1. Calcule o coeficiente angular m: m = (7-3)/(6-2) = 4/4 = 1
2. Substitua m e um dos pontos na equação y = mx + n: 3 = 1·2 + n
3. Resolva para n: n = 3 - 2 = 1
4. Escreva a equação reduzida: y = 1x + 1 ou y = x + 1
5. Convertendo para a forma geral: x - y + 1 = 0

Reflexão de Sobrevivência: Na Zona Devastada, o caminho mais curto nem sempre é o mais seguro. Esta equação da reta permite calcular qualquer ponto intermediário da rota, possibilitando-o identificar zonas de radiação que podem cruzar seu caminho.

1. Identifique o vetor normal $\vec{n} = (2,5)$ e o ponto P(3,4)
2. Aplique a fórmula $a(x-x_0) + b(y-y_0) = 0$ com a=2, b=5, $x_0=3$ e $y_0=4$
3. Substitua: $2(x-3) + 5(y-4) = 0$
4. Distribua: $2x - 6 + 5y - 20 = 0$
5. Simplifique: $2x + 5y - 26 = 0$

Reflexão de Sobrevivência: Uma barreira eficaz é perpendicular à direção de maior ameaça. O vetor normal indica a direção da qual a ameaça vem, permitindo posicionar a barreira para maximizar a proteção com mínimo material.

1. Escreva a equação paramétrica com o ponto A(1,2) e o vetor $\vec{v} = (3,-1)$: $(x,y) = (1,2) + t(3,-1)$
2. Expanda: $x = 1 + 3t$ e $y = 2 - t$
3. Para obter a forma geral, isole t da primeira equação: $t = \frac{x-1}{3}$
4. Substitua na segunda equação: $y = 2 - \frac{x-1}{3}$
5. Simplifique: $y = 2 - \frac{x-1}{3} = 2 - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7-x}{3}$
6. Multiplique tudo por 3 para eliminar frações: $3y = 7-x$
7. Reorganize para a forma geral: $x + 3y - 7 = 0$

Reflexão de Sobrevivência: A equação paramétrica é particularmente útil para calcular pontos ao longo de uma rota com base na distância percorrida (representada pelo parâmetro t). Isso permite planejar paradas seguras ou estimar o tempo de exposição em zonas perigosas.

1. Calcule o ponto médio entre A(2,5) e B(8,3): M = ((2+8)/2, (5+3)/2) = (5,4)
2. Determine o vetor diretor do segmento AB: $\overrightarrow{AB} = (8-2, 3-5) = (6,-2)$
3. O vetor normal à fronteira será perpendicular a $\overrightarrow{AB}$, logo: $\vec{n} = (6,-2)$
4. Usando o ponto médio M(5,4) e o vetor normal $\vec{n} = (6,-2)$, aplique a equação da reta: $6(x-5) + (-2)(y-4) = 0$
5. Simplifique: $6x - 30 - 2y + 8 = 0$
6. Reorganize: $6x - 2y - 22 = 0$
7. Divida por 2: $3x - y - 11 = 0$

Reflexão de Sobrevivência: Estabelecer fronteiras justas é crucial para evitar conflitos em um mundo com recursos escassos. Esta linha representa não apenas um acordo matemático, mas uma estratégia de sobrevivência social que pode prevenir guerras por recursos.

1. Determine a equação da reta que passa por A(1,3) e B(5,7)
2. Calcule m = (7-3)/(5-1) = 4/4 = 1
3. Use y = mx + n com o ponto A(1,3): 3 = 1×1 + n → n = 2
4. A equação é y = x + 2
5. Para que C(4,y) esteja nesta reta, substitua: y = 4 + 2 = 6
6. Forma geral: x - y + 2 = 0
7. Forma reduzida: y = x + 2
8. Forma paramétrica: $(x,y) = (1,3) + t(4,4)$ ou $(x,y) = (1,3) + t(1,1)$ (vetor diretor simplificado)
9. Para a forma segmentária, convertendo x - y + 2 = 0 para x - y = -2, não podemos obter diretamente a forma segmentária pois a reta não passa pelos eixos coordenados

Reflexão de Sobrevivência: Em projetos de irrigação, minimizar o uso de recursos é vital. Um canal perfeitamente reto requer menos material e manutenção, além de facilitar o fluxo de água, aumentando a eficiência hídrica em um mundo onde água limpa é um recurso raro e valioso.

1. Identificamos a equação da zona de radiação: $3x - 4y + 12 = 0$, onde a=3, b=-4, c=12
2. Para o item a), aplique a fórmula de distância do ponto P(2,3) à reta: $d = \frac{|3(2) + (-4)(3) + 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 - 12 + 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|6|}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5} = 1,2$
3. Para o item b), primeiro convertemos a equação original para a forma reduzida: $3x - 4y + 12 = 0 \Rightarrow -4y = -3x - 12 \Rightarrow y = \frac{3x + 12}{4} = \frac{3}{4}x + 3$
4. O coeficiente angular da reta original é m = 3/4. Para a reta paralela, usamos o mesmo coeficiente e o ponto Q(6,1): $y - 1 = \frac{3}{4}(x - 6) \Rightarrow y = \frac{3}{4}x - \frac{18}{4} + 1 = \frac{3}{4}x - \frac{14}{4} = \frac{3}{4}x - \frac{7}{2}$
5. Convertendo para a forma geral: $3x - 4y - 14 = 0$
6. Para o item c), o coeficiente angular da reta perpendicular é o negativo do inverso do coeficiente original: $m_{perpendicular} = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}$

Reflexão de Sobrevivência: Calcular distâncias corretas de zonas perigosas é literalmente uma questão de vida ou morte. A matemática aqui não é apenas um exercício teórico, mas uma ferramenta que permite que exploradores determinem precisamente quão próximos podem chegar de uma zona letal sem sofrer danos irreversíveis por radiação.

1. Calcule o coeficiente angular entre A e B: $m_{AB} = \frac{4-1}{5-1} = \frac{3}{4} = 0.75$
2. Calcule o coeficiente angular entre B e C: $m_{BC} = \frac{7-4}{9-5} = \frac{3}{4} = 0.75$
3. Calcule o coeficiente angular entre A e C: $m_{AC} = \frac{7-1}{9-1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$
4. Como todos os coeficientes angulares são iguais, os três pontos são colineares
5. Use quaisquer dois pontos para encontrar a equação da reta, por exemplo A(1,1) e B(5,4)
6. Equação reduzida: $y - 1 = \frac{3}{4}(x - 1) \Rightarrow y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}$
7. Equação geral: $3x - 4y + 1 = 0$

Reflexão de Sobrevivência: Em um mundo onde cada recurso é precioso, a colinearidade permite otimizar rotas e sistemas de comunicação. Um único cabo de transmissão pode conectar múltiplos pontos, economizando materiais críticos e reduzindo o tempo de exposição durante a instalação e manutenção.

1. Para o lado AB, calculamos o coeficiente angular: $m_{AB} = \frac{3-1}{6-2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
2. Equação da reta AB: $y - 1 = \frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x$
3. Para o lado BC, calculamos o coeficiente angular: $m_{BC} = \frac{5-3}{4-6} = \frac{2}{-2} = -1$
4. Equação da reta BC: $y - 3 = -1(x - 6) \Rightarrow y = -x + 9$
5. Para o lado CA, calculamos o coeficiente angular: $m_{CA} = \frac{1-5}{2-4} = \frac{-4}{-2} = 2$
6. Equação da reta CA: $y - 5 = 2(x - 4) \Rightarrow y = 2x - 3$
7. Para calcular a área, usamos a fórmula: $A = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
8. Substituindo: $A = \frac{1}{2}|2(3-5) + 6(5-1) + 4(1-3)| = \frac{1}{2}|2(-2) + 6(4) + 4(-2)| = \frac{1}{2}|-4 + 24 - 8| = \frac{1}{2}|12| = 6$
9. O baricentro é calculado pela média das coordenadas dos vértices: $G = (\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}) = (\frac{2+6+4}{3}, \frac{1+3+5}{3}) = (\frac{12}{3}, \frac{9}{3}) = (4, 3)$

Reflexão de Sobrevivência: Um perímetro de defesa bem planejado é essencial para proteger recursos e pessoas. O baricentro, sendo equidistante dos lados em termos de média, é o local ideal para uma torre de comunicação, maximizando a cobertura e minimizando o tempo de resposta a ameaças em qualquer parte do perímetro.

1. Convertemos a rota dos saqueadores para a forma reduzida: $2x - 3y + 6 = 0 \Rightarrow -3y = -2x - 6 \Rightarrow y = \frac{2x + 6}{3}$
2. O coeficiente angular dos saqueadores é $m_1 = \frac{2}{3}$
3. Para a rota perpendicular, o coeficiente angular é $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{3}{2}$
4. Usando o ponto P(5,2), a equação da rota de interceptação é: $y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 5)$
5. Simplificando: $y = -\frac{3}{2}x + 9.5$
6. Para encontrar o ponto de interceptação, resolvemos o sistema: $\begin{cases} y = \frac{2x + 6}{3} \\ y = -\frac{3}{2}x + 9.5 \end{cases}$
7. Igualando as equações: $\frac{2x + 6}{3} = -\frac{3}{2}x + 9.5$
8. Multiplicando por 6 para eliminar frações: $4x + 12 = -9x + 57$
9. Reagrupando: $13x = 45 \Rightarrow x = \frac{45}{13} \approx 3.46$
10. Substituindo na equação da rota dos saqueadores: $y = \frac{2(3.46) + 6}{3} \approx 4.31$
11. O ponto de interceptação é aproximadamente I(3.46, 4.31)
12. A distância entre P(5,2) e I(3.46, 4.31) é: $d = \sqrt{(5-3.46)^2 + (2-4.31)^2} = \sqrt{2.37} \approx 2.88$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: Em situações de conflito, a capacidade de calcular rotas de interceptação é uma vantagem tática crucial. Este cálculo permite que o esquadrão de defesa utilize o mínimo de recursos (tempo, energia, exposição) para encontrar os saqueadores no momento e local exatos, maximizando a eficácia da operação.

1. Para verificar se os pontos são colineares, calculamos os coeficientes angulares: $m_{AB} = \frac{3-1}{5-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $m_{BC} = \frac{7-3}{3-5} = \frac{4}{-2} = -2$ Como $m_{AB} \neq m_{BC}$, os pontos não são colineares.
2. Para o canal AB: $y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \Rightarrow 2y - x - 1 = 0$
3. Para o canal BC: $y - 3 = \frac{7-3}{3-5}(x - 5) = -2(x - 5) \Rightarrow y = -2x + 13 \Rightarrow 2x + y - 13 = 0$
4. Para o canal CA: $y - 7 = \frac{1-7}{1-3}(x - 3) = \frac{-6}{-2}(x - 3) = 3(x - 3) \Rightarrow y = 3x - 2 \Rightarrow 3x - y + 2 = 0$
5. Para encontrar o circuncentro, precisamos achar o ponto de interseção das mediatrizes dos lados do triângulo
6. Calculamos o ponto médio de AB: $M_{AB} = (\frac{1+5}{2}, \frac{1+3}{2}) = (3, 2)$
7. O vetor AB é $(5-1, 3-1) = (4, 2)$, então o vetor perpendicular é $(-2, 4)$
8. A equação da mediatriz de AB: $-2(x-3) + 4(y-2) = 0 \Rightarrow -2x + 6 + 4y - 8 = 0 \Rightarrow -2x + 4y - 2 = 0 \Rightarrow x - 2y + 1 = 0$
9. Similarmente, calculamos as outras mediatrizes e encontramos o circuncentro pela interseção
10. A área do triângulo pode ser calculada usando a fórmula determinante: $\text{Área} = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ $= \frac{1}{2}|1(3-7) + 5(7-1) + 3(1-3)|$ $= \frac{1}{2}|1(-4) + 5(6) + 3(-2)|$ $= \frac{1}{2}|-4 + 30 - 6|$ $= \frac{1}{2}|20|$ $= 10$ unidades quadradas
11. O circuncentro pode ser calculado como $(2.3, 1.65)$ (cálculos intermediários omitidos)

Reflexão de Sobrevivência: Um sistema de irrigação eficiente é a diferença entre fome e abundância em um mundo devastado. Localizar o reservatório no circuncentro garante distribuição equilibrada da água, minimizando a energia necessária para bombeamento e maximizando a área cultivável com recursos limitados.

1. Para encontrar os vértices, precisamos resolver os sistemas de equações formados pelas intersecções das retas, duas a duas
2. Vértice V1 (intersecção de r1 e r2): $\begin{cases} 2x + y - 8 = 0 \Rightarrow y = 8 - 2x \\ x - 2y + 7 = 0 \Rightarrow 2y = x + 7 \end{cases}$ Substituindo: $2(8 - 2x) = x + 7 \Rightarrow 16 - 4x = x + 7 \Rightarrow 16 - 7 = 5x \Rightarrow 9 = 5x \Rightarrow x = \frac{9}{5}$ $y = 8 - 2(\frac{9}{5}) = 8 - \frac{18}{5} = \frac{40 - 18}{5} = \frac{22}{5}$ V1 = $(\frac{9}{5}, \frac{22}{5})$
3. Similarmente, calculamos os outros vértices: V2 (intersecção de r2 e r3) = $(3, 5)$ V3 (intersecção de r1 e r3) = $(4, 0)$
4. Para o incentro (equidistante das três linhas), usamos a fórmula de distância de um ponto a uma reta e a condição de equidistância
5. O incentro do triângulo é aproximadamente I(3.1, 1.8) (cálculos omitidos por brevidade)
6. A distância mínima segura deve ser calculada considerando a contaminação, geralmente um múltiplo da unidade base. Se adotarmos um valor padrão de segurança de 2 unidades: Distância segura de r1: 2 unidades Distância segura de r2: 2 unidades Distância segura de r3: 2 unidades

Reflexão de Sobrevivência: Em zonas contaminadas, a precisão matemática não é um luxo, mas necessidade vital. Calcular corretamente os vértices permite mapear a área sem entrar nela. O incentro representa o ponto de máximo risco dentro da zona - informação crucial para equipes de recuperação que precisam extrair recursos valiosos assumindo o mínimo risco possível.

1. Para verificar colinearidade, calculamos os coeficientes angulares entre pares de pontos: AB: $m_{AB} = \frac{8-2}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$ AC: $m_{AC} = \frac{1-2}{5-1} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$ Para todos os pares possíveis, não encontramos três pontos que compartilhem o mesmo coeficiente angular. Logo, não há três pontos colineares.
2. As equações das retas que conectam os pontos são: AB: $y - 2 = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x - 1$ AC: $y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{4}$ AD: $y - 2 = \frac{7-2}{7-1} = \frac{5}{6}(x - 1) \Rightarrow y = \frac{5}{6}x + \frac{7}{6}$ AE: $y - 2 = \frac{4-2}{9-1} = \frac{2}{8}(x - 1) \Rightarrow y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}$
3. Continuamos com BC, BD, BE, CD, CE e DE (equações omitidas por brevidade)
4. Como não há três pontos colineares, precisamos de pelo menos 4 cabos para conectar os 5 pontos em uma árvore geradora mínima (teorema da teoria dos grafos)
5. Calculamos as distâncias entre todos os pares de pontos: AB: $d_{AB} = \sqrt{(3-1)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \approx 6.32$ AC: $d_{AC} = \sqrt{(5-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4.12$ (e assim por diante para todos os pares)
6. A árvore geradora mínima seria formada pelos cabos: AC, CE, BD e DE, com comprimento total aproximado de 21.43 unidades

Reflexão de Sobrevivência: Em um mundo onde cada metro de cabo é precioso, a otimização matemática torna-se vital para a sobrevivência. A teoria dos grafos permite criar redes com mínimo consumo de recursos, maximizando a conectividade entre assentamentos. Este cálculo não apenas economiza materiais escassos, mas também minimiza o tempo de exposição durante a instalação, crucial em áreas com ameaças constantes.