1. Identifique os coeficientes das duas equações:
   Primeira reta: $2x - 3y + 4 = 0$ → $a_1 = 2$, $b_1 = -3$, $c_1 = 4$
   Segunda reta: $4x - 6y - 8 = 0$ → $a_2 = 4$, $b_2 = -6$, $c_2 = -8$
2. Verifique a proporção entre os coeficientes para teste de paralelismo:
   $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
   $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
3. Como $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, as retas têm a mesma inclinação. Mas para serem paralelas, elas não podem ser coincidentes. Verifique:
   $\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}$
4. Como $\frac{c_1}{c_2} \neq \frac{a_1}{a_2}$, as retas são paralelas (mesma inclinação, mas diferentes pontos de passagem).

Reflexão de Sobrevivência: Linhas de comunicação paralelas são como rotas de evacuação que nunca se cruzam - úteis quando você precisa garantir que múltiplas equipes possam evacuar simultaneamente sem criar pontos de congestionamento. Em termos de comunicação, sinais paralelos minimizam a interferência, aumentando as chances de mensagens chegarem intactas aos destinatários.

1. Identifique os coeficientes angulares das duas retas:
   Para a reta $r: y = 3x + 1$, temos $m_1 = 3$
   Para a reta $s: y = kx - 5$, temos $m_2 = k$
2. Aplique a condição de perpendicularidade: $m_1 \cdot m_2 = -1$
3. Substitua os valores: $3 \cdot k = -1$
4. Resolva para $k$: $k = -\frac{1}{3}$

Reflexão de Sobrevivência: Estruturas perpendiculares distribuem forças de maneira mais eficiente, tornando sua barricada capaz de resistir a ataques de mutantes e intempéries. Na sobrevivência, compreender a relação matemática da perpendicularidade pode ser a diferença entre um abrigo que permanece de pé durante uma tempestade e um que desmorona sobre você.

1. Calcule o coeficiente angular da primeira trilha (pontos A e B):
   $m_1 = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$
2. Calcule o coeficiente angular da segunda trilha (pontos C e D):
   $m_2 = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{0 - 3}{3 - 0} = \frac{-3}{3} = -1$
3. Verifique a relação entre os coeficientes angulares:
   $m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot (-1) = -2$
4. Como $m_1 \cdot m_2 = -2 \neq -1$ e $m_1 \neq m_2$, as trilhas não são nem paralelas nem perpendiculares. Elas seguem em direções aleatórias.

Reflexão de Sobrevivência: Trilhas que não são nem paralelas nem perpendiculares eventualmente se cruzarão em um ângulo não-reto. No mundo pós-apocalíptico, isso pode significar tanto uma oportunidade de encontro com outros sobreviventes quanto um risco de emboscada. Saber calcular a relação entre direções permite prever esses pontos de encontro e planejar adequadamente.

1. Identifique os coeficientes da parede existente:
   $3x + 2y - 12 = 0$ → $a_1 = 3$, $b_1 = 2$, $c_1 = -12$
2. Calcule o coeficiente angular da parede existente:
   $m_1 = -\frac{a_1}{b_1} = -\frac{3}{2}$
3. Determine o coeficiente angular da nova parede (perpendicular):
   $m_1 \cdot m_2 = -1$
   $-\frac{3}{2} \cdot m_2 = -1$
   $m_2 = \frac{2}{3}$
4. Use a fórmula ponto-angular para encontrar a equação da nova parede:
   $y - y_0 = m(x - x_0)$
   $y - 3 = \frac{2}{3}(x - 2)$
   $y - 3 = \frac{2x - 4}{3}$
   $3(y - 3) = 2x - 4$
   $3y - 9 = 2x - 4$
   $3y - 2x = 9 - 4$
   $-2x + 3y - 5 = 0$
   $2x - 3y + 5 = 0$

Reflexão de Sobrevivência: Construir estruturas com paredes perpendiculares aumenta significativamente a estabilidade do seu abrigo, maximizando o uso do espaço e a resistência contra forças externas. Num ambiente onde cada centímetro quadrado de espaço protegido é valioso, saber aplicar princípios de perpendicularidade é essencial para expandir eficientemente seu refúgio contra as hostilidades da Zona Devastada.

1. Identifique o vetor diretor da rota conhecida:
   Na equação $\vec{r}(t) = (2,3) + t(4,2)$, o vetor diretor é $\vec{v} = (4,2)$
2. Uma reta paralela terá o mesmo vetor diretor. Para a nova rota que passa pelo ponto P(1,7), a equação paramétrica será:
   $\vec{s}(t) = (1,7) + t(4,2)$
3. Expandindo a equação paramétrica:
   $\vec{s}(t) = (1 + 4t, 7 + 2t)$
4. Convertendo para a forma cartesiana:
   $x = 1 + 4t$
   $y = 7 + 2t$
   Isolando $t$ da primeira equação: $t = \frac{x - 1}{4}$
   Substituindo na segunda: $y = 7 + 2(\frac{x - 1}{4})$
   $y = 7 + \frac{2x - 2}{4}$
   $y = 7 + \frac{x - 1}{2}$
   $y = 7 + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$
   $y = \frac{x}{2} + 6.5$
5. Convertendo para a forma geral:
   $y = \frac{x}{2} + \frac{13}{2}$
   $2y = x + 13$
   $x - 2y + 13 = 0$

Reflexão de Sobrevivência: Rotas paralelas permitem manter uma distância segura de áreas perigosas enquanto seguem a mesma direção geral. Esta estratégia é fundamental quando você sabe que uma determinada rota é viável mas contém riscos localizados. Ao aplicar o conceito de paralelismo, você mantém a eficiência da rota original enquanto se mantém longe de zonas de radiação, aumentando significativamente as chances de uma expedição bem-sucedida.

1. Identifique os coeficientes das retas:
   Reta $r: 2x - 5y + 10 = 0$ → $a_1 = 2$, $b_1 = -5$, $c_1 = 10$
   Reta $s: 3x + ky - 6 = 0$ → $a_2 = 3$, $b_2 = k$, $c_2 = -6$
2. Aplique a condição de perpendicularidade: $a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 = 0$
   $2 \cdot 3 + (-5) \cdot k = 0$
   $6 - 5k = 0$
   $5k = 6$
   $k = \frac{6}{5} = 1.2$
3. Agora, encontre o ponto de interseção resolvendo o sistema:
   $2x - 5y + 10 = 0$ ... Equação (1)
   $3x + \frac{6}{5}y - 6 = 0$ ... Equação (2)
4. Da equação (1), isole $x$:
   $2x = 5y - 10$
   $x = \frac{5y - 10}{2}$
5. Substitua na equação (2):
   $3(\frac{5y - 10}{2}) + \frac{6}{5}y - 6 = 0$
   $\frac{15y - 30}{2} + \frac{6}{5}y - 6 = 0$
   $\frac{15y - 30}{2} + \frac{6y}{5} - 6 = 0$
6. Multiplique tudo por 10 para eliminar frações:
   $\frac{150y - 300}{2} + 12y - 60 = 0$
   $75y - 150 + 12y - 60 = 0$
   $87y - 210 = 0$
   $87y = 210$
   $y = \frac{210}{87} = \frac{70}{29}$
7. Substitua o valor de $y$ na equação para $x$:
   $x = \frac{5y - 10}{2} = \frac{5 \cdot \frac{70}{29} - 10}{2}$
   $x = \frac{\frac{350}{29} - 10}{2}$
   $x = \frac{\frac{350 - 290}{29}}{2}$
   $x = \frac{\frac{60}{29}}{2} = \frac{30}{29}$

Reflexão de Sobrevivência: Quando duas rotas se cruzam em ângulo reto, o ponto de encontro oferece visibilidade máxima em todas as direções, tornando-o ideal para trocas de recursos entre grupos ou para estabelecer pontos de controle. Prever matematicamente esses pontos de cruzamento perpendicular permite planejar encontros com antecedência, reduzindo o tempo de exposição a ameaças ambientais e maximizando a eficiência das operações coordenadas.

1. Identifique os coeficientes da reta:
   $2x + 3y - 18 = 0$ → $a = 2$, $b = 3$, $c = -18$
2. Calcule a distância da torre T(4, 3) à estrada usando a fórmula:
   $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
   $d = \frac{|2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 - 18|}{\sqrt{2^2 + 3^2}}$
   $d = \frac{|8 + 9 - 18|}{\sqrt{4 + 9}}$
   $d = \frac{|17 - 18|}{\sqrt{13}}$
   $d = \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13}$
3. Para encontrar o ponto mais próximo, primeiro determine a equação da reta perpendicular que passa por T(4, 3):
   O coeficiente angular da estrada é $m_1 = -\frac{a}{b} = -\frac{2}{3}$
   O coeficiente angular da reta perpendicular é $m_2 = \frac{3}{2}$
   A equação da reta perpendicular que passa por T(4, 3) é:
   $y - 3 = \frac{3}{2}(x - 4)$
   $y - 3 = \frac{3x - 12}{2}$
   $2(y - 3) = 3x - 12$
   $2y - 6 = 3x - 12$
   $2y = 3x - 6$
   $3x - 2y - 6 = 0$
4. Para encontrar o ponto de interseção entre a estrada e a reta perpendicular, resolva o sistema:
   $2x + 3y - 18 = 0$ ... Equação (1)
   $3x - 2y - 6 = 0$ ... Equação (2)
5. Multiplique a equação (1) por 2 e a equação (2) por 3:
   $4x + 6y - 36 = 0$ ... Equação (3)
   $9x - 6y - 18 = 0$ ... Equação (4)
6. Some as equações (3) e (4):
   $4x + 6y - 36 + 9x - 6y - 18 = 0$
   $13x - 54 = 0$
   $13x = 54$
   $x = \frac{54}{13}$
7. Substitua o valor de $x$ na equação (2):
   $3 \cdot \frac{54}{13} - 2y - 6 = 0$
   $\frac{162}{13} - 2y - 6 = 0$
   $2y = \frac{162}{13} - 6$
   $2y = \frac{162 - 78}{13}$
   $2y = \frac{84}{13}$
   $y = \frac{42}{13}$

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer a distância exata entre uma torre de vigilância e uma estrada é crucial para determinar o raio efetivo de monitoramento e resposta. Em um mundo onde cada segundo conta, saber exatamente qual ponto da estrada está mais próximo da torre permite posicionar recursos defensivos de forma otimizada e calcular com precisão os tempos de resposta a ameaças. Esta aplicação matemática transforma um simples problema de distância em uma vantagem tática significativa.

1. Para que os vetores $\overrightarrow{PA}$ e $\overrightarrow{PB}$ sejam perpendiculares, seu produto escalar deve ser zero:
   $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$
2. Se P tem coordenadas (x, y), então:
   $\overrightarrow{PA} = (0-x, 0-y) = (-x, -y)$
   $\overrightarrow{PB} = (8-x, 0-y) = (8-x, -y)$
3. O produto escalar é:
   $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (-x)(8-x) + (-y)(-y) = -8x + x^2 + y^2 = 0$
   $x^2 + y^2 - 8x = 0$
   $x^2 - 8x + 16 + y^2 - 16 = 0$
   $(x - 4)^2 + y^2 = 16$
4. Esta é a equação de uma circunferência com centro em (4, 0) e raio 4.
5. Agora, verifiquemos se algum ponto dessa circunferência também satisfaz a perpendicularidade entre PA e PC:
   $\overrightarrow{PC} = (4-x, 6-y)$
   $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PC} = (-x)(4-x) + (-y)(6-y) = -4x + x^2 - 6y + y^2 = 0$
6. Um ponto que pertence à circunferência $(x - 4)^2 + y^2 = 16$ e também satisfaz $-4x + x^2 - 6y + y^2 = 0$ seria uma solução comum para ambas as equações.
7. Da primeira equação, podemos expressar $y^2 = 16 - (x - 4)^2 = 16 - x^2 + 8x - 16 = 8x - x^2$
8. Substituindo na segunda equação:
   $-4x + x^2 - 6y + (8x - x^2) = 0$
   $-4x + x^2 - 6y + 8x - x^2 = 0$
   $4x - 6y = 0$
   $y = \frac{4x}{6} = \frac{2x}{3}$
9. Substituindo de volta na equação da circunferência:
   $(x - 4)^2 + (\frac{2x}{3})^2 = 16$
   $(x - 4)^2 + \frac{4x^2}{9} = 16$
   $9(x - 4)^2 + 4x^2 = 144$
   $9(x^2 - 8x + 16) + 4x^2 = 144$
   $9x^2 - 72x + 144 + 4x^2 = 144$
   $13x^2 - 72x = 0$
   $x(13x - 72) = 0$
10. Portanto, $x = 0$ ou $x = \frac{72}{13}$
11. Se $x = 0$, então $y = 0$, o que nos dá o ponto A (que foi excluído).
12. Se $x = \frac{72}{13}$, então $y = \frac{2}{3} \cdot \frac{72}{13} = \frac{48}{13}$

Reflexão de Sobrevivência: A triangulação de sinais com requisitos de perpendicularidade garante máxima clareza na transmissão, minimizando interferências. Em um mundo onde a comunicação confiável pode significar vida ou morte, posicionar receptores em pontos matematicamente otimizados proporciona vantagem estratégica significativa. A aplicação de princípios geométricos avançados na localização precisa desses pontos demonstra como a matemática não é apenas uma ferramenta de sobrevivência, mas uma vantagem evolutiva na Zona Devastada.

1. Determine o vetor diretor da reta que passa por R(1, 5) e S(6, -2):
   $\vec{v} = (6-1, -2-5) = (5, -7)$
2. Agora, a tubulação secundária deve passar pelo ponto P(5, 7) e ser paralela à direção de $\vec{v}$. Sua equação paramétrica é:
   $\vec{r}(t) = (5, 7) + t(5, -7)$
   $\vec{r}(t) = (5 + 5t, 7 - 7t)$
3. Para encontrar a equação cartesiana, eliminamos o parâmetro t:
   $x = 5 + 5t$, então $t = \frac{x - 5}{5}$
   $y = 7 - 7t = 7 - 7(\frac{x - 5}{5}) = 7 - \frac{7(x - 5)}{5} = 7 - \frac{7x - 35}{5} = 7 - \frac{7x}{5} + 7 = 14 - \frac{7x}{5}$
4. Simplificando:
   $5y = 70 - 7x$
   $7x + 5y - 70 = 0$
5. Para encontrar o ponto Q (interseção da tubulação secundária com a principal), resolva o sistema:
   $2x - 3y + 12 = 0$ ... Equação (1)
   $7x + 5y - 70 = 0$ ... Equação (2)
6. Multiplique a equação (1) por 5:
   $10x - 15y + 60 = 0$ ... Equação (3)
7. Multiplique a equação (2) por 3:
   $21x + 15y - 210 = 0$ ... Equação (4)
8. Some as equações (3) e (4):
   $10x - 15y + 60 + 21x + 15y - 210 = 0$
   $31x - 150 = 0$
   $31x = 150$
   $x = \frac{150}{31}$
9. Substitua o valor de $x$ na equação (1):
   $2 \cdot \frac{150}{31} - 3y + 12 = 0$
   $\frac{300}{31} - 3y + 12 = 0$
   $3y = \frac{300}{31} + 12$
   $3y = \frac{300}{31} + \frac{372}{31}$
   $3y = \frac{672}{31}$
   $y = \frac{224}{31}$

Reflexão de Sobrevivência: Construir infraestrutura com princípios matemáticos otimiza recursos escassos e aumenta a eficiência do sistema. Ao projetar uma rede de distribuição que respeita relações de paralelismo e interseção, você não apenas economiza materiais valiosos, mas também garante melhor distribuição de pressão e fluxo. Em um mundo onde cada tubo e conexão representa um investimento significativo de recursos, o planejamento geométrico preciso transforma um projeto de sobrevivência básico em uma vantagem sustentável para toda a comunidade.

1. Primeiro, encontremos o ponto de interseção das duas primeiras cercas, resolvendo o sistema:
   $3x - 4y + 24 = 0$ ... Equação (1)
   $x + 2y - 14 = 0$ ... Equação (2)
2. Da equação (2), isolamos $x$:
   $x = 14 - 2y$
3. Substituímos na equação (1):
   $3(14 - 2y) - 4y + 24 = 0$
   $42 - 6y - 4y + 24 = 0$
   $66 - 10y = 0$
   $10y = 66$
   $y = 6.6$
4. Com $y = 6.6$, encontramos $x$:
   $x = 14 - 2 \cdot 6.6 = 14 - 13.2 = 0.8$
5. Portanto, o ponto de interseção é $(0.8, 6.6)$, ou na forma de fração, $(\frac{4}{5}, \frac{33}{5})$.
6. Agora, para encontrar uma reta perpendicular a ambas as cercas existentes, precisamos que seu vetor diretor seja perpendicular aos vetores diretores de ambas as cercas.
7. O vetor diretor da reta $r$ é $\vec{v_1} = (3, -4)$ (coeficientes de $x$ e $y$).
8. O vetor diretor da reta $s$ é $\vec{v_2} = (1, 2)$.
9. O vetor diretor da terceira cerca deve ser perpendicular a ambos, portanto é o produto vetorial de $\vec{v_1}$ e $\vec{v_2}$ (considerando os vetores no espaço 3D com componente $z = 0$):
   $\vec{v_3} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -4 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
   $\vec{v_3} = (0, 0, 3 \cdot 2 - (-4) \cdot 1) = (0, 0, 6 + 4) = (0, 0, 10)$
10. Como estamos trabalhando no plano, o vetor diretor da terceira cerca terá componentes $x$ e $y$ iguais a zero, o que significa que esta reta "perpendicular" a ambas no espaço 3D seria uma reta vertical no plano 2D. Isso é matematicamente impossível no plano euclidiano 2D.
11. A impossibilidade matemática nos mostra que não podemos ter uma reta perpendicular a duas retas que não são, elas próprias, perpendiculares entre si. No plano 2D, se uma reta é perpendicular a duas outras, estas duas devem ser paralelas.
12. Verificamos se as retas $r$ e $s$ são perpendiculares calculando o produto escalar de seus vetores diretores:
    $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 3 \cdot 1 + (-4) \cdot 2 = 3 - 8 = -5 \neq 0$
13. Como o produto escalar não é zero, as retas não são perpendiculares, mas também não são paralelas (pois já encontramos seu ponto de interseção).

Reflexão de Sobrevivência: Este problema revela uma limitação fundamental da geometria do plano: não é possível que uma reta seja perpendicular a duas outras retas não-paralelas simultaneamente. Na prática de sobrevivência, isso significa que teremos que fazer escolhas estratégicas quando projetamos sistemas de defesa - não podemos otimizar todas as variáveis simultaneamente. Reconhecer estas limitações matemáticas nos protege de desperdiçar recursos em projetos impossíveis e nos força a desenvolver soluções alternativas e adaptativas, uma habilidade essencial em um mundo com recursos limitados.

1. Primeiro, vamos determinar as equações das linhas BC, AC e AB:
   Linha BC: Passa por B(6, 3) e C(4, 7)
   Coeficiente angular: $m_{BC} = \frac{7-3}{4-6} = \frac{4}{-2} = -2$
   Equação: $y - 3 = -2(x - 6)$
   $y - 3 = -2x + 12$
   $y = -2x + 15$
   $2x + y - 15 = 0$
2. Linha AC: Passa por A(2, 1) e C(4, 7)
   Coeficiente angular: $m_{AC} = \frac{7-1}{4-2} = \frac{6}{2} = 3$
   Equação: $y - 1 = 3(x - 2)$
   $y - 1 = 3x - 6$
   $y = 3x - 5$
   $3x - y - 5 = 0$
3. Linha AB: Passa por A(2, 1) e B(6, 3)
   Coeficiente angular: $m_{AB} = \frac{3-1}{6-2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
   Equação: $y - 1 = \frac{1}{2}(x - 2)$
   $y - 1 = \frac{x - 2}{2}$
   $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = \frac{x}{2}$
   $2y - x = 0$
4. Agora, determinamos as rotas de ataque (perpendiculares às linhas originais):
   Rota da equipe A (perpendicular à BC):
   $m_{A} = \frac{1}{m_{BC}} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
   Equação: $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2)$
   $y - 1 = -\frac{x - 2}{2}$
   $y = 1 - \frac{x - 2}{2} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{2}{2} = 2 - \frac{x}{2}$
   $2y = 4 - x$
   $x + 2y - 4 = 0$
5. Rota da equipe B (perpendicular à AC):
   $m_{B} = \frac{1}{m_{AC}} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$
   Equação: $y - 3 = \frac{1}{3}(x - 6)$
   $y - 3 = \frac{x - 6}{3}$
   $y = 3 + \frac{x - 6}{3} = 3 + \frac{x}{3} - \frac{6}{3} = 3 + \frac{x}{3} - 2 = 1 + \frac{x}{3}$
   $3y = 3 + x$
   $3y - x - 3 = 0$
6. Rota da equipe C (perpendicular à AB):
   $m_{C} = \frac{1}{m_{AB}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
   Equação: $y - 7 = 2(x - 4)$
   $y - 7 = 2x - 8$
   $y = 2x - 8 + 7 = 2x - 1$
   $y - 2x + 1 = 0$
7. Agora, vamos verificar se alguma dessas rotas se cruzam, verificando pares de rotas:
   Rotas A e B:
   $x + 2y - 4 = 0$ ... Equação (1)
   $3y - x - 3 = 0$ ... Equação (2)
8. Somando as equações (1) e (2):
   $x + 2y - 4 + 3y - x - 3 = 0$
   $5y - 7 = 0$
   $5y = 7$
   $y = \frac{7}{5}$
9. Substituindo na equação (1):
   $x + 2 \cdot \frac{7}{5} - 4 = 0$
   $x + \frac{14}{5} - 4 = 0$
   $x = 4 - \frac{14}{5} = \frac{20 - 14}{5} = \frac{6}{5}$
10. Verificando se o ponto $(\frac{6}{5}, \frac{7}{5})$ também pertence à rota C:
    $\frac{7}{5} - 2 \cdot \frac{6}{5} + 1 = 0$
    $\frac{7}{5} - \frac{12}{5} + 1 = 0$
    $\frac{7 - 12 + 5}{5} = 0$
    $\frac{0}{5} = 0$ ✓

Reflexão de Sobrevivência: A convergência das três rotas de ataque em um único ponto representa uma propriedade notável que pode ser explorada estrategicamente. Este "ponto ortocêntrico" do ataque garantiria que todas as equipes cheguem simultaneamente, maximizando o elemento surpresa e a concentração de força. Em um mundo onde a coordenação precisa pode significar a diferença entre sucesso e fracasso, a aplicação de propriedades geométricas avançadas transforma uma simples manobra tática em uma operação matematicamente otimizada, aumentando exponencialmente as chances de sucesso em um ambiente hostil.

1. Primeiro, determinamos a equação da reta AC:
   A(0, 0) e C(8, 6)
   Coeficiente angular: $m_{AC} = \frac{6-0}{8-0} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
   Equação: $y = \frac{3x}{4}$
   Ou na forma geral: $3x - 4y = 0$
2. O canal principal FP é perpendicular à borda AC, então seu coeficiente angular é:
   $m_{FP} = -\frac{1}{m_{AC}} = -\frac{1}{\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}$
3. A equação do canal principal que passa por F(2, 4) é:
   $y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 2)$
   $y - 4 = -\frac{4x - 8}{3}$
   $3(y - 4) = -4x + 8$
   $3y - 12 = -4x + 8$
   $3y + 4x = 20$
   $4x + 3y - 20 = 0$
4. Para encontrar o ponto P (interseção de FP com AC), resolvemos o sistema:
   $3x - 4y = 0$ ... Equação (1)
   $4x + 3y - 20 = 0$ ... Equação (2)
5. Multiplicando a equação (1) por 3 e a equação (2) por 4:
   $9x - 12y = 0$ ... Equação (3)
   $16x + 12y - 80 = 0$ ... Equação (4)
6. Somando as equações (3) e (4):
   $9x - 12y + 16x + 12y - 80 = 0$
   $25x - 80 = 0$
   $25x = 80$
   $x = \frac{80}{25} = \frac{16}{5} = 3.2$
7. Substituindo na equação (1):
   $3 \cdot \frac{16}{5} - 4y = 0$
   $\frac{48}{5} - 4y = 0$
   $4y = \frac{48}{5}$
   $y = \frac{12}{5} = 2.4$
8. Portanto, $P = (3.2, 2.4)$.
9. Agora, determinamos as equações dos canais secundários perpendiculares a FP:
   $m_{FP} = -\frac{4}{3}$, então $m_{secundário} = \frac{3}{4}$
10. Equação do canal secundário que passa por P:
    $y - 2.4 = \frac{3}{4}(x - 3.2)$
    $y - 2.4 = \frac{3x - 9.6}{4}$
    $4(y - 2.4) = 3x - 9.6$
    $4y - 9.6 = 3x - 9.6$
    $4y = 3x$
    $4y - 3x = 0$
11. Para encontrar Q (interseção com AB), precisamos resolver:
    Equação de AB: $y = 0$ (eixo x)
    $4 \cdot 0 - 3x = 0$
    $-3x = 0$
    $x = 0$
    Portanto, $Q = (0, 0) = A$, o que não faz sentido geometricamente dado o contexto do problema.
12. Vamos verificar a interseção com a borda BC (correção do problema):
    Equação de BC: $x = 8$ (reta vertical)
    $4y - 3 \cdot 8 = 0$
    $4y - 24 = 0$
    $4y = 24$
    $y = 6$
    Portanto, $Q = (8, 6) = C$, o que também não parece correto dado o contexto.
13. Vamos verificar a interseção com as outras bordas:
    Borda AB tem equação $y = 0$:
    $4 \cdot 0 - 3x = 0$
    $-3x = 0$
    $x = 0$
    Portanto, Q = (0, 0) = A
14. Borda CD tem equação $y = 6$:
    $4 \cdot 6 - 3x = 0$
    $24 - 3x = 0$
    $3x = 24$
    $x = 8$
    Portanto, R = (8, 6) = C
15. Calculando o comprimento total:
    $|FP| = \sqrt{(3.2-2)^2 + (2.4-4)^2} = \sqrt{1.2^2 + (-1.6)^2} = \sqrt{1.44 + 2.56} = \sqrt{4} = 2$
    $|PQ| = \sqrt{(0-3.2)^2 + (0-2.4)^2} = \sqrt{3.2^2 + 2.4^2} = \sqrt{10.24 + 5.76} = \sqrt{16} = 4$
    $|PR| = \sqrt{(8-3.2)^2 + (6-2.4)^2} = \sqrt{4.8^2 + 3.6^2} = \sqrt{23.04 + 12.96} = \sqrt{36} = 6$
    Total: $|FP| + |PQ| + |PR| = 2 + 4 + 6 = 12$

Reflexão de Sobrevivência: A aplicação de princípios de paralelismo e perpendicularidade no projeto de sistemas de irrigação otimiza o uso de recursos enquanto maximiza a área coberta. Neste caso, o sistema forma um "T" perpendicular à diagonal principal do terreno, garantindo distribuição eficiente da água enquanto minimiza a quantidade de material necessário para a construção. Em um mundo onde cada recurso importa, a aplicação de princípios matemáticos para otimizar infraestrutura essencial não é apenas boa engenharia - é uma estratégia de sobrevivência que maximiza o retorno de cada esforço e recurso investido.