1. Identifique os valores na fórmula da distância: $a=2$, $b=-3$, $c=6$, $x_0=3$, $y_0=5$
2. Substitua na fórmula da distância: $d(P, r) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
3. Calcule o numerador: $|2 \cdot 3 + (-3) \cdot 5 + 6| = |6 - 15 + 6| = |{-3}| = 3$
4. Calcule o denominador: $\sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$
5. Calcule a distância: $d = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3 \cdot \sqrt{13}}{13} \approx 0,83$

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer exatamente a que distância você está de uma zona contaminada é vital para planejar expedições seguras. Esta distância de 0,83 unidades (aproximadamente 830 metros em escala real) permite estabelecer um perímetro de segurança adequado para o Refúgio-37.

1. Identifique os coeficientes da equação da reta: $a=4$, $b=3$, $c=-12$
2. Substitua o ponto $S(1, 2)$ e os coeficientes na fórmula da distância
3. Calcule o numerador: $|4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 12| = |4 + 6 - 12| = |-2| = 2$
4. Calcule o denominador: $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
5. A distância mínima é: $d = \frac{2}{5} = 0,4$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: Em situações de emergência, encontrar o caminho mais curto até uma rota de evacuação pode salvar vidas. Esta distância de 0,4 unidades (aproximadamente 400 metros) permite que o grupo economize energia e tempo precioso, minimizando a exposição à radiação.

1. Identifique os coeficientes da reta: $a=3$, $b=-4$, $c=8$
2. Aplique a fórmula da distância com o ponto $A(2, 4)$
3. Calcule o numerador: $|3 \cdot 2 + (-4) \cdot 4 + 8| = |6 - 16 + 8| = |-2| = 2$
4. Calcule o denominador: $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
5. A distância é: $d = \frac{2}{5} = 0,4$ unidades
6. Como $0,4 < 1,5$, o abrigo NÃO está dentro da zona de segurança

Reflexão de Sobrevivência: Manter estruturas críticas a distâncias seguras de perímetros defensivos é crucial para evitar danos colaterais durante ataques. O abrigo está a apenas 0,4 unidades do perímetro, muito abaixo do mínimo de segurança de 1,5 unidades, tornando-o vulnerável. Neste caso, seria necessário reforçar a proteção do abrigo ou realocá-lo.

1. Reescreva a equação da reta na forma $y = mx + b$: $y = 2x - 3$ (então $m = 2$)
2. O coeficiente angular da reta perpendicular a $r$ é $m_{\perp} = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{2}$
3. A reta perpendicular que passa por $S(5, 1)$ tem equação $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 5)$
4. Simplificando: $y - 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ ou $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$
5. Para encontrar o ponto de interseção, resolva o sistema: \begin{aligned} y &= 2x - 3 \\ y &= -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \end{aligned}
6. Igualando as equações: $2x - 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$
7. Multiplicando tudo por 2: $4x - 6 = -x + 7$
8. Somando $x$ aos dois lados: $5x - 6 = 7$
9. Somando 6 aos dois lados: $5x = 13$
10. Resolvendo: $x = \frac{13}{5} = 2,6$
11. Substitua na equação da reta $r$ para encontrar $y$: $y = 2 \cdot 2,6 - 3 = 5,2 - 3 = 2,2$
12. O ponto de resgate é $P(2,6; 2,2)$

Reflexão de Sobrevivência: Em operações de resgate, identificar o ponto de intervenção mais eficiente economiza recursos preciosos e minimiza o tempo de exposição. Ao calcular as coordenadas exatas $(2,6; 2,2)$, a equipe pode planejar com precisão o ponto de encontro, maximizando as chances de um resgate bem-sucedido sem desvios desnecessários da rota principal.

1. Para a reta $r_1: 2x + y - 8 = 0$, temos $a=2$, $b=1$, $c=-8$
2. Calculando a distância de $A(1, 3)$ até $r_1$: $$d(A, r_1) = \frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 - 8|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 3 - 8|}{\sqrt{5}} = \frac{|-3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$$
3. Simplificando: $d(A, r_1) = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1,34$ unidades
4. Para a reta $r_2: x - y + 4 = 0$, temos $a=1$, $b=-1$, $c=4$
5. Calculando a distância de $A(1, 3)$ até $r_2$: $$d(A, r_2) = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 - 3 + 4|}{\sqrt{2}} = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$$
6. Simplificando: $d(A, r_2) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41$ unidades
7. Comparando as distâncias: $d(A, r_1) \approx 1,34 < d(A, r_2) \approx 1,41$
8. A zona radioativa $r_1$ representa maior risco por estar mais próxima

Reflexão de Sobrevivência: Avaliar com precisão o risco relativo de múltiplas ameaças é uma habilidade essencial na Zona Devastada. Neste caso, a zona $r_1$ está aproximadamente 0,07 unidades mais próxima do abrigo, representando o perigo mais imediato. Recursos de proteção contra radiação devem ser priorizados na direção desta zona, possivelmente com barreiras mais espessas ou detectores mais sensíveis.

1. Verifique o ponto $A(2, 5)$: $$2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 12 = 4 - 15 + 12 = 1 > 0$$ Portanto, $A$ está fora da área segura.
2. Verifique o ponto $B(3, 4)$: $$2 \cdot 3 - 3 \cdot 4 + 12 = 6 - 12 + 12 = 6 > 0$$ Portanto, $B$ está fora da área segura.
3. Verifique o ponto $C(-1, 2)$: $$2 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 + 12 = -2 - 6 + 12 = 4 > 0$$ Portanto, $C$ está fora da área segura.
4. Calcule a distância de $A$ até a fronteira: $$d(A, \text{fronteira}) = \frac{|2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 12|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \approx 0,28$$
5. Calcule a distância de $B$ até a fronteira: $$d(B, \text{fronteira}) = \frac{|2 \cdot 3 - 3 \cdot 4 + 12|}{\sqrt{13}} = \frac{|6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \approx 1,66$$
6. Calcule a distância de $C$ até a fronteira: $$d(C, \text{fronteira}) = \frac{|2 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 + 12|}{\sqrt{13}} = \frac{|4|}{\sqrt{13}} = \frac{4}{\sqrt{13}} \approx 1,11$$

Reflexão de Sobrevivência: Mapear com precisão as posições dos abrigos em relação às fronteiras contaminadas permite priorizar evacuações e reforços. O abrigo A está perigosamente próximo da fronteira (apenas 0,28 unidades), exigindo atenção imediata, enquanto B, estando a 1,66 unidades, possui uma margem de segurança maior que poderia permitir uma evacuação mais ordenada ou até mesmo a construção de barreiras protetoras.

1. Verifique se o ponto $P(3, 2)$ satisfaz a primeira inequação: $$3 + 2 \cdot 2 - 10 = 3 + 4 - 10 = -3 \leq 0$$ Sim, satisfaz.
2. Verifique a segunda inequação: $$-3 + 2 - 3 = -4 \leq 0$$ Sim, satisfaz.
3. Verifique a terceira inequação: $$2 \cdot 3 - 2 - 8 = 6 - 2 - 8 = -4 \leq 0$$ Sim, satisfaz.
4. Como $P(3, 2)$ satisfaz todas as três inequações, o grupo já começa dentro da zona segura.
5. A distância mínima que precisam percorrer para entrar na zona segura é 0 unidades, pois já estão nela.

Reflexão de Sobrevivência: Verificar se uma posição está dentro de uma zona segura antes de iniciar uma expedição é fundamental para o planejamento estratégico. Neste caso, os exploradores têm a vantagem de já estarem em território seguro, o que lhes permite conservar recursos para a missão principal de busca por suprimentos, em vez de gastá-los apenas para alcançar um ponto seguro inicial.

1. Calcule o baricentro do triângulo: $$G = \left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{2+1+6}{3}\right) = \left(3, 3\right)$$
2. Para minimizar a soma das distâncias, a reta deve passar pelo baricentro $G(3, 3)$
3. A equação da reta tem forma $y - 3 = m(x - 3)$ ou $y = mx - 3m + 3$
4. Para determinar a inclinação $m$ que minimiza a soma das distâncias, precisamos minimizar a função: $$f(m) = \frac{|m \cdot 1 - 2 + 3m - 3|}{\sqrt{1+m^2}} + \frac{|m \cdot 5 - 1 + 3m - 3|}{\sqrt{1+m^2}} + \frac{|m \cdot 3 - 6 + 3m - 3|}{\sqrt{1+m^2}}$$
5. Após cálculos de otimização, encontramos $m = 1$
6. Portanto, a equação da reta é $y = x$

Reflexão de Sobrevivência: Otimizar rotas de transporte entre assentamentos é crucial para conservar combustível e minimizar exposição a ameaças. A estrada representada pela equação $y = x$ proporciona a melhor solução global, minimizando a soma das distâncias que precisam ser percorridas perpendicularmente à estrada principal. Esta solução matemática traduz-se diretamente em economia de recursos e maior segurança para todos os postos envolvidos.

1. A fronteira é dada pela reta $r: 3x - 4y + 12 = 0$
2. Para encontrar retas paralelas a uma distância $d$, usamos a fórmula: $$r': 3x - 4y + 12 + d\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 0$$ $$r'': 3x - 4y + 12 - d\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 0$$
3. Calculamos $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
4. Para $d = 1$, temos: $$r': 3x - 4y + 12 + 5 = 0 \Rightarrow 3x - 4y + 17 = 0$$ $$r'': 3x - 4y + 12 - 5 = 0 \Rightarrow 3x - 4y + 7 = 0$$
5. A zona neutra é definida pelos pontos que estão entre essas duas retas: $$3x - 4y + 17 \leq 0 \text{ e } 3x - 4y + 7 \geq 0$$
6. Podemos reescrever como: $$3x - 4y + 17 \leq 0 \text{ e } -3x + 4y - 7 \leq 0$$

Reflexão de Sobrevivência: Estabelecer zonas neutras entre territórios controlados por facções rivais é uma estratégia diplomática essencial na era pós-colapso. O sistema de inequações define matematicamente esta zona-tampão, permitindo que patrulhas de ambos os lados saibam exatamente onde estão os limites que não devem ser ultrapassados, reduzindo o risco de confrontos acidentais e promovendo uma coexistência menos hostil.

1. Primeiro, verifique que os três pontos não são colineares e determine a orientação do triângulo formado por eles
2. Identifique as bissetrizes perpendiculares dos lados do triângulo: - Lado AB: bissetriz perpendicular passa por $\left(\frac{1+5}{2}, \frac{1+2}{2}\right) = (3, 1.5)$ - Lado BC: bissetriz perpendicular passa por $\left(\frac{5+3}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (4, 4)$ - Lado CA: bissetriz perpendicular passa por $\left(\frac{3+1}{2}, \frac{6+1}{2}\right) = (2, 3.5)$
3. O centro do círculo circunscrito ao triângulo é a interseção dessas bissetrizes, aproximadamente no ponto $O(3, 3)$
4. Calcule o raio $R$ do círculo circunscrito: aproximadamente $R = 2,5$ unidades
5. A barreira ótima é uma reta tangente ao círculo circunscrito, a uma distância $R$ do centro
6. Uma destas retas ótimas tem equação $y = -x + 6$

Reflexão de Sobrevivência: Projetar um perímetro defensivo que maximize a distância mínima aos sensores é uma aplicação crítica de geometria analítica para segurança avançada. A barreira descrita pela equação $y = -x + 6$ garante que todos os sensores fiquem do mesmo lado e a uma distância segura, permitindo tempo máximo de resposta em caso de detecção de intrusos. Este tipo de otimização geométrica pode fazer a diferença entre detectar uma ameaça a tempo ou sofrer uma invasão bem-sucedida.

1. Determine a equação da reta que passa por $A(1, 1)$ e $B(8, 6)$: $$\frac{y-1}{x-1} = \frac{6-1}{8-1} = \frac{5}{7} \Rightarrow y - 1 = \frac{5}{7}(x-1) \Rightarrow y = \frac{5}{7}x + \frac{2}{7}$$
2. Para encontrar os pontos de interseção com as fronteiras da zona radioativa, substitua esta equação em cada uma das retas limítrofes: - Para $x + y - 10 = 0$: $x + \frac{5}{7}x + \frac{2}{7} - 10 = 0 \Rightarrow \frac{12}{7}x = \frac{70-2}{7} \Rightarrow x = \frac{68}{12} \approx 5,67$ - Substituindo na equação da reta: $y \approx 4,33$ - Ponto de interseção: aproximadamente $(5,67; 4,33)$
3. Da mesma forma, encontre a interseção com a reta $2x - y - 2 = 0$: - $2x - \frac{5}{7}x - \frac{2}{7} - 2 = 0 \Rightarrow \frac{14-5}{7}x = \frac{14+2}{7} \Rightarrow \frac{9}{7}x = \frac{16}{7} \Rightarrow x = \frac{16}{9} \approx 1,78$ - Substituindo: $y \approx 1,55$ - Ponto de interseção: aproximadamente $(1,78; 1,55)$
4. Verifique que os pontos $(5,67; 4,33)$ e $(1,78; 1,55)$ são os pontos de entrada e saída da zona radioativa
5. Calcule o comprimento do segmento dentro da zona: $$d = \sqrt{(5,67-1,78)^2 + (4,33-1,55)^2} = \sqrt{3,89^2 + 2,78^2} \approx 4,78 \text{ unidades}$$

Reflexão de Sobrevivência: Planejar rotas subterrâneas através de zonas perigosas requer precisão matemática para minimizar riscos. Conhecendo exatamente os pontos de entrada $(1,78; 1,55)$ e saída $(5,67; 4,33)$, os escavadores podem preparar equipamentos especiais de proteção contra radiação apenas para o segmento de 4,78 unidades, economizando recursos valiosos. Este cálculo também permite estimar com precisão o tempo de exposição da equipe, permitindo o planejamento adequado de turnos de trabalho para minimizar os danos à saúde.

1. A trajetória do mutante é dada pela reta $r_m: y = 2x - 5$
2. O ponto mais próximo na trajetória do mutante ao sistema de defesa $D(3, 8)$ é encontrado traçando uma reta perpendicular a $r_m$ que passa por $D$
3. A reta $r_m$ tem coeficiente angular $m = 2$, então a reta perpendicular tem coeficiente $m_{\perp} = -\frac{1}{2}$
4. A equação da reta perpendicular que passa por $D(3, 8)$ é: $$y - 8 = -\frac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 9,5$$
5. Para encontrar o ponto de interseção, resolvemos o sistema: $$\begin{cases} y = 2x - 5 \\ y = -\frac{1}{2}x + 9,5 \end{cases}$$
6. Igualando as equações: $2x - 5 = -\frac{1}{2}x + 9,5 \Rightarrow 2,5x = 14,5 \Rightarrow x = 5,8$
7. Substituindo: $y = 2 \cdot 5,8 - 5 = 11,6 - 5 = 6,6$
8. Portanto, o ponto de mira ideal é $P(5,8; 6,6)$
9. Calcule a distância de $D$ até $P$: $$d(D,P) = \sqrt{(5,8-3)^2 + (6,6-8)^2} = \sqrt{2,8^2 + (-1,4)^2} = \sqrt{7,84 + 1,96} = \sqrt{9,8} \approx 3,13$$
10. Como $d(D,P) \approx 3,13 < 5$, a interceptação é possível
11. Para a parte (c), precisamos determinar quando o mutante estará no ponto $P(5,8; 6,6)$: - No tempo $t=0$, o mutante está em $(4, 3)$ - A distância de $(4, 3)$ até $(5,8; 6,6)$ é: $$d = \sqrt{(5,8-4)^2 + (6,6-3)^2} = \sqrt{1,8^2 + 3,6^2} = \sqrt{3,24 + 12,96} = \sqrt{16,2} \approx 4,02$$ - Com velocidade de 2 unidades/min, o mutante levará $t_m = \frac{4,02}{2} = 2,01$ minutos para chegar ao ponto $P$ - O projétil leva $t_p = \frac{3,13}{8} \approx 0,39$ minutos para chegar a $P$ - Para interceptação, o projétil deve ser disparado em $t = 2,01 - 0,39 = 1,62$ minutos após o tempo $t=0$

Reflexão de Sobrevivência: Em sistemas de defesa automatizados, a geometria analítica permite otimizar a interceptação de ameaças com precisão milimétrica. Ao calcular o ponto exato de intersecção $(5,8; 6,6)$ e o momento preciso do disparo (1,62 minutos após a detecção inicial), o sistema economiza munição valiosa e maximiza a probabilidade de neutralização da ameaça. Este tipo de cálculo representa a diferença entre proteção eficaz e falhas catastróficas no sistema de defesa de um assentamento.