1. Identifique os parâmetros: centro $(a,b) = (3,4)$ e raio $r = 5$
2. Substitua na equação $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
3. Obtemos $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2$
4. Simplificando: $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$

Reflexão de Sobrevivência: Circunferências delimitam zonas seguras em áreas contaminadas. Neste caso, a equação permite saber exatamente os limites do seu perímetro seguro, essencial para sobrevivência em ambientes hostis.

1. Identifique os parâmetros: centro $(a,b) = (0,0)$ e raio $r = 8$
2. Substitua na equação $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
3. Obtemos $(x-0)^2 + (y-0)^2 = 8^2$
4. Simplificando: $x^2 + y^2 = 64$

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer o limite exato do alcance do seu equipamento de comunicação pode significar a diferença entre estabelecer contato com outros sobreviventes ou ficar isolado em uma situação de emergência.

1. Reorganize a equação: $x^2 - 6x + y^2 + 8y + 9 = 0$
2. Complete o quadrado para $x$: $x^2 - 6x + 9 + y^2 + 8y + 9 - 9 = 0$
3. Simplificando: $(x - 3)^2 + y^2 + 8y + 9 = 0$
4. Complete o quadrado para $y$: $(x - 3)^2 + y^2 + 8y + 16 + 9 - 16 = 0$
5. Simplificando: $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 7$
6. Portanto, o centro é $(3, -4)$ e o raio é $\sqrt{7}$

Reflexão de Sobrevivência: Transformar informações codificadas em dados úteis é uma habilidade crucial. Neste caso, converter a equação permite visualizar precisamente a localização do centro e a extensão da área, possivelmente indicando um recurso valioso ou uma zona perigosa.

1. Substitua o ponto $(1,3)$ na equação geral: $1^2 + 3^2 + D(1) + E(3) + F = 0$
2. Simplificando: $1 + 9 + D + 3E + F = 0$ ou $D + 3E + F = -10$ (Equação 1)
3. Com $(5,3)$: $5^2 + 3^2 + 5D + 3E + F = 0$, que resulta em $5D + 3E + F = -34$ (Equação 2)
4. Com $(3,7)$: $3^2 + 7^2 + 3D + 7E + F = 0$, que resulta em $3D + 7E + F = -58$ (Equação 3)
5. Resolvendo o sistema, obtemos: $D = -6$, $E = -8$ e $F = 13$
6. Logo, a equação é $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 13 = 0$
7. Convertendo para a forma canônica, temos $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$
8. Portanto, o centro é $(3,4)$ e o raio é $4$

Reflexão de Sobrevivência: Reconhecer padrões em pontos dispersos pode revelar a estrutura de antigas instalações ou rotas estratégicas. Esta habilidade permite prever pontos adicionais que seguem o mesmo padrão, potencialmente levando a recursos não descobertos.

1. Reescreva a equação agrupando os termos em $x$ e $y$: $x^2 + 6x + y^2 - 4y - 3 = 0$
2. Complete o quadrado para os termos em $x$: $x^2 + 6x + 9 + y^2 - 4y - 3 - 9 = 0$
3. Simplificando: $(x + 3)^2 + y^2 - 4y - 12 = 0$
4. Complete o quadrado para os termos em $y$: $(x + 3)^2 + y^2 - 4y + 4 - 12 - 4 = 0$
5. Simplificando: $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16$
6. Portanto, o centro da contaminação é $(-3, 2)$ e a extensão máxima (raio) é $4$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: Identificar com precisão o centro e a extensão de uma zona contaminada permite estabelecer perímetros seguros e planejar rotas de evacuação eficientes, salvando vidas quando cada segundo conta.

1. Calcule a distância entre (1,0) e (5,-2): $d = \sqrt{(5-1)^2 + (-2-0)^2}$
2. $d = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4,47$ unidades
3. Para ida e volta, a distância total será: $2 \times d = 2 \times 4,47 \approx 8,94$ unidades
4. Como a autonomia é de 10 unidades e a distância total é aproximadamente 8,94 unidades, é possível realizar o resgate com uma única viagem de ida e volta
5. Podemos visualizar isso como uma circunferência de centro (1,0) e raio 5 (metade da autonomia), verificando se o ponto (5,-2) está dentro desta circunferência

Reflexão de Sobrevivência: Calcular distâncias precisas e verificar limites de autonomia são habilidades cruciais para missões de resgate. Esta abordagem matemática evita o desperdício de recursos valiosos e aumenta as chances de sucesso em operações arriscadas.

1. Identifique os centros e raios das duas regiões:
   • Região 1: Centro $(2,3)$ e raio $r_1 = 4$
   • Região 2: Centro $(-1,1)$ e raio $r_2 = 5$
2. Calcule a distância entre os centros: $d = \sqrt{(2-(-1))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3,61$
3. Calcule a soma dos raios: $r_1 + r_2 = 4 + 5 = 9$
4. Como $d = 3,61 < 9$, existe uma região de interseção entre os territórios
5. Calcule a diferença dos raios: $|r_1 - r_2| = |4 - 5| = 1$
6. Como $d = 3,61 > 1$, uma circunferência não está contida na outra

Reflexão de Sobrevivência: Identificar zonas de interseção entre territórios rivais é crucial para estabelecer áreas neutras de comércio ou negociação, evitando conflitos desnecessários em um mundo onde alianças estratégicas podem ser tão importantes quanto os recursos.

1. Para encontrar o centro da circunferência que passa pelos três pontos, podemos usar as mediatrizes dos segmentos que ligam os pontos:
   • Ponto A = $(0,0)$
   • Ponto B = $(6,0)$
   • Ponto C = $(3,5)$
2. Usaremos um sistema determinando a equação geral da circunferência $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
3. Substituindo A(0,0): $0 + 0 + 0 + 0 + F = 0 \Rightarrow F = 0$
4. Substituindo B(6,0): $36 + 0 + 6D + 0 + F = 0 \Rightarrow 6D = -36 \Rightarrow D = -6$
5. Substituindo C(3,5): $9 + 25 + 3D + 5E + F = 0 \Rightarrow 34 + 3(-6) + 5E = 0 \Rightarrow 5E = -34 + 18 \Rightarrow E = -3.2$
6. Identificando o centro $(a,b) = (-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) = (3, 1.6)$
7. O raio é a distância do centro a qualquer dos pontos: $r = \sqrt{(3-0)^2 + (1.6-0)^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} \approx 3.4$

Reflexão de Sobrevivência: Em um mundo onde a vigilância é essencial para a segurança, posicionar estrategicamente suas torres permite maximizar a cobertura com recursos mínimos. A geometria analítica oferece soluções precisas para problemas táticos complexos.

1. Transforme a equação da zona radioativa para a forma canônica:
   • $x^2 - 2x + y^2 + 4y - 11 = 0$
   • $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) - 11 - 1 - 4 = 0$
   • $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$
2. A zona radioativa é uma circunferência de centro $(1,-2)$ e raio $4$
3. Determine a equação da reta que passa pelos pontos $(8,7)$ e $(4,1)$:
   • $m = \frac{7-1}{8-4} = \frac{6}{4} = 1.5$
   • Equação da reta: $y - 7 = 1.5(x - 8)$
   • Simplificando: $y = 1.5x - 5$
4. Para verificar se a reta cruza a circunferência, substitua a equação da reta na equação da circunferência:
   • $(x - 1)^2 + (1.5x - 5 + 2)^2 = 16$
   • $(x - 1)^2 + (1.5x - 3)^2 = 16$
   • $(x - 1)^2 + (1.5)^2(x - 2)^2 = 16$
   • $(x - 1)^2 + 2.25(x - 2)^2 = 16$
5. Resolvendo esta equação (que é quadrática após expansão), encontramos os valores de $x$ onde a reta cruza a circunferência
6. Expandindo: $x^2 - 2x + 1 + 2.25(x^2 - 4x + 4) = 16$
7. $x^2 - 2x + 1 + 2.25x^2 - 9x + 9 = 16$
8. $3.25x^2 - 11x + 10 - 16 = 0$
9. $3.25x^2 - 11x - 6 = 0$
10. Usando a fórmula quadrática, encontramos as raízes: $x \approx 3.87$ e $x \approx -0.48$
11. O segmento de reta entre $(8,7)$ e $(4,1)$ corresponde a $4 \leq x \leq 8$
12. Como $3.87 < 4$, a trajetória direta não cruza a zona radioativa

Reflexão de Sobrevivência: A análise geométrica de trajetórias em relação a zonas perigosas é uma habilidade de sobrevivência essencial. Este método permite planejar rotas seguras, maximizando suas chances de sobrevivência em territórios hostis.

1. Para encontrar a equação da circunferência que passa pelos três pontos, vamos usar a forma geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
2. Substituindo os três pontos:
   • Para $(0,0)$: $0 + 0 + 0 + 0 + F = 0 \Rightarrow F = 0$
   • Para $(8,0)$: $64 + 0 + 8D + 0 + F = 0 \Rightarrow 64 + 8D = 0 \Rightarrow D = -8$
   • Para $(4,6)$: $16 + 36 + 4D + 6E + F = 0 \Rightarrow 52 + 4(-8) + 6E = 0 \Rightarrow 52 - 32 + 6E = 0 \Rightarrow 6E = -20 \Rightarrow E = -\frac{10}{3}$
3. Portanto, a equação da circunferência é: $x^2 + y^2 - 8x - \frac{10}{3}y = 0$
4. Convertendo para a forma canônica para identificar o centro e o raio:
   • $(x - 4)^2 + (y - \frac{5}{3})^2 = 16 + \frac{25}{9}$
   • $(x - 4)^2 + (y - \frac{5}{3})^2 = \frac{144 + 25}{9} = \frac{169}{9}$
5. O centro da circunferência é $(4, \frac{5}{3})$ e o raio é $\frac{13}{3}$
6. Para verificar se o ponto $(2,3)$ está dentro, sobre ou fora da circunferência, calculamos:
   • $d = \sqrt{(2-4)^2 + (3-\frac{5}{3})^2} = \sqrt{4 + (\frac{9-5}{3})^2} = \sqrt{4 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{36 + 16}{9}} = \sqrt{\frac{52}{9}} \approx 2.4$
   • Como $d < \frac{13}{3} \approx 4.33$, o ponto está dentro da fronteira defensiva

Reflexão de Sobrevivência: Estabelecer perímetros defensivos otimizados é crucial em um mundo hostil. Esta aplicação demonstra como a geometria analítica pode ser usada para planejar estrategicamente a proteção de recursos vitais, maximizando a segurança com recursos limitados.

1. Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio da primeira circunferência (antes da falha):
   • $x^2 - 4x + y^2 + 6y - 12 = 0$
   • $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) - 12 - 4 - 9 = 0$
   • $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$
2. A primeira circunferência tem centro $(2,-3)$ e raio $r_1 = 5$
3. Agora, para a segunda circunferência (após a falha):
   • $x^2 - 4x + y^2 + 6y = 0$
   • $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) - 4 - 9 = 0$
   • $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13$
4. A segunda circunferência tem o mesmo centro $(2,-3)$ mas raio $r_2 = \sqrt{13} \approx 3.61$
5. Espere, isso indica uma diminuição no raio. Vamos revisar:
   • A equação original inclui $-12$ no lado esquerdo
   • A nova equação tem $0$ no lado direito
   • Isso sugere que o termo constante mudou de $-12$ para $0$
   • Refazendo os cálculos com a equação após a falha: $x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0$
   • Completando quadrados: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 + 9 = 13$
   • Portanto, o raio após a falha é $r_2 = \sqrt{13} \approx 3.61$
6. Reconsiderando: A área original deve ser $A_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 25 = 25\pi$
7. A nova área é $A_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 13 = 13\pi$
8. Isso representa uma redução na área, não um aumento
9. Vamos corrigir nossa interpretação. Comparando as equações:
   • Original: $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$
   • Nova: $x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0$
   • A mudança de $-12$ para $0$ no termo constante resulta em $F$ passando de $-12$ para $0$
   • Isso significa que o raio mudou de $\sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$ para $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.61$
   • Esta é uma diminuição no raio e na área contaminada, não um aumento
10. A alteração percentual na área é: $\frac{13\pi - 25\pi}{25\pi} \times 100\% = \frac{-12\pi}{25\pi} \times 100\% = -48\%$
11. Para verificar se o ponto $(7,1)$ está em risco, calculamos sua distância ao centro $(2,-3)$:
    • $d = \sqrt{(7-2)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.4$
    • Como $d > r_2 \approx 3.61$ e $d > r_1 = 5$, o ponto $(7,1)$ não estava e continua não estando em risco

Reflexão de Sobrevivência: Nem toda mudança representa um agravamento da situação. Neste caso, a análise matemática revelou que a área contaminada na verdade diminuiu, contrariando a intuição inicial. Em um mundo pós-apocalíptico, interpretar corretamente os dados pode evitar pânico desnecessário e permitir uma alocação mais eficiente de recursos.

1. Primeiro, vamos verificar se é possível desenhar uma única circunferência que passe pelos quatro pontos:
   • Os pontos $(0,0)$, $(10,0)$, $(8,6)$ e $(2,8)$ formam um quadrilátero
   • Para que um quadrilátero seja cíclico (possa ser inscrito em uma circunferência), a soma dos ângulos opostos deve ser $180°$
   • Calculemos os vetores entre os pontos para analisar os ângulos
2. Na verdade, podemos usar um teste mais direto: quatro pontos estão em uma circunferência se e somente se o determinante de uma matriz específica for zero
3. Para os nossos pontos, podemos calcular:
   • $\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \end{vmatrix}$
   • Substituindo nossos pontos: $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 100 & 10 & 0 & 1 \\ 100 & 8 & 6 & 1 \\ 68 & 2 & 8 & 1 \end{vmatrix}$
4. O cálculo deste determinante é complexo, mas podemos verificar que é diferente de zero, indicando que os quatro pontos não estão em uma única circunferência
5. Portanto, não existe uma circunferência que passe por todos os quatro assentamentos
6. Para o problema de minimização da soma das distâncias (conhecido como problema de Fermat-Weber), a solução não é trivial
7. Em vez de usar o centro da circunferência (que não existe para os quatro pontos), podemos usar algoritmos iterativos como o método de Weiszfeld
8. Uma abordagem prática seria calcular o centroide dos quatro pontos como aproximação inicial:
   • $C_x = \frac{0 + 10 + 8 + 2}{4} = 5$
   • $C_y = \frac{0 + 0 + 6 + 8}{4} = 3.5$
   • Centroide: $(5, 3.5)$
9. Para verificar se este é um bom ponto, calculamos a soma das distâncias:
   • $d_1 = \sqrt{(5-0)^2 + (3.5-0)^2} = \sqrt{25 + 12.25} = \sqrt{37.25} \approx 6.1$
   • $d_2 = \sqrt{(5-10)^2 + (3.5-0)^2} = \sqrt{25 + 12.25} = \sqrt{37.25} \approx 6.1$
   • $d_3 = \sqrt{(5-8)^2 + (3.5-6)^2} = \sqrt{9 + 6.25} = \sqrt{15.25} \approx 3.9$
   • $d_4 = \sqrt{(5-2)^2 + (3.5-8)^2} = \sqrt{9 + 20.25} = \sqrt{29.25} \approx 5.4$
   • Soma total: $6.1 + 6.1 + 3.9 + 5.4 = 21.5$ unidades
10. A solução exata do problema de Fermat-Weber geralmente requer métodos numéricos, mas o centroide é uma boa aproximação inicial

Reflexão de Sobrevivência: Em um mundo com recursos limitados, otimizar redes de infraestrutura é vital. Este problema demonstra que nem sempre existe uma solução geométrica perfeita, e aproximações práticas como o centroide podem ser necessárias. A adaptabilidade matemática é tão importante quanto o conhecimento teórico para sobreviver em um mundo pós-apocalíptico.