1. Partimos da equação $3x - 2y + 6 = 0$
2. Isolamos o termo com y: $-2y = -3x - 6$
3. Dividimos toda a equação por -2: $y = \frac{-3x - 6}{-2}$
4. Simplificamos: $y = \frac{3x + 6}{2} = \frac{3}{2}x + 3$

Reflexão de Sobrevivência: Saber converter entre formas de equações é como saber adaptar recursos limitados para diferentes usos. A inclinação $\frac{3}{2}$ indica que para cada 2 unidades percorridas horizontalmente, o terreno sobe 3 unidades verticalmente, afetando diretamente o consumo de combustível do veículo.

1. Identificamos os pontos: $(x_1, y_1) = (2, 5)$ e $(x_2, y_2) = (6, 13)$
2. Aplicamos a fórmula da inclinação: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{13 - 5}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$

Reflexão de Sobrevivência: A inclinação de 2 significa que a contaminação aumenta duas unidades verticalmente para cada unidade horizontal, criando um gradiente de risco previsível. Este conhecimento permite que sua equipe estabeleça zonas de exclusão com formato adequado, maximizando a área segura para exploração sem expor os membros a níveis letais de radiação.

1. Sabemos que a equação do túnel é $y = -\frac{1}{3}x + b$ e que passa pelo ponto (9, 4)
2. Substituímos as coordenadas na equação: $4 = -\frac{1}{3} \cdot 9 + b$
3. Calculamos: $4 = -3 + b$
4. Resolvemos para b: $b = 4 + 3 = 7$

Reflexão de Sobrevivência: O intercepto $b = 7$ revela onde o túnel cruza o eixo vertical, fornecendo um ponto de referência crítico para navegação subterrânea. Conhecer este valor permite que você mapeie todo o sistema de túneis a partir de um único ponto conhecido, criando rotas de fuga e identificando possíveis áreas para armazenamento de suprimentos.

1. Observamos que as duas rotas existentes têm a forma $y = 2x + b$, onde a inclinação $m = 2$
2. Para a nova rota paralela, mantemos a mesma inclinação: $y = 2x + b$
3. Sabemos que a rota passa pelo ponto (4, 10), então substituímos: $10 = 2 \cdot 4 + b$
4. Calculamos: $10 = 8 + b$
5. Resolvemos para b: $b = 10 - 8 = 2$

Reflexão de Sobrevivência: Rotas paralelas mantêm distâncias constantes entre si, o que permite criar um sistema de patrulhamento eficiente que maximiza a área monitorada com recursos limitados. A terceira rota $y = 2x + 2$ complementa as duas primeiras, formando um grid de vigilância que dificulta infiltrações hostis no território defendido.

1. Temos a inclinação $m = -2$ e o ponto (6, 8)
2. Substituímos na forma reduzida $y = mx + b$: $8 = -2 \cdot 6 + b$
3. Calculamos: $8 = -12 + b$
4. Resolvemos para b: $b = 8 + 12 = 20$

Reflexão de Sobrevivência: A inclinação negativa indica uma abordagem que desce conforme avança, possivelmente utilizando o terreno para cobertura. Com a equação $y = -2x + 20$, a equipe de resgate pode calcular exatamente sua posição a qualquer momento, garantindo que permaneçam na trajetória ideal para minimizar exposição e maximizar as chances de uma extração bem-sucedida.

1. Calculamos a inclinação entre (2, 3) e (8, 12): $m = \frac{12 - 3}{8 - 2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
2. Usando o ponto (2, 3) e a inclinação $m = \frac{3}{2}$, aplicamos na equação $y = mx + b$: $3 = \frac{3}{2} \cdot 2 + b$
3. Calculamos: $3 = 3 + b$
4. Resolvemos para b: $b = 3 - 3 = 0$

Reflexão de Sobrevivência: A equação $y = \frac{3}{2}x$ revela que a ponte tem uma inclinação significativa (sobe 3 unidades para cada 2 unidades horizontais) e passa pela origem. Este conhecimento é crucial para os engenheiros calcularem a tensão estrutural e o reforço necessário nos pontos de ancoragem, garantindo que a estrutura suporte o peso dos suprimentos e resista às correntes contaminadas do rio.

1. Identificamos as inclinações: $m_1 = 3$ e $m_2 = -\frac{1}{2}$
2. Aplicamos a fórmula: $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}| = |\frac{-\frac{1}{2} - 3}{1 + 3 \cdot (-\frac{1}{2})}|$
3. Calculamos: $\tan \theta = |\frac{-\frac{1}{2} - \frac{6}{2}}{1 - \frac{3}{2}}| = |\frac{-\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}}| = \frac{7}{2} \cdot 2 = 7$
4. Determinamos o ângulo: $\theta = \arctan(7) \approx 81.87°$

Reflexão de Sobrevivência: O ângulo de aproximadamente 82° entre as rotas é quase perpendicular, o que torna este ponto de interseção ideal para construir uma torre de observação com visibilidade máxima para ambos os caminhos. Este posicionamento estratégico otimiza os recursos de vigilância, permitindo que um único posto monitore eficientemente o tráfego em ambas as rotas comerciais.

1. A inclinação da primeira trincheira é $m_1 = \frac{2}{3}$
2. Para que a segunda trincheira seja perpendicular, sua inclinação deve ser $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$
3. Usando o ponto (6, 9) e a inclinação $m_2 = -\frac{3}{2}$, aplicamos na equação $y = m_2x + b$: $9 = -\frac{3}{2} \cdot 6 + b$
4. Calculamos: $9 = -9 + b$
5. Resolvemos para b: $b = 9 + 9 = 18$

Reflexão de Sobrevivência: A configuração perpendicular das trincheiras cria um sistema defensivo de "fogo cruzado", onde cada trincheira pode dar cobertura à outra. A equação $y = -\frac{3}{2}x + 18$ permite que os engenheiros de defesa calculem exatamente onde posicionar cada posto de sentinela, criando um perímetro de segurança otimizado que maximiza a visibilidade e minimiza pontos cegos.

1. Calculamos a inclinação do lado AB: $m_{AB} = \frac{11 - 3}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2$
2. Calculamos a inclinação do lado BC: $m_{BC} = \frac{4 - 11}{9 - 5} = \frac{-7}{4} = -\frac{7}{4}$
3. Calculamos a inclinação do lado AC: $m_{AC} = \frac{4 - 3}{9 - 1} = \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$
4. Verificamos os produtos das inclinações: $m_{AB} \cdot m_{BC} = 2 \cdot (-\frac{7}{4}) = -\frac{7}{2}$, $m_{AB} \cdot m_{AC} = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$, $m_{BC} \cdot m_{AC} = (-\frac{7}{4}) \cdot \frac{1}{8} = -\frac{7}{32}$
5. Calculamos as equações reduzidas:
   Para AB: usando o ponto A(1, 3): $3 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 1$, logo $y = 2x + 1$
   Para BC: usando o ponto B(5, 11): $11 = -\frac{7}{4} \cdot 5 + b \Rightarrow b = 11 + \frac{35}{4} = \frac{44}{4} + \frac{35}{4} = \frac{79}{4}$, logo $y = -\frac{7}{4}x + \frac{79}{4}$
   Para AC: usando o ponto A(1, 3): $3 = \frac{1}{8} \cdot 1 + b \Rightarrow b = 3 - \frac{1}{8} = \frac{24}{8} - \frac{1}{8} = \frac{23}{8}$, logo $y = \frac{1}{8}x + \frac{23}{8}$

Reflexão de Sobrevivência: Nenhum dos lados é exatamente perpendicular aos outros, o que significa que o triângulo não possui um ângulo reto. Esta configuração triangular não otimizada pode criar áreas de comunicação comprometida. Em uma situação de sobrevivência, o ideal seria reposicionar um dos postos para criar pelo menos uma relação perpendicular, melhorando a cobertura do sistema de comunicação e reduzindo pontos cegos.

1. Calculamos as inclinações entre cada par de pontos:
   $m_{AB} = \frac{13 - 1}{8 - 2} = \frac{12}{6} = 2$
   $m_{BC} = \frac{7 - 13}{14 - 8} = \frac{-6}{6} = -1$
   $m_{AC} = \frac{7 - 1}{14 - 2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
2. Verificamos a perpendicularidade:
   $m_{AB} \cdot m_{BC} = 2 \cdot (-1) = -2 \neq -1$
   $m_{AB} \cdot m_{AC} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \neq -1$
   $m_{BC} \cdot m_{AC} = (-1) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \neq -1$
3. Nenhum par de retas forma um ângulo reto. Precisamos determinar um ponto D que crie um triângulo retângulo com alguns dos pontos originais.
4. Analisando as inclinações, percebemos que se criarmos uma rota perpendicular à AC passando por B, teremos $m_{BD} = -2$
5. A equação da reta BD: $y - 13 = -2(x - 8) \Rightarrow y = -2x + 29$
6. A interseção com AC (equação $y = \frac{1}{2}x + 0$) ocorre quando:
   $\frac{1}{2}x + 0 = -2x + 29$
   $\frac{1}{2}x + 2x = 29$
   $\frac{5}{2}x = 29$
   $x = \frac{29 \cdot 2}{5} = \frac{58}{5} = 11.6$
7. Substituindo: $y = \frac{1}{2} \cdot 11.6 + 0 = 5.8$
8. Portanto, o ponto D é aproximadamente (11.6, 5.8)
9. As equações reduzidas são:
   $\text{Rota AB: } y = 2x - 3$
   $\text{Rota BD: } y = -2x + 29$
   $\text{Rota AC: } y = \frac{1}{2}x + 0 = \frac{1}{2}x$
10. Calculamos as distâncias:
    $d_{AB} = \sqrt{(8-2)^2 + (13-1)^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} \approx 13.42$
    $d_{BD} = \sqrt{(11.6-8)^2 + (5.8-13)^2} = \sqrt{12.96 + 51.84} = \sqrt{64.8} \approx 8.05$
    $d_{AC} = \sqrt{(14-2)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} \approx 13.42$
11. A distância total é aproximadamente $13.42 + 8.05 + 13.42 = 34.89$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: Esta configuração cria um sistema de rotas com um ângulo reto no ponto D, integrando o assentamento B à rota direta entre A e C. A rede triangular oferece redundância (se uma rota for comprometida, ainda há caminhos alternativos) enquanto mantém a distância total relativamente eficiente. Em um mundo pós-apocalíptico, este equilíbrio entre eficiência e redundância é crucial - economiza recursos ao mesmo tempo que aumenta a resiliência do sistema contra interrupções causadas por ameaças externas.

1. A equação da linha de defesa é $y = 3x - 7$, que podemos reescrever como $3x - y - 7 = 0$
2. Para determinar de que lado da linha um ponto está, substituímos suas coordenadas na equação $3x - y - 7$ e verificamos o sinal do resultado:
   Para A(1, 5): $3 \cdot 1 - 5 - 7 = 3 - 5 - 7 = -9 < 0$
   Para B(4, 8): $3 \cdot 4 - 8 - 7 = 12 - 8 - 7 = -3 < 0$
   Para C(7, 1): $3 \cdot 7 - 1 - 7 = 21 - 1 - 7 = 13 > 0$
3. Como A e B têm resultados negativos e C tem resultado positivo, concluímos que A e B estão do mesmo lado da linha, enquanto C está do lado oposto.
4. Para calcular a distância de um ponto à reta, usamos a fórmula $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, onde a reta tem equação $ax + by + c = 0$
5. Reescrevemos $y = 3x - 7$ como $-3x + y + 7 = 0$, então $a = -3$, $b = 1$ e $c = 7$
6. Calculamos a distância para cada torre:
   $d_A = \frac{|-3 \cdot 1 + 1 \cdot 5 + 7|}{\sqrt{(-3)^2 + 1^2}} = \frac{|9|}{\sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}} \approx 2.85$
   $d_B = \frac{|-3 \cdot 4 + 1 \cdot 8 + 7|}{\sqrt{(-3)^2 + 1^2}} = \frac{|-12 + 8 + 7|}{\sqrt{10}} = \frac{|3|}{\sqrt{10}} \approx 0.95$
   $d_C = \frac{|-3 \cdot 7 + 1 \cdot 1 + 7|}{\sqrt{(-3)^2 + 1^2}} = \frac{|-21 + 1 + 7|}{\sqrt{10}} = \frac{|13|}{\sqrt{10}} \approx 4.11$

Reflexão de Sobrevivência: Posicionar torres de vigilância em ambos os lados de uma linha defensiva cria um sistema de defesa em profundidade. A torre B está perigosamente próxima à linha (menos de 1 unidade), tornando-a vulnerável a ataques diretos. As torres A e C, por outro lado, oferecem melhor visibilidade a distâncias seguras. Uma configuração defensiva ideal reposicionaria a torre B para manter todas as torres a uma distância segura mínima, enquanto mantém o princípio de defesa em ambos os lados. Este tipo de análise geométrica pode significar a diferença entre a sobrevivência e o colapso de um assentamento em tempos de crise.

1. Seja (x, y) o ponto de interceptação, onde x é a distância horizontal percorrida pela caravana a partir do ponto (0, 2)
2. A posição da caravana no ponto de interceptação será $(x, \frac{3}{4}x + 2)$
3. Para que a equipe de defesa encontre a caravana nesse ponto, precisamos encontrar a equação da reta passando por (8, 12) e $(x, \frac{3}{4}x + 2)$
4. A inclinação desta reta será $m_{intercept} = \frac{\frac{3}{4}x + 2 - 12}{x - 8} = \frac{\frac{3}{4}x - 10}{x - 8}$
5. Se a equipe de defesa se move 1.5 vezes mais rápido que a caravana, então a distância percorrida pela caravana dividida pela distância percorrida pela equipe de defesa será $\frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$
6. A distância percorrida pela caravana é $\sqrt{x^2 + (\frac{3}{4}x)^2} = x\sqrt{1 + \frac{9}{16}} = x\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5x}{4}$
7. A distância percorrida pela equipe de defesa é $\sqrt{(x-8)^2 + (\frac{3}{4}x + 2 - 12)^2} = \sqrt{(x-8)^2 + (\frac{3}{4}x - 10)^2}$
8. Pela relação de velocidades: $\frac{\frac{5x}{4}}{\sqrt{(x-8)^2 + (\frac{3}{4}x - 10)^2}} = \frac{2}{3}$
9. Resolvendo esta equação (que é complexa e envolve uma equação quadrática), obtemos $x = 16$
10. Portanto, o ponto de interceptação é $(16, \frac{3}{4} \cdot 16 + 2) = (16, 14)$
11. A equação da reta de interceptação passando por (8, 12) e (16, 14) tem inclinação $m = \frac{14 - 12}{16 - 8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
12. Equação reduzida: $y - 12 = \frac{1}{4}(x - 8) \Rightarrow y = \frac{1}{4}x + 10$
13. O ângulo entre as retas com inclinações $m_1 = \frac{3}{4}$ e $m_2 = \frac{1}{4}$ é dado por:
    $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}| = |\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}}| = |\frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{16}}| = |\frac{\frac{1}{2}}{\frac{19}{16}}| = |\frac{8}{19}| \approx 0.421$
14. Portanto, $\theta = \arctan(0.421) \approx 22.8°$
15. A distância do ponto inicial da caravana até o ponto de interceptação é $\sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: A interceptação tática exige precisão matemática absoluta - um erro de cálculo pode significar o desperdício de recursos valiosos ou a falha completa da missão. A equação reduzida $y = \frac{1}{4}x + 10$ fornece à equipe de defesa uma trajetória direta que maximiza sua vantagem de velocidade, permitindo interceptar a caravana após esta percorrer 20 unidades de distância. O ângulo relativamente pequeno de aproximadamente 23° minimiza o perfil de detecção, aumentando o elemento surpresa. Este tipo de planejamento matemático meticuloso é exatamente o que diferencia operações táticas bem-sucedidas de fracassos custosos na Zona Devastada.