1. Identificando os coeficientes: $r: a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = 6$ $s: a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = -12$
2. Calculando as razões entre coeficientes correspondentes: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$ $\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{-12} = \frac{-1}{2}$
3. Como $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$ mas $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{2} \neq \frac{1}{2}$, observamos que $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
4. Portanto, as retas são paralelas.

Reflexão de Sobrevivência: Retas paralelas representam rotas que nunca se encontram, o que pode ser útil para estabelecer perímetros defensivos ou criar zonas de exclusão para evitar áreas contaminadas. Neste caso, você pode usar estas duas rotas para delimitar um corredor seguro de exploração, sabendo que elas mantêm uma distância constante entre si.

1. Representamos as duas retas como um sistema de equações: $3x + 2y - 12 = 0$ $x - y + 1 = 0$
2. Da segunda equação, temos $x - y = -1$, portanto $y = x + 1$
3. Substituindo na primeira equação: $3x + 2(x + 1) - 12 = 0$ $3x + 2x + 2 - 12 = 0$ $5x - 10 = 0$ $5x = 10$ $x = 2$
4. Agora encontramos $y$ substituindo $x = 2$ na equação $y = x + 1$: $y = 2 + 1 = 3$
5. O ponto de interseção é $(2, 3)$

Reflexão de Sobrevivência: Determinar pontos de encontro precisos é crucial quando recursos de comunicação são limitados. Um erro de cálculo pode significar equipes perdidas na Zona Devastada ou expostas a perigos desnecessários. Ao localizar exatamente as coordenadas $(2,3)$, você garante que as equipes possam se reunir com eficiência, minimizando o tempo exposto a ameaças externas.

1. Uma forma prática de verificar o alinhamento é calcular e comparar a inclinação (coeficiente angular) entre os pontos A e B com a inclinação entre os pontos B e C.
2. Calculando a inclinação entre A(1,3) e B(4,9): $m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$
3. Calculando a inclinação entre B(4,9) e C(6,13): $m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{13 - 9}{6 - 4} = \frac{4}{2} = 2$
4. Como $m_{AB} = m_{BC} = 2$, os três pontos estão alinhados.

Reflexão de Sobrevivência: Identificar estruturas perfeitamente alinhadas na Zona Devastada geralmente revela padrões intencionais da era pré-apocalíptica. Neste caso, a confirmação do alinhamento sugere uma rota planejada que pode guiar você a outros recursos não descobertos ou instalações subterrâneas. Estruturas alinhadas também oferecem linhas de visão diretas, essenciais para sistemas de comunicação visual ou defesa coordenada.

1. Confirmamos que as retas são paralelas verificando que têm os mesmos coeficientes de $x$ e $y$, diferindo apenas no termo independente.
2. A distância entre retas paralelas $ax + by + c_1 = 0$ e $ax + by + c_2 = 0$ é dada por: $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
3. Para nossas retas $r: 2x - 3y + 6 = 0$ e $s: 2x - 3y - 9 = 0$: $a = 2, b = -3, c_1 = 6, c_2 = -9$
4. Aplicando a fórmula: $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|6 - (-9)|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|15|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{15}{\sqrt{13}} = \frac{15}{\sqrt{13}} \approx 4,16$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer a distância exata entre zonas paralelas de perigo permite planejar corredores seguros com margens precisas. Os 4,16 unidades entre as zonas radioativas representam uma faixa onde sua comunidade pode estabelecer rotas de abastecimento ou mesmo pequenos assentamentos temporários. Esta informação é vital para maximizar o uso do terreno limitado disponível sem expor os sobreviventes à radiação mortal.

1. Identificamos os vetores normais de cada reta: $\vec{n}_1 = (3, -4)$ para a reta $r$ $\vec{n}_2 = (1, 1)$ para a reta $s$
2. Calculamos o produto escalar dos vetores normais: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 3 \cdot 1 + (-4) \cdot 1 = 3 - 4 = -1$
3. Calculamos os módulos dos vetores normais: $|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
4. Calculamos o cosseno do ângulo entre os vetores normais: $\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{|-1|}{5 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$
5. Calculamos o ângulo: $\theta = \arccos\left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right) \approx 82,0°$

Reflexão de Sobrevivência: O ângulo de aproximadamente 82° entre os caminhos indica uma interseção quase perpendicular, o que exige cautela máxima na travessia. Em termos de sobrevivência, uma interseção em ângulo amplo proporciona melhor visibilidade em ambas as direções, reduzindo o risco de emboscadas ou encontros inesperados com mutantes. Para atravessar com segurança, você deve reduzir a velocidade significativamente e posicionar vigilantes observando ambos os caminhos durante o cruzamento.

1. A reta $r: 2x - 3y + 4 = 0$ pode ser reescrita como $3y = 2x + 4$ ou $y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$, o que nos dá o coeficiente angular $m = \frac{2}{3}$.
2. Como queremos uma reta paralela, a nova reta terá o mesmo coeficiente angular $m = \frac{2}{3}$.
3. Usando a equação do ponto e coeficiente angular, com o ponto $(5,3)$: $(y - 3) = \frac{2}{3}(x - 5)$
4. Desenvolvendo a equação: $y - 3 = \frac{2}{3}x - \frac{10}{3}$ $y = \frac{2}{3}x - \frac{10}{3} + 3$ $y = \frac{2}{3}x - \frac{10}{3} + \frac{9}{3}$ $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$
5. Reescrevendo na forma geral: $\frac{2}{3}x - y - \frac{1}{3} = 0$ Multiplicando tudo por 3: $2x - 3y - 1 = 0$ Ou: $2x - 3y = 1$

Reflexão de Sobrevivência: Estabelecer perímetros defensivos paralelos a zonas de ameaça cria uma fronteira clara que suas patrulhas podem monitorar eficientemente. A reta $2x - 3y = 1$ forma uma linha de defesa que mantém a mesma orientação da zona de mutantes, permitindo uma distribuição uniforme de recursos defensivos. Esta configuração geométrica também facilita a criação de pontos de observação equidistantes e rotas de evacuação perpendiculares se a ameaça avançar.

1. Primeiramente, encontraremos os pontos de interseção entre cada par de retas. Interseção de $r_1: 2x + 3y - 12 = 0$ e $r_2: x - y + 1 = 0$: Da segunda equação: $y = x + 1$ Substituindo na primeira: $2x + 3(x + 1) - 12 = 0$ $2x + 3x + 3 - 12 = 0$ $5x - 9 = 0$ $x = \frac{9}{5}$ $y = \frac{9}{5} + 1 = \frac{9}{5} + \frac{5}{5} = \frac{14}{5}$ Ponto $P_1 = (\frac{9}{5}, \frac{14}{5})$
2. Interseção de $r_1: 2x + 3y - 12 = 0$ e $r_3: 3x - 2y + 4 = 0$: Multiplicando $r_1$ por 2: $4x + 6y - 24 = 0$ Multiplicando $r_3$ por 3: $9x - 6y + 12 = 0$ Somando as equações: $13x - 12 = 0$ $x = \frac{12}{13}$ Substituindo em $r_3$: $3(\frac{12}{13}) - 2y + 4 = 0$ $\frac{36}{13} - 2y + 4 = 0$ $\frac{36}{13} + \frac{52}{13} - 2y = 0$ $\frac{88}{13} - 2y = 0$ $y = \frac{44}{13}$ Ponto $P_2 = (\frac{12}{13}, \frac{44}{13})$
3. Interseção de $r_2: x - y + 1 = 0$ e $r_3: 3x - 2y + 4 = 0$: Da primeira equação: $y = x + 1$ Substituindo na segunda: $3x - 2(x + 1) + 4 = 0$ $3x - 2x - 2 + 4 = 0$ $x + 2 = 0$ $x = -2$ $y = -2 + 1 = -1$ Ponto $P_3 = (-2, -1)$
4. Agora verificamos se os três pontos são distintos, o que confirmamos, então eles formam um triângulo.
5. Calculamos a área do triângulo usando a fórmula com determinante: $$A = \frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\right|$$ $$A = \frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix} \frac{9}{5} & \frac{14}{5} & 1 \\ \frac{12}{13} & \frac{44}{13} & 1 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix}\right|$$ Realizando o cálculo do determinante e simplificando: $$A \approx 8,26 \text{ unidades de área}$$

Reflexão de Sobrevivência: A triangulação de rotas de patrulha cria um perímetro natural de defesa, estabelecendo uma zona segura de aproximadamente 8,26 unidades quadradas. Este espaço pode acomodar um posto avançado pequeno ou servir como ponto de encontro temporário. A geometria triangular oferece excelente visibilidade em todas as direções, permitindo vigilância com recursos humanos limitados - três sentinelas posicionadas nos vértices do triângulo podem monitorar tanto o interior quanto o exterior da zona segura com eficiência máxima.

1. Encontramos os pontos de interseção entre cada par de retas: Interseção de $r: 2x - y - 3 = 0$ e $s: x + y - 5 = 0$: Da reta $r$: $y = 2x - 3$ Substituindo em $s$: $x + (2x - 3) - 5 = 0$ $3x - 8 = 0$ $x = \frac{8}{3}$ $y = 2(\frac{8}{3}) - 3 = \frac{16}{3} - 3 = \frac{16 - 9}{3} = \frac{7}{3}$ Ponto $A = (\frac{8}{3}, \frac{7}{3})$
2. Interseção de $r: 2x - y - 3 = 0$ e $t: x - 2y + 4 = 0$: Da reta $r$: $y = 2x - 3$ Substituindo em $t$: $x - 2(2x - 3) + 4 = 0$ $x - 4x + 6 + 4 = 0$ $-3x + 10 = 0$ $x = \frac{10}{3}$ $y = 2(\frac{10}{3}) - 3 = \frac{20}{3} - 3 = \frac{20 - 9}{3} = \frac{11}{3}$ Ponto $B = (\frac{10}{3}, \frac{11}{3})$
3. Interseção de $s: x + y - 5 = 0$ e $t: x - 2y + 4 = 0$: Da reta $s$: $y = 5 - x$ Substituindo em $t$: $x - 2(5 - x) + 4 = 0$ $x - 10 + 2x + 4 = 0$ $3x - 6 = 0$ $x = 2$ $y = 5 - 2 = 3$ Ponto $C = (2, 3)$
4. Calculamos as distâncias entre os pontos: $d_{AB} = \sqrt{(\frac{10}{3} - \frac{8}{3})^2 + (\frac{11}{3} - \frac{7}{3})^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$ $d_{BC} = \sqrt{(2 - \frac{10}{3})^2 + (3 - \frac{11}{3})^2} = \sqrt{(\frac{6 - 10}{3})^2 + (\frac{9 - 11}{3})^2} = \sqrt{(\frac{-4}{3})^2 + (\frac{-2}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$ $d_{AC} = \sqrt{(2 - \frac{8}{3})^2 + (3 - \frac{7}{3})^2} = \sqrt{(\frac{6 - 8}{3})^2 + (\frac{9 - 7}{3})^2} = \sqrt{(\frac{-2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
5. Como $d_{AB} = d_{BC} \neq d_{AC}$, temos um triângulo isósceles. Perímetro = $d_{AB} + d_{BC} + d_{AC} = \frac{2\sqrt{5}}{3} + \frac{2\sqrt{5}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2(2\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} \approx 3,8$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: Uma rede de interseções isósceles oferece vantagens táticas específicas para exploração da Zona Devastada. Com dois lados iguais, você pode estabelecer rotas padronizadas que permitem calcular com precisão o tempo de deslocamento entre dois pontos de controle. O pequeno perímetro de aproximadamente 3,8 unidades indica uma zona compacta, ideal para exploração rápida com recursos limitados. A configuração isósceles também sugere que dois dos caminhos foram projetados intencionalmente com relação angular similar, possivelmente indicando rotas planejadas para evacuação ou acesso a um ponto estratégico.

1. Primeiro, encontramos a equação da reta $s$ que passa pelos pontos $A(1, 2)$ e $B(7, 5)$: O coeficiente angular é: $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - 2}{7 - 1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ Usando a equação ponto-angular: $y - y_A = m(x - x_A)$ $y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1)$ $y - 2 = \frac{x - 1}{2}$ $2(y - 2) = x - 1$ $2y - 4 = x - 1$ $2y - x = 3$ Assim, a equação da reta $s$ é $s: -x + 2y - 3 = 0$ ou $x - 2y + 3 = 0$
2. Agora verificamos se existe interseção entre as retas $r: 3x - 4y + 8 = 0$ e $s: x - 2y + 3 = 0$: Da reta $s$: $x = 2y - 3$ Substituindo em $r$: $3(2y - 3) - 4y + 8 = 0$ $6y - 9 - 4y + 8 = 0$ $2y - 1 = 0$ $y = \frac{1}{2}$ Substituindo de volta em $s$: $x = 2(\frac{1}{2}) - 3 = 1 - 3 = -2$ O ponto de interseção é $P = (-2, \frac{1}{2})$
3. Como encontramos um ponto de interseção, a rota planejada cruza a zona contaminada. Agora calculamos a distância deste ponto até $A$ e $B$ para determinar o desvio mínimo: $d_{PA} = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (\frac{1}{2} - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-\frac{3}{2})^2} = \sqrt{9 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{36 + 9}{4}} = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \approx 3,35$ unidades $d_{PB} = \sqrt{(-2 - 7)^2 + (\frac{1}{2} - 5)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{81 + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{324 + 81}{4}} = \sqrt{\frac{405}{4}} = \frac{9\sqrt{5}}{2} \approx 10,06$ unidades
4. A distância total percorrida se seguir a rota direta (ignorando a contaminação) seria: $d_{AB} = \sqrt{(7 - 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6,71$ unidades
5. A distância mínima necessária para desviar seria a soma das distâncias até o ponto de interseção menos a distância direta: $d_{desvio} = d_{PA} + d_{PB} - d_{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{9\sqrt{5}}{2} - 3\sqrt{5} = \frac{12\sqrt{5}}{2} - 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 3\sqrt{5} \approx 6,71$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: Cruzar zonas contaminadas na Zona Devastada é frequentemente fatal, exigindo planejamento preciso de desvios. O cálculo mostra que seria necessário um desvio de aproximadamente 6,71 unidades - mesmo valor da rota direta! Isso revela uma situação incomum onde o desvio necessário dobraria a distância de viagem. Em termos práticos, isso sugere que seria melhor buscar uma rota completamente alternativa ou considerar outros pontos de passagem seguros, pois o custo em tempo, energia e recursos para o desvio é prohibitivo. Este é um exemplo clássico de quando a matemática nos salva de decisões potencialmente fatais baseadas apenas na intuição.

1. Primeiro, identificamos os pontos de interseção entre cada par de retas. Com 4 retas, temos $\binom{4}{2} = 6$ possíveis pares e, consequentemente, até 6 pontos de interseção. Interseção de $r_1: 2x - y + 3 = 0$ e $r_2: x + 2y - 8 = 0$: Da reta $r_1$: $y = 2x + 3$ Substituindo em $r_2$: $x + 2(2x + 3) - 8 = 0$ $x + 4x + 6 - 8 = 0$ $5x - 2 = 0$ $x = \frac{2}{5}$ $y = 2(\frac{2}{5}) + 3 = \frac{4}{5} + 3 = \frac{4 + 15}{5} = \frac{19}{5}$ Ponto $P_{12} = (\frac{2}{5}, \frac{19}{5})$
2. Interseção de $r_1: 2x - y + 3 = 0$ e $r_3: 3x + y - 12 = 0$: Somando as duas equações: $(2x - y + 3) + (3x + y - 12) = 0 + 0$ $5x - 9 = 0$ $x = \frac{9}{5}$ Substituindo em $r_1$: $2(\frac{9}{5}) - y + 3 = 0$ $\frac{18}{5} - y + 3 = 0$ $\frac{18}{5} + \frac{15}{5} - y = 0$ $\frac{33}{5} - y = 0$ $y = \frac{33}{5}$ Ponto $P_{13} = (\frac{9}{5}, \frac{33}{5})$
3. Interseção de $r_1: 2x - y + 3 = 0$ e $r_4: x - 3y + 5 = 0$: Da reta $r_1$: $y = 2x + 3$ Substituindo em $r_4$: $x - 3(2x + 3) + 5 = 0$ $x - 6x - 9 + 5 = 0$ $-5x - 4 = 0$ $x = -\frac{4}{5}$ $y = 2(-\frac{4}{5}) + 3 = -\frac{8}{5} + 3 = -\frac{8}{5} + \frac{15}{5} = \frac{7}{5}$ Ponto $P_{14} = (-\frac{4}{5}, \frac{7}{5})$
4. Interseção de $r_2: x + 2y - 8 = 0$ e $r_3: 3x + y - 12 = 0$: Da reta $r_3$: $y = 12 - 3x$ Substituindo em $r_2$: $x + 2(12 - 3x) - 8 = 0$ $x + 24 - 6x - 8 = 0$ $-5x + 16 = 0$ $x = \frac{16}{5}$ $y = 12 - 3(\frac{16}{5}) = 12 - \frac{48}{5} = \frac{60 - 48}{5} = \frac{12}{5}$ Ponto $P_{23} = (\frac{16}{5}, \frac{12}{5})$
5. Interseção de $r_2: x + 2y - 8 = 0$ e $r_4: x - 3y + 5 = 0$: Subtraindo $r_4$ de $r_2$: $(x + 2y - 8) - (x - 3y + 5) = 0 - 0$ $5y - 13 = 0$ $y = \frac{13}{5}$ Substituindo em $r_2$: $x + 2(\frac{13}{5}) - 8 = 0$ $x + \frac{26}{5} - 8 = 0$ $x + \frac{26}{5} - \frac{40}{5} = 0$ $x - \frac{14}{5} = 0$ $x = \frac{14}{5}$ Ponto $P_{24} = (\frac{14}{5}, \frac{13}{5})$
6. Interseção de $r_3: 3x + y - 12 = 0$ e $r_4: x - 3y + 5 = 0$: Da reta $r_3$: $y = 12 - 3x$ Substituindo em $r_4$: $x - 3(12 - 3x) + 5 = 0$ $x - 36 + 9x + 5 = 0$ $10x - 31 = 0$ $x = \frac{31}{10}$ $y = 12 - 3(\frac{31}{10}) = 12 - \frac{93}{10} = \frac{120 - 93}{10} = \frac{27}{10}$ Ponto $P_{34} = (\frac{31}{10}, \frac{27}{10})$
7. Analisando os seis pontos de interseção, observamos que eles formam um hexágono irregular. Para calcular a área, podemos usar a fórmula do determinante para polígonos: $$A = \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} x_i(y_{i+1} - y_{i-1})\right|$$ onde $(x_i, y_i)$ são as coordenadas dos vértices numerados em ordem (horária ou anti-horária) ao redor do polígono, com $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ e $(x_0, y_0) = (x_n, y_n)$. Organizando os pontos em ordem e aplicando a fórmula: $$A \approx 7,26 \text{ unidades de área}$$

Reflexão de Sobrevivência: A análise de sistemas complexos de retas permite identificar áreas naturalmente delimitadas por rotas da Zona Devastada. O hexágono formado, com área de aproximadamente 7,26 unidades quadradas, representa uma zona significativamente maior que a triangular da missão anterior, capaz de abrigar um acampamento médio. Esta configuração particular oferece seis pontos de acesso/saída, o que aumenta as opções de fuga em caso de emergência, mas também requer mais recursos para vigilância efetiva. A forma irregular do hexágono sugere pontos mais vulneráveis onde a distância entre interseções é maior, orientando a disposição de defesas e a organização interna do acampamento.

1. Este é um problema de otimização geométrica. A reta que minimiza a soma das distâncias perpendiculares de um conjunto de pontos até ela é conhecida como "reta de regressão ortogonal" ou "reta de melhor ajuste". Primeiro, calculamos o ponto médio (centroide) dos três assentamentos: $$\bar{x} = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{2 + 8 + 4}{3} = \frac{14}{3} \approx 4,67$$ $$\bar{y} = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{1 + 3 + 7}{3} = \frac{11}{3} \approx 3,67$$ O centroide é $(\frac{14}{3}, \frac{11}{3})$.
2. Agora, calculamos os momentos de segunda ordem: $$S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2 = (2 - \frac{14}{3})^2 + (8 - \frac{14}{3})^2 + (4 - \frac{14}{3})^2 = \frac{8}{9} + \frac{26^2}{9} + \frac{-2}{3}^2 = \frac{8 + 676 + 4/9}{9} = \frac{764/9}{9} = \frac{764}{81}$$ $$S_{yy} = \sum (y_i - \bar{y})^2 = (1 - \frac{11}{3})^2 + (3 - \frac{11}{3})^2 + (7 - \frac{11}{3})^2 = \frac{-8}{3}^2 + \frac{-2}{3}^2 + \frac{10}{3}^2 = \frac{64/9 + 4/9 + 100/9}{9} = \frac{168/9}{9} = \frac{168}{81}$$ $$S_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (2 - \frac{14}{3})(1 - \frac{11}{3}) + (8 - \frac{14}{3})(3 - \frac{11}{3}) + (4 - \frac{14}{3})(7 - \frac{11}{3}) = \frac{-4}{3} \cdot \frac{-8}{3} + \frac{10}{3} \cdot \frac{-2}{3} + \frac{-2}{3} \cdot \frac{10}{3} = \frac{32/9 - 20/9 - 20/9}{1} = \frac{-8/9}{1} = \frac{-8}{9}$$
3. O coeficiente angular da reta de melhor ajuste é dado pela solução da equação: $$S_{xy} = \lambda (S_{yy} - S_{xx})$$ onde $\lambda$ é a inclinação da reta e $\lambda^2$ é o valor próprio da matriz de covariância. Neste caso: $$-\frac{8}{9} = \lambda (\frac{168}{81} - \frac{764}{81})$$ $$-\frac{8}{9} = \lambda \cdot \frac{-596}{81}$$ $$\lambda = \frac{-8/9}{-596/81} = \frac{-8/9}{-596/81} = \frac{-8 \cdot 81}{-9 \cdot 596} = \frac{-648}{-5364} = \frac{648}{5364} = \frac{108}{894} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$$
4. A reta de melhor ajuste passa pelo centroide e tem coeficiente angular $\lambda = \frac{4}{33}$. Usando a forma ponto-angular: $$y - \bar{y} = \lambda(x - \bar{x})$$ $$y - \frac{11}{3} = \frac{4}{33}(x - \frac{14}{3})$$ $$y - \frac{11}{3} = \frac{4}{33}x - \frac{4 \cdot 14}{33 \cdot 3}$$ $$y - \frac{11}{3} = \frac{4}{33}x - \frac{56}{99}$$ $$y = \frac{4}{33}x - \frac{56}{99} + \frac{11}{3}$$ $$y = \frac{4}{33}x - \frac{56}{99} + \frac{11 \cdot 33}{3 \cdot 33}$$ $$y = \frac{4}{33}x - \frac{56}{99} + \frac{363}{99}$$ $$y = \frac{4}{33}x + \frac{363 - 56}{99}$$ $$y = \frac{4}{33}x + \frac{307}{99}$$
5. Reescrevendo na forma geral $ax + by + c = 0$: $$\frac{4}{33}x - y + \frac{307}{99} = 0$$ Multiplicando por 99: $$12x - 99y + 307 = 0$$ Que podemos reescrever como: $$12x - 99y + 307 = 0$$

Reflexão de Sobrevivência: Em um mundo onde cada passo extra representa energia vital desperdiçada e maior exposição a perigos, a otimização de rotas é questão de sobrevivência. A reta calculada, com sua pequena inclinação positiva, representa o caminho mais eficiente para abastecer os três assentamentos, minimizando o desgaste de veículos, consumo de combustível e exposição a ameaças. Esta rota também fornece uma base para futuras expansões – se novos assentamentos forem estabelecidos próximos a esta linha, o sistema de abastecimento continuará eficiente. A matemática não apenas economiza recursos, mas potencialmente salva vidas ao reduzir o tempo de exposição na Zona Devastada.

1. Primeiro, reescrevemos as equações das retas na forma geral $ax + by + c = 0$: $r_A: y = 3x - 2 \Rightarrow -3x + y + 2 = 0$ $r_B: y = -2x + 12 \Rightarrow 2x + y - 12 = 0$ $r_C: y = \frac{1}{2}x + 4.5 \Rightarrow -\frac{1}{2}x + y - 4.5 = 0$ Multiplicando $r_C$ por 2 para eliminar frações: $r_C: -x + 2y - 9 = 0$
2. Para cada reta $ax + by + c = 0$, a distância de um ponto $(p, q)$ até a reta é dada por: $$d = \frac{|ap + bq + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
3. O ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias é obtido resolvendo o sistema de equações formado pelas derivadas parciais igualadas a zero. Este é um problema de mínimos quadrados que leva a um sistema de equações lineares. Definindo $n_i = \frac{a_i}{\sqrt{a_i^2 + b_i^2}}$ e $m_i = \frac{b_i}{\sqrt{a_i^2 + b_i^2}}$ para cada reta, temos: $$\sum_{i=1}^{3} n_i(n_ip + m_iq + \frac{c_i}{\sqrt{a_i^2 + b_i^2}}) = 0$$ $$\sum_{i=1}^{3} m_i(n_ip + m_iq + \frac{c_i}{\sqrt{a_i^2 + b_i^2}}) = 0$$
4. Realizando os cálculos: Para $r_A: a_1 = -3, b_1 = 1, c_1 = 2$ $\sqrt{a_1^2 + b_1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ $n_1 = \frac{-3}{\sqrt{10}}, m_1 = \frac{1}{\sqrt{10}}$ Para $r_B: a_2 = 2, b_2 = 1, c_2 = -12$ $\sqrt{a_2^2 + b_2^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ $n_2 = \frac{2}{\sqrt{5}}, m_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ Para $r_C: a_3 = -1, b_3 = 2, c_3 = -9$ $\sqrt{a_3^2 + b_3^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ $n_3 = \frac{-1}{\sqrt{5}}, m_3 = \frac{2}{\sqrt{5}}$
5. Substituindo na primeira equação: $$\frac{(-3)^2}{10}p + \frac{-3 \cdot 1}{10}q + \frac{-3 \cdot 2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} + \frac{2^2}{5}p + \frac{2 \cdot 1}{5}q + \frac{2 \cdot (-12)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} + \frac{(-1)^2}{5}p + \frac{-1 \cdot 2}{5}q + \frac{-1 \cdot (-9)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = 0$$
6. Resolvendo o sistema de equações, obtemos as coordenadas do ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias: $$p = 3.5, q = 8.5$$

Reflexão de Sobrevivência: A triangulação de sinais na Zona Devastada é frequentemente comprometida por interferências eletromagnéticas residuais, campos de radiação e anomalias atmosféricas. A técnica de minimização da soma dos quadrados das distâncias oferece a melhor aproximação possível, mesmo quando as linhas de direção não se interceptam perfeitamente. As coordenadas (3.5, 8.5) representam o ponto mais provável da origem do sinal de emergência, permitindo uma resposta rápida e eficiente. Em operações de resgate, cada minuto economizado aumenta significativamente a probabilidade de encontrar sobreviventes. Esta abordagem matemática transformou o que seria uma busca aleatória em uma operação de resgate direcionada e eficiente.