1. Determinamos os vetores $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$: $\vec{AB} = (7,4) - (3,1) = (4,3)$ $\vec{AC} = (8,-3) - (3,1) = (5,-4)$
2. Calculamos o produto escalar: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 5 + 3 \cdot (-4) = 20 - 12 = 8$
3. Calculamos os módulos: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6,40$
4. Aplicamos a fórmula do cosseno: $\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{8}{5 \cdot 6,40} = \frac{8}{32} = 0,25$
5. Portanto, $\theta = \arccos(0,25) \approx 75,5°$

Reflexão de Sobrevivência: Um ângulo de aproximadamente 75,5° representa uma mudança significativa de direção. Em situações de fuga, mudanças bruscas de direção consomem mais energia e podem aumentar a exposição a ameaças. Neste caso, se o sobrevivente começar a se mover em direção ao abrigo B, mudar para o abrigo C exigiria uma reorientação considerável, potencialmente perigosa em áreas abertas da Zona Devastada.

1. Calculamos o produto escalar dos vetores: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 4 + 5 \cdot 3 = 8 + 15 = 23$
2. Calculamos os módulos dos vetores: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5,39$ $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
3. Aplicamos a fórmula do cosseno: $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{23}{5,39 \cdot 5} = \frac{23}{26,95} \approx 0,854$
4. Portanto: $\theta = \arccos(0,854) \approx 31,2°$

Reflexão de Sobrevivência: Um ângulo de 31,2° entre as rotas de patrulha indica uma cobertura relativamente estreita do perímetro. Em termos práticos de segurança, isso pode criar "pontos cegos" significativos. Para uma cobertura mais eficiente do perímetro de um bunker, ângulos próximos a 90° ou mesmo distribuições radiais de patrulheiros (com ângulos iguais) seriam mais eficazes para detectar ameaças aproximando-se de qualquer direção.

1. Calculamos o produto escalar: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot (-2) = 18 - 8 = 10$
2. Calculamos os módulos: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \approx 6,32$
3. Aplicamos a fórmula do cosseno: $\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{10}{5 \cdot 6,32} = \frac{10}{31,6} \approx 0,316$
4. Portanto: $\theta = \arccos(0,316) \approx 71,6°$

Reflexão de Sobrevivência: Um ângulo de 71,6° entre túneis subterrâneos é razoavelmente amplo, o que geralmente é favorável para a estabilidade estrutural. Ângulos muito agudos podem criar pontos de fraqueza nas interseções, aumentando o risco de colapsos. Em um cenário pós-apocalíptico, onde os recursos para fortificação são escassos e as consequências de um desabamento podem ser fatais, entender a geometria das estruturas subterrâneas é literalmente vital.

1. Determinamos os vetores $\vec{BA}$ e $\vec{BC}$: $\vec{BA} = (1,2) - (5,6) = (-4,-4)$ $\vec{BC} = (8,3) - (5,6) = (3,-3)$
2. Calculamos o produto escalar: $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-4) \cdot 3 + (-4) \cdot (-3) = -12 + 12 = 0$
3. Calculamos os módulos: $|\vec{BA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5,66$ $|\vec{BC}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4,24$
4. Como o produto escalar é zero, sabemos que os vetores são perpendiculares, portanto: $\theta = 90°$

Reflexão de Sobrevivência: Um ângulo de 90° (ângulo reto) na configuração de torres de comunicação cria um padrão de triangulação ideal para localização precisa. Em um mundo pós-apocalíptico, onde GPS e sistemas de navegação modernos estão comprometidos, a capacidade de triangular posições usando matemática vetorial pode ser a diferença entre encontrar recursos escassos ou vagar sem rumo pela Zona Devastada. Esta configuração específica de torres também maximiza a cobertura de sinal em relação à distância entre elas.

1. Temos $\vec{d_1} = (5,2)$, $|\vec{d_2}| = 4$ e o ângulo entre eles é $\theta = 60°$.
2. Calculamos $|\vec{d_1}| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5,39$
3. Seja $\vec{d_2} = (x,y)$. Aplicamos a fórmula do cosseno: $\cos(60°) = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}|} = \frac{5x + 2y}{5,39 \cdot 4}$
4. Sabemos que $\cos(60°) = 0,5$, então: $0,5 = \frac{5x + 2y}{21,56}$ $10,78 = 5x + 2y$
5. Também sabemos que $|\vec{d_2}| = 4$, então: $x^2 + y^2 = 16$
6. Da primeira equação: $y = \frac{10,78 - 5x}{2}$
7. Substituindo na segunda equação: $x^2 + \left(\frac{10,78 - 5x}{2}\right)^2 = 16$ $x^2 + \frac{(10,78 - 5x)^2}{4} = 16$ $4x^2 + (10,78 - 5x)^2 = 64$ $4x^2 + 116,21 - 107,8x + 25x^2 = 64$ $29x^2 - 107,8x + 52,21 = 0$
8. Resolvendo esta equação quadrática, e considerando que $x > 0$, obtemos $x \approx 3,46$
9. Substituindo: $y = \frac{10,78 - 5(3,46)}{2} = \frac{10,78 - 17,3}{2} \approx -3,26$
10. Portanto, $\vec{d_2} \approx (3,46, -3,26)$ ou aproximadamente $(3,5, -3,3)$

Reflexão de Sobrevivência: A capacidade de calcular com precisão uma nova trajetória que evite perigos é uma habilidade crítica na Zona Devastada. Para um drone de reconhecimento, desviar de áreas de alta radiação preserva não apenas o equipamento, mas também a missão de coleta de dados. O vetor calculado mostra que o drone deve se mover para o nordeste enquanto desce em altitude (se interpretarmos a coordenada y como altitude). Esta matemática vetorial torna-se literalmente a diferença entre recuperar recursos vitais ou perder equipamentos insubstituíveis.

1. Determinamos os vetores: $\vec{AD} = (4,3) - (2,1) = (2,2)$ $\vec{BD} = (4,3) - (5,7) = (-1,-4)$ $\vec{CD} = (4,3) - (8,2) = (-4,1)$
2. Calculamos os módulos: $|\vec{AD}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2,83$ $|\vec{BD}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4,12$ $|\vec{CD}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4,12$
3. Calculamos o ângulo entre $\vec{AD}$ e $\vec{BD}$: $\vec{AD} \cdot \vec{BD} = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (-4) = -2 - 8 = -10$ $\cos(\theta_{AB}) = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{BD}|} = \frac{-10}{2,83 \cdot 4,12} \approx -0,857$ $\theta_{AB} = \arccos(-0,857) \approx 149°$
4. Calculamos o ângulo entre $\vec{BD}$ e $\vec{CD}$: $\vec{BD} \cdot \vec{CD} = (-1) \cdot (-4) + (-4) \cdot 1 = 4 - 4 = 0$ Como o produto escalar é zero, $\theta_{BC} = 90°$
5. Calculamos o ângulo entre $\vec{CD}$ e $\vec{AD}$: $\vec{CD} \cdot \vec{AD} = (-4) \cdot 2 + 1 \cdot 2 = -8 + 2 = -6$ $\cos(\theta_{CA}) = \frac{\vec{CD} \cdot \vec{AD}}{|\vec{CD}| \cdot |\vec{AD}|} = \frac{-6}{4,12 \cdot 2,83} \approx -0,514$ $\theta_{CA} = \arccos(-0,514) \approx 121°$

Reflexão de Sobrevivência: Esta configuração de ângulos revela informações táticas críticas. O ângulo reto (90°) entre os vetores BD e CD significa que as sentinelas B e C têm linhas de tiro perpendiculares ao invasor, criando um fogo cruzado eficiente. Os ângulos obtusos (149° e 121°) indicam que as sentinelas estão bem distribuídas ao redor do invasor, maximizando a cobertura e minimizando o risco de fogo amigo. Em cenários defensivos pós-apocalípticos, onde cada munição é preciosa, esta otimização matemática de posicionamento aumenta significativamente as chances de sobrevivência do grupo.

1. Calculamos o módulo do vetor normal: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3,61$
2. Sabemos que o ângulo entre $\vec{n}$ e $\vec{s}$ é 20°, então: $\cos(20°) = \frac{\vec{n} \cdot \vec{s}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|} = \frac{2a + 3b}{3,61 \cdot 5} \approx \frac{2a + 3b}{18,05}$
3. Como $\cos(20°) \approx 0,9397$: $0,9397 = \frac{2a + 3b}{18,05}$ $2a + 3b = 18,05 \cdot 0,9397 \approx 16,96$
4. Também sabemos que $|\vec{s}| = 5$, então: $a^2 + b^2 = 25$
5. Isolando $b$ da primeira equação: $b = \frac{16,96 - 2a}{3} \approx \frac{17 - 2a}{3}$
6. Substituindo na segunda equação: $a^2 + \left(\frac{17 - 2a}{3}\right)^2 = 25$ $a^2 + \frac{(17 - 2a)^2}{9} = 25$ $9a^2 + (17 - 2a)^2 = 225$ $9a^2 + 289 - 68a + 4a^2 = 225$ $13a^2 - 68a + 64 = 0$
7. Resolvendo esta equação quadrática: $a = \frac{68 \pm \sqrt{68^2 - 4 \cdot 13 \cdot 64}}{2 \cdot 13} = \frac{68 \pm \sqrt{4624 - 3328}}{26} = \frac{68 \pm \sqrt{1296}}{26} = \frac{68 \pm 36}{26}$
8. Isso nos dá $a_1 = \frac{104}{26} = 4$ e $a_2 = \frac{32}{26} \approx 1,23$
9. Calculando os valores correspondentes de $b$: Para $a_1 = 4$: $b_1 = \frac{17 - 2(4)}{3} = \frac{17 - 8}{3} = \frac{9}{3} = 3$ Para $a_2 = 1,23$: $b_2 = \frac{17 - 2(1,23)}{3} \approx \frac{17 - 2,46}{3} \approx \frac{14,54}{3} \approx 4,85$
10. Portanto, as possíveis coordenadas de $\vec{s}$ são aproximadamente $(4,3)$ ou $(1,23, 4,85)$

Reflexão de Sobrevivência: A otimização da captação solar é crucial em um mundo onde recursos energéticos são escassos. Um ângulo de 20° em relação à perpendicular significa que o painel está operando a aproximadamente $\cos(20°) \approx 94\%$ de sua capacidade máxima. Conhecendo as possíveis direções dos raios solares, podemos ajustar o painel para atingir a perpendicular perfeita, recuperando os 6% de eficiência perdidos. Em um cenário de subsistência, esta diferença pode significar ter energia suficiente para purificar água contaminada ou manter sistemas de comunicação funcionando durante crises.

1. Temos $\vec{OA} = (5,2)$, então A tem coordenadas (5,2).
2. O vetor $\vec{AO} = (0,0) - (5,2) = (-5,-2)$
3. Seja B com coordenadas (x,y). Então $\vec{AB} = (x,y) - (5,2) = (x-5,y-2)$
4. Sabemos que $|\vec{AB}| = 4$, então: $(x-5)^2 + (y-2)^2 = 16$
5. Sabemos que $|\vec{BO}| = 6$, então: $x^2 + y^2 = 36$
6. O ângulo em A é 120°, então o ângulo entre $\vec{AO}$ e $\vec{AB}$ é 120°. Usando a fórmula do cosseno: $\cos(120°) = \frac{\vec{AO} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AO}| \cdot |\vec{AB}|} = \frac{(-5)(x-5) + (-2)(y-2)}{|\vec{AO}| \cdot 4}$
7. Calculamos $|\vec{AO}| = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5,39$
8. Como $\cos(120°) = -0,5$: $-0,5 = \frac{-5(x-5) - 2(y-2)}{5,39 \cdot 4} = \frac{-5x+25 - 2y+4}{21,56}$
9. Reorganizando: $-10,78 = -5x - 2y + 29$, o que implica $5x + 2y = 39,78$
10. Agora temos o sistema: $(x-5)^2 + (y-2)^2 = 16$ $x^2 + y^2 = 36$ $5x + 2y = 39,78$
11. Da terceira equação: $y = \frac{39,78 - 5x}{2}$
12. Substituindo na segunda equação: $x^2 + \left(\frac{39,78 - 5x}{2}\right)^2 = 36$ $x^2 + \frac{(39,78 - 5x)^2}{4} = 36$ $4x^2 + (39,78 - 5x)^2 = 144$ $4x^2 + 1582,45 - 397,8x + 25x^2 = 144$ $29x^2 - 397,8x + 1438,45 = 0$
13. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos aproximadamente $x_1 \approx 11,46$ e $x_2 \approx 4,32$
14. Calculamos os valores correspondentes de $y$: Para $x_1 = 11,46$: $y_1 = \frac{39,78 - 5(11,46)}{2} \approx \frac{39,78 - 57,3}{2} \approx -8,76$ Para $x_2 = 4,32$: $y_2 = \frac{39,78 - 5(4,32)}{2} \approx \frac{39,78 - 21,6}{2} \approx 9,09$
15. Verificamos os resultados nas equações originais: B pode ter coordenadas aproximadamente (11,5, -8,8) ou (4,3, 9,1)

Reflexão de Sobrevivência: Esta triangulação representa um percurso fechado que um sobrevivente poderia seguir para explorar território, coletar recursos ou estabelecer um perímetro defensivo. As duas soluções possíveis para o ponto B representam rotas distintas, cada uma com suas vantagens táticas. O primeiro caminho (com B₁) dirige-se para sudeste, enquanto o segundo (com B₂) segue para nordeste. A escolha entre essas rotas poderia depender da topografia do terreno, distribuição de recursos ou áreas de perigo na Zona Devastada. A matemática vetorial permite otimizar rotas em um mundo onde cada passo desperdiçado pode significar exposição desnecessária a perigos.

1. Temos o vetor inicial $\vec{v_0} = (1,0)$ e queremos rotacioná-lo por $\theta = \frac{2\pi}{3} = 120°$ no sentido anti-horário.
2. Aplicamos a fórmula de rotação de vetores: $\vec{v_\theta} = (x \cos(\theta) - y \sin(\theta), x \sin(\theta) + y \cos(\theta))$
3. Substituindo $\vec{v_0} = (1,0)$ e $\theta = \frac{2\pi}{3}$: $\vec{v_\theta} = (1 \cdot \cos(\frac{2\pi}{3}) - 0 \cdot \sin(\frac{2\pi}{3}), 1 \cdot \sin(\frac{2\pi}{3}) + 0 \cdot \cos(\frac{2\pi}{3}))$
4. Calculamos $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120°) = -0,5$ e $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$
5. Portanto: $\vec{v_\theta} = (-0,5, 0,866)$
6. Para confirmar o ângulo entre $\vec{v_0}$ e $\vec{v_\theta}$, usamos a fórmula do cosseno: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{v_0} \cdot \vec{v_\theta}}{|\vec{v_0}| \cdot |\vec{v_\theta}|} = \frac{1 \cdot (-0,5) + 0 \cdot 0,866}{1 \cdot 1} = -0,5$
7. Logo, $\alpha = \arccos(-0,5) = 120°$, o que confirma nossa rotação de $\frac{2\pi}{3}$ radianos.

Reflexão de Sobrevivência: Scanners rotativos são componentes vitais de sistemas de segurança improvisados na Zona Devastada. Compreender a matemática de sua operação permite posicionar sensores e armadilhas de forma otimizada. Um scanner que completou 2/3 de uma rotação (120°) cobre uma área significativa e pode ser programado para alertar apenas quando detecta movimento em setores específicos. Este tipo de cálculo vetorial permite aos sobreviventes maximizar a cobertura de segurança com recursos limitados, protegendo acampamentos e bunkers contra intrusos - humanos ou mutantes.

1. Temos $\vec{u} = (3,4)$, $\vec{v} = (5,-2)$, $|\vec{w}| = 6$ e $\vec{w} = (a,b)$.
2. Calculamos os módulos dos vetores dados: $|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ $|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5,39$
3. Como $\vec{w}$ forma ângulos iguais com $\vec{u}$ e $\vec{v}$, temos: $\cos(\theta_u) = \cos(\theta_v)$, onde $\theta_u$ é o ângulo entre $\vec{w}$ e $\vec{u}$, e $\theta_v$ é o ângulo entre $\vec{w}$ e $\vec{v}$.
4. Em termos de produtos escalares: $\frac{\vec{w} \cdot \vec{u}}{|\vec{w}| \cdot |\vec{u}|} = \frac{\vec{w} \cdot \vec{v}}{|\vec{w}| \cdot |\vec{v}|}$
5. Substituindo: $\frac{3a + 4b}{6 \cdot 5} = \frac{5a + (-2)b}{6 \cdot 5,39}$ $\frac{3a + 4b}{30} = \frac{5a - 2b}{32,34}$
6. Simplificando: $(3a + 4b) \cdot 32,34 = (5a - 2b) \cdot 30$ $97,02a + 129,36b = 150a - 60b$ $97,02a - 150a = -60b - 129,36b$ $-52,98a = -189,36b$ $a = \frac{189,36b}{52,98} \approx 3,57b$
7. Sabemos também que $|\vec{w}| = 6$, então: $a^2 + b^2 = 36$
8. Substituindo $a = 3,57b$: $(3,57b)^2 + b^2 = 36$ $12,74b^2 + b^2 = 36$ $13,74b^2 = 36$ $b^2 = \frac{36}{13,74} \approx 2,62$ $b = \pm\sqrt{2,62} \approx \pm 1,62$
9. Para $b \approx 1,62$, temos $a \approx 3,57 \cdot 1,62 \approx 5,78$ Para $b \approx -1,62$, temos $a \approx 3,57 \cdot (-1,62) \approx -5,78$
10. Verificando nas equações originais: $\vec{w}_1 \approx (5,78, 1,62)$ ou $\vec{w}_2 \approx (-5,78, -1,62)$
11. Calculamos o ângulo $\theta$ entre $\vec{w}_1$ e $\vec{u}$: $\cos(\theta) = \frac{\vec{w}_1 \cdot \vec{u}}{|\vec{w}_1| \cdot |\vec{u}|} = \frac{5,78 \cdot 3 + 1,62 \cdot 4}{6 \cdot 5} = \frac{17,34 + 6,48}{30} = \frac{23,82}{30} \approx 0,794$
12. Portanto, $\theta \approx \arccos(0,794) \approx 37,5°$

Reflexão de Sobrevivência: Esta configuração de patrulha representa uma estratégia de exploração balanceada, onde o terceiro patrulheiro mantém equidistância angular dos outros dois. Na prática, isto otimiza a cobertura em leque e mantém uma linha de comunicação mais equilibrada entre os membros da equipe. O vetor w₁ representa um patrulheiro que segue uma direção próxima ao nordeste, enquanto w₂ representa uma rota para sudoeste. Ambas mantêm o mesmo ângulo (aproximadamente 37,5°) em relação aos outros patrulheiros. Em expedições na Zona Devastada, esta formação maximiza a área varrida enquanto mantém contato visual entre os membros, aumentando a probabilidade de encontrar recursos e reduzindo o risco de emboscadas.

1. O drone parte de D(2,5) na direção de $\vec{v} = (3,1)$. Então sua trajetória pode ser descrita como D + t·$\vec{v}$ = (2,5) + t·(3,1) = (2+3t, 5+t) para algum t ≥ 0.
2. Seja P o ponto onde o drone lança o pacote. Então P = (2+3t, 5+t) para algum t.
3. O vetor $\vec{PA}$ representa a trajetória do pacote do ponto de lançamento até o acampamento: $\vec{PA} = (8,2) - (2+3t, 5+t) = (6-3t, -3-t)$
4. Sabemos que o ângulo entre $\vec{v}$ e $\vec{PA}$ é 60°, então: $\cos(60°) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{PA}}{|\vec{v}| \cdot |\vec{PA}|}$
5. Calculamos $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16$
6. O produto escalar: $\vec{v} \cdot \vec{PA} = 3 \cdot (6-3t) + 1 \cdot (-3-t) = 18 - 9t - 3 - t = 15 - 10t$
7. O módulo de $\vec{PA}$: $|\vec{PA}| = \sqrt{(6-3t)^2 + (-3-t)^2} = \sqrt{(6-3t)^2 + (3+t)^2} = \sqrt{36 - 36t + 9t^2 + 9 + 6t + t^2} = \sqrt{45 - 30t + 10t^2}$
8. Aplicando a fórmula do cosseno com $\cos(60°) = 0,5$: $0,5 = \frac{15 - 10t}{3,16 \cdot \sqrt{45 - 30t + 10t^2}}$
9. Elevando ambos os lados ao quadrado: $0,25 = \frac{(15 - 10t)^2}{10 \cdot (45 - 30t + 10t^2)} = \frac{225 - 300t + 100t^2}{10 \cdot (45 - 30t + 10t^2)} = \frac{22,5 - 30t + 10t^2}{45 - 30t + 10t^2}$
10. Simplificando: $0,25 \cdot (45 - 30t + 10t^2) = 22,5 - 30t + 10t^2$ $11,25 - 7,5t + 2,5t^2 = 22,5 - 30t + 10t^2$ $11,25 - 7,5t + 2,5t^2 - 22,5 + 30t - 10t^2 = 0$ $-11,25 + 22,5t - 7,5t^2 = 0$
11. Resolvendo esta equação quadrática: $t = \frac{-22,5 \pm \sqrt{22,5^2 - 4 \cdot (-11,25) \cdot (-7,5)}}{2 \cdot (-7,5)} = \frac{-22,5 \pm \sqrt{506,25 - 337,5}}{-15} = \frac{-22,5 \pm \sqrt{168,75}}{-15} = \frac{-22,5 \pm 13}{-15}$
12. Isso nos dá $t_1 = \frac{-22,5 + 13}{-15} = \frac{-9,5}{-15} \approx 0,63$ e $t_2 = \frac{-22,5 - 13}{-15} = \frac{-35,5}{-15} \approx 2,37$
13. Como o drone parte de D, o valor de t deve ser positivo. Ambas soluções são válidas matematicamente, mas vamos verificar qual faz mais sentido no contexto. Para $t_1 = 0,63$, a posição de lançamento seria P(2+3·0,63, 5+0,63) ≈ P(3,9, 5,63) Para $t_2 = 2,37$, a posição de lançamento seria P(2+3·2,37, 5+2,37) ≈ P(9,1, 7,37)
14. A segunda solução coloca o drone além do acampamento, então o pacote teria que voltar, o que não faz sentido fisicamente. Portanto, a posição de lançamento é aproximadamente P(3,9, 5,63).

Reflexão de Sobrevivência: A precisão em entregas aéreas é vital em um mundo fragmentado, onde comunidades isoladas dependem de suprimentos externos. O cálculo do ponto exato de lançamento, considerando a trajetória do drone e o ângulo de queda do pacote, maximiza a chance de entrega bem-sucedida e minimiza o desperdício de recursos preciosos. Em termos práticos, o drone deve liberar o pacote quando estiver apenas a uma curta distância do seu ponto de partida (aproximadamente 2 unidades), permitindo que o pacote siga uma trajetória descendente a 60° em relação à rota do drone. Este tipo de precisão matemática é a diferença entre entregar medicamentos vitais com sucesso ou vê-los perdidos em território hostil.

1. Seja S(x,y) a posição da fonte de radiação. Os vetores de direção dos detectores para a fonte são: $\vec{AS} = (x,y) - (0,0) = (x,y)$ $\vec{BS} = (x,y) - (5,0) = (x-5,y)$ $\vec{CS} = (x,y) - (2,4) = (x-2,y-4)$
2. Sabemos que $\vec{u}_A = \frac{\vec{AS}}{|\vec{AS}|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)$, então: $\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)$ $(x,y) = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{5}}(2,1) = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{5}}(2,1)$ $x = 2\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{5}}, y = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{5}}$ $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{5}}$
3. Isso implica que $\frac{x}{2} = \frac{y}{1}$, portanto $x = 2y$. A fonte está em algum ponto da semi-reta que parte de A na direção de $\vec{u}_A$.
4. Similarmente, com $\vec{u}_B = \frac{\vec{BS}}{|\vec{BS}|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2)$: $\frac{(x-5,y)}{\sqrt{(x-5)^2 + y^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2)$ Isso implica que $\frac{x-5}{-1} = \frac{y}{2}$, ou seja, $y = -2(x-5) = -2x+10$
5. Combinando as duas equações: $x = 2y$ e $y = -2x+10$ $x = 2(-2x+10) = -4x+20$ $5x = 20$ $x = 4$
6. Substituindo: $y = -2(4-5) = -2(-1) = 2$
7. Portanto, a fonte está no ponto S(4,2)
8. Para encontrar $\vec{u}_C$, calculamos: $\vec{CS} = (4,2) - (2,4) = (2,-2)$ $|\vec{CS}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2,83$ $\vec{u}_C = \frac{\vec{CS}}{|\vec{CS}|} = \frac{(2,-2)}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1) \approx (0,71, -0,71)$
9. Verificando os ângulos entre os vetores unitários: $\vec{u}_A \cdot \vec{u}_B = \frac{1}{\sqrt{5}}(2,1) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2) = \frac{1}{5}(-2 + 2) = 0$, então o ângulo entre $\vec{u}_A$ e $\vec{u}_B$ é 90° $\vec{u}_A \cdot \vec{u}_C = \frac{1}{\sqrt{5}}(2,1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1) = \frac{1}{\sqrt{10}}(2 - 1) = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0,316$, então o ângulo entre $\vec{u}_A$ e $\vec{u}_C$ é $\arccos(0,316) \approx 71,6°$ $\vec{u}_B \cdot \vec{u}_C = \frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1) = \frac{1}{\sqrt{10}}(-1 - 2) = -\frac{3}{\sqrt{10}} \approx -0,95$, então o ângulo entre $\vec{u}_B$ e $\vec{u}_C$ é $\arccos(-0,95) \approx 161,6°$
10. Confirmamos que os três ângulos (90°, 71,6° e 161,6°) são todos diferentes.

Reflexão de Sobrevivência: A triangulação é uma técnica vital na localização de fontes de radiação na Zona Devastada. Usando três detectores, conseguimos determinar com precisão a posição do ponto S(4,2) onde a radiação está concentrada. Os ângulos distintos entre os vetores de direção garantem que estamos identificando um único ponto, não uma região ambígua. Esta técnica permite aos sobreviventes mapearem "pontos quentes" sem precisar se aproximar fisicamente deles, minimizando a exposição à radiação enquanto exploram ruínas urbanas ou instalações industriais abandonadas. O mesmo princípio matemático pode ser aplicado para localizar fontes de sinais de rádio, depósitos subterrâneos ou até mesmo comunidades hostis à distância segura.