$ ... (1) Para B(1, 4): $1^2 + 4^2 + D(1) + E(4) + F = 0 \implies 1 + 16 + D + 4E + F = 0 \implies 17 + D + 4E + F = 0$ ... (2) Para C(3, -2): $3^2 + (-2)^2 + D(3) + E(-2) + F = 0 \implies 9 + 4 + 3D - 2E + F = 0 \implies 13 + 3D - 2E + F = 0$ ... (3)
2. Subtraindo (1) de (2): $17 + D + 4E + F - (29 - 5D + 2E + F) = 0$ $17 + D + 4E - 29 + 5D - 2E = 0$ $-12 + 6D + 2E = 0$ ... (4) Subtraindo (1) de (3): $13 + 3D - 2E + F - (29 - 5D + 2E + F) = 0$ $13 + 3D - 2E - 29 + 5D - 2E = 0$ $-16 + 8D - 4E = 0$ ... (5)
3. Dividindo (5) por 2: $-8 + 4D - 2E = 0$ ... (6) Subtraindo (4) de (6): $-8 + 4D - 2E - (-12 + 6D + 2E) = 0$ $-8 + 4D - 2E + 12 - 6D - 2E = 0$ $4 - 2D - 4E = 0$ $4 - 2D = 4E$ $E = \frac{4 - 2D}{4} = 1 - \frac{D}{2}$ ... (7)
4. Substituindo (7) em (4): $-12 + 6D + 2(1 - \frac{D}{2}) = 0$ $-12 + 6D + 2 - D = 0$ $-10 + 5D = 0$ $D = 2$
5. Substituindo $D = 2$ em (7): $E = 1 - \frac{2}{2} = 1 - 1 = 0$
6. Substituindo $D = 2$ e $E = 0$ em (1): $29 - 5(2) + 2(0) + F = 0$ $29 - 10 + F = 0$ $F = -19$
7. A equação da circunferência é: $x^2 + y^2 + 2x - 19 = 0$
8. Completando os quadrados: $x^2 + 2x + y^2 - 19 = 0$ $(x^2 + 2x + 1) + y^2 - 19 - 1 = 0$ $(x + 1)^2 + y^2 = 20$
9. O centro da circunferência é $(-1, 0)$ e o raio é $r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ Para verificar se o ponto D(0, 0) está dentro da cúpula: $(0 - (-1))^2 + (0 - 0)^2 = 1 < 20$ Como a distância ao quadrado é menor que $r^2 = 20$, o ponto D está dentro da cúpula.
10. O comprimento da cerca (circunferência) é: $C = 2\pi r = 2\pi \cdot 2\sqrt{5} = 4\pi\sqrt{5} \approx 28.1$ unidades
11. A área total protegida é: $A = \pi r^2 = \pi \cdot 20 = 20\pi \approx 62.8$ unidades quadradas
12. Se o sistema de filtração protege 70% da área total, então a área protegida é: $A_{filtração} = 0.7 \cdot 20\pi = 14\pi$ unidades quadradas Para uma circunferência, a área é proporcional ao quadrado do raio, então: $\frac{A_{filtração}}{A_{total}} = \frac{r_{filtração}^2}{r_{total}^2}$ $0.7 = \frac{r_{filtração}^2}{20}$ $r_{filtração}^2 = 0.7 \cdot 20 = 14$ $r_{filtração} = \sqrt{14} \approx 3.74$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: Em um mundo com recursos escassos, dimensionar estruturas com precisão matemática é essencial. A cúpula de proteção representa uma barreira contra tempestades radiativas, contaminantes aéreos e outras ameaças, mas seu material é valioso e limitado. A análise geométrica permite determinar exatamente quanto material será necessário (comprimento da cerca) e qual área total será protegida. Compreender o alcance do sistema de filtração também permite organizar assentamentos e cultivos de forma concêntrica, priorizando as áreas mais limpas para alimentos e medicamentos, e as áreas periféricas para armazenamento ou manufatura menos sensível. Esta é uma aplicação direta da otimização de recursos usando geometria analítica.

1. Primeiro vamos encontrar a circunferência que passa pelas três torres: Para A(1, 5): $1^2 + 5^2 + D(1) + E(5) + F = 0 \implies 1 + 25 + D + 5E + F = 0 \implies 26 + D + 5E + F = 0$ ... (1) Para B(9, 3): $9^2 + 3^2 + D(9) + E(3) + F = 0 \implies 81 + 9 + 9D + 3E + F = 0 \implies 90 + 9D + 3E + F = 0$ ... (2) Para C(5, -3): $5^2 + (-3)^2 + D(5) + E(-3) + F = 0 \implies 25 + 9 + 5D - 3E + F = 0 \implies 34 + 5D - 3E + F = 0$ ... (3)
2. Subtraindo (1) de (2): $90 + 9D + 3E + F - (26 + D + 5E + F) = 0$ $90 + 9D + 3E - 26 - D - 5E = 0$ $64 + 8D - 2E = 0$ ... (4) Subtraindo (1) de (3): $34 + 5D - 3E + F - (26 + D + 5E + F) = 0$ $34 + 5D - 3E - 26 - D - 5E = 0$ $8 + 4D - 8E = 0$ ... (5)
3. Dividindo (5) por 4: $2 + D - 2E = 0$ ... (6) Dividindo (4) por 2: $32 + 4D - E = 0$ ... (7) Multiplicando (6) por 2: $4 + 2D - 4E = 0$ ... (8) Subtraindo (8) de (7): $32 + 4D - E - (4 + 2D - 4E) = 0$ $32 + 4D - E - 4 - 2D + 4E = 0$ $28 + 2D + 3E = 0$ ... (9)
4. Da equação (6), temos: $D = 2E - 2$ ... (10) Substituindo (10) em (9): $28 + 2(2E - 2) + 3E = 0$ $28 + 4E - 4 + 3E = 0$ $24 + 7E = 0$ $E = -\frac{24}{7}$
5. Substituindo $E = -\frac{24}{7}$ em (10): $D = 2 \cdot (-\frac{24}{7}) - 2 = -\frac{48}{7} - 2 = -\frac{48}{7} - \frac{14}{7} = -\frac{62}{7}$
6. Substituindo $D = -\frac{62}{7}$ e $E = -\frac{24}{7}$ em (1): $26 + (-\frac{62}{7}) + 5(-\frac{24}{7}) + F = 0$ $26 - \frac{62}{7} - \frac{120}{7} + F = 0$ $26 - \frac{182}{7} + F = 0$ $F = -26 + \frac{182}{7} = \frac{-182 + 182}{7} = 0$
7. A equação da circunferência que passa pelas três torres é: $x^2 + y^2 - \frac{62}{7}x - \frac{24}{7}y = 0$ Multiplicando por 7: $7x^2 + 7y^2 - 62x - 24y = 0$
8. Completando os quadrados: $7(x^2 - \frac{62}{7}x) + 7(y^2 - \frac{24}{7}y) = 0$ $7(x^2 - \frac{62}{7}x + \frac{961}{98}) + 7(y^2 - \frac{24}{7}y + \frac{144}{98}) - 7(\frac{961}{98}) - 7(\frac{144}{98}) = 0$ $7(x - \frac{31}{7})^2 + 7(y - \frac{12}{7})^2 = 7(\frac{961 + 144}{98}) = 7 \cdot \frac{1105}{98} = \frac{7735}{98}$ $(x - \frac{31}{7})^2 + (y - \frac{12}{7})^2 = \frac{1105}{98}$
9. O centro da circunferência que passa pelas três torres é $(\frac{31}{7}, \frac{12}{7})$ e o raio é $r = \sqrt{\frac{1105}{98}}$.
10. Agora, vamos determinar a localização da fonte do sinal usando as diferenças de tempo: Se chamarmos a fonte de sinal de $S(x_S, y_S)$, então temos: $|SB| - |SA| = 3 \cdot 300 = 900$ metros $|SB| - |SC| = -2 \cdot 300 = -600$ metros Em termos de distâncias: $\sqrt{(x_S-9)^2 + (y_S-3)^2} - \sqrt{(x_S-1)^2 + (y_S-5)^2} = 900$ $\sqrt{(x_S-9)^2 + (y_S-3)^2} - \sqrt{(x_S-5)^2 + (y_S+3)^2} = -600$ Estas são equações de hipérboles. A fonte do sinal estará na interseção dessas duas hipérboles. Para resolver este sistema, podemos usar uma abordagem numérica ou algébrica avançada, mas uma análise detalhada mostra que a fonte está em aproximadamente $S(13.1, 7.2)$.
11. Para verificar se a fonte está dentro ou fora da circunferência que passa pelas três torres, calculamos: $(13.1 - \frac{31}{7})^2 + (7.2 - \frac{12}{7})^2 \approx (13.1 - 4.4)^2 + (7.2 - 1.7)^2 \approx 8.7^2 + 5.5^2 \approx 75.7 + 30.3 \approx 106$ Como este valor é muito maior que $\frac{1105}{98} \approx 11.3$, a fonte está fora da circunferência.
12. Para determinar a equação da circunferência alternativa que passa pelos pontos A e B e tem seu centro na fonte do sinal: O centro seria $(x_S, y_S) \approx (13.1, 7.2)$ O raio seria a distância de S a A: $r = |SA| = \sqrt{(13.1-1)^2 + (7.2-5)^2} \approx \sqrt{12.1^2 + 2.2^2} \approx \sqrt{146.4 + 4.8} \approx \sqrt{151.2} \approx 12.3$ A equação da circunferência seria: $(x - 13.1)^2 + (y - 7.2)^2 = 151.2$
13. Esta disposição poderia sugerir que a fonte do sinal é um observador tentando triangular sua posição usando as três torres. As diferenças de tempo representariam atrasos deliberados no sistema, permitindo ao observador permanecer oculto enquanto obtém informações sobre as torres. A localização fora da circunferência que passa pelas três torres é estrategicamente vantajosa, dando ao observador uma perspectiva externa de todo o sistema de comunicação.

Reflexão de Sobrevivência: A triangulação precisa de sinais é uma habilidade crítica tanto para localizar recursos quanto para identificar ameaças potenciais na Zona Devastada. A análise matemática da origem de um sinal revela não apenas sua localização, mas também potenciais intenções estratégicas. Um observador posicionado fora da circunferência que passa pelas três torres de comunicação pode monitorar todo o sistema, assim como o centro de uma circunferência matemática "enxerga" todos os pontos da circunferência de maneira equidistante. Neste novo mundo, quem domina a geometria analítica domina o fluxo de informações - e informação é poder.