1. Identifique as coordenadas dos pontos: A(3, 4) e B(7, 1)
2. Aplique a fórmula da distância: $d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
3. Substitua os valores: $d(A,B) = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 4)^2}$
4. Calcule: $d(A,B) = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ quilômetros

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer a distância exata entre dois pontos permite calcular com precisão o combustível necessário para viagens, evitando o desperdício de recursos valiosos ou, pior ainda, ficar sem combustível em território hostil.

1. Calcule a distância entre A(0, 0) e B(6, 0): $d(A,B) = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{36} = 6$
2. Calcule a distância entre B(6, 0) e C(3, 4): $d(B,C) = \sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
3. Calcule a distância entre C(3, 4) e A(0, 0): $d(C,A) = \sqrt{(0 - 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
4. Some as três distâncias: $\text{Perímetro} = 6 + 5 + 5 = 16$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: O cálculo preciso de perímetros é essencial para otimizar o uso de recursos de defesa. Uma cerca muito curta deixaria brechas na segurança, enquanto uma cerca muito longa desperdiçaria material valioso que poderia ser usado em outras partes do assentamento.

1. Calcule a distância entre O(0, 0) e E(8, 15): $d(O,E) = \sqrt{(8 - 0)^2 + (15 - 0)^2}$
2. Simplifique: $d(O,E) = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ km
3. Compare com o alcance do rádio: $17 \text{ km} < 20 \text{ km}$
4. Como a distância é menor que o alcance máximo, o explorador conseguirá estabelecer comunicação

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer os limites de seus equipamentos de comunicação é vital para planejamento de expedições. Ficar fora de alcance pode significar não conseguir pedir ajuda em situações críticas. Sempre planeje rotas que mantenham pelo menos contato intermitente com a base.

1. Calcule a distância entre P(2, 4) e C(5, 7): $d(P,C) = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 4)^2}$
2. Simplifique: $d(P,C) = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4,24$ km
3. Compare com o raio da zona de radiação: $4,24 \text{ km} > 4 \text{ km}$
4. Como a distância é maior que o raio, o ponto P está fora da zona de radiação, portanto a rota é segura

Reflexão de Sobrevivência: Mapear e evitar zonas de radiação é crítico para a sobrevivência a longo prazo. A exposição à radiação causa danos cumulativos ao organismo, e mesmo pequenas incursões em zonas contaminadas podem ter consequências letais ao longo do tempo. Sempre mantenha uma margem de segurança ao planejar rotas próximas a áreas contaminadas.

1. Para o ponto A(0, 0), a circunferência tem equação: $x^2 + y^2 = 25$
2. Para o ponto B(10, 0), a circunferência tem equação: $(x - 10)^2 + y^2 = 36$
3. Para o ponto C(5, 8), a circunferência tem equação: $(x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 16$
4. Resolvendo o sistema de equações: Combinando as equações das duas primeiras circunferências, encontramos: $x^2 + y^2 = 25$ e $(x - 10)^2 + y^2 = 36$ $x^2 - 20x + 100 + y^2 = 36$ $x^2 + y^2 - 20x + 100 = 36$ $x^2 + y^2 = 25$ e $x^2 + y^2 - 20x + 64 = 0$ $25 - 20x + 64 = 0$ $-20x = -89$ $x = 4,45$ Substituindo na primeira equação: $4,45^2 + y^2 = 25$ $y^2 = 25 - 19,80 = 5,2$ $y = \pm 2,28$
5. Verificando os pontos $(4.45, 2.28)$ e $(4.45, -2.28)$ na equação da terceira circunferência, confirmamos que $(4.45, 2.28)$ é o ponto que satisfaz todas as condições

Reflexão de Sobrevivência: A triangulação é uma técnica essencial para localizar sobreviventes perdidos ou fontes de interferência. Em um mundo sem GPS, dominar técnicas de posicionamento baseadas em distâncias pode salvar vidas quando cada minuto conta durante uma operação de resgate.

1. Como uma aproximação para este problema complexo, calcularemos o baricentro do triângulo ABC.
2. O baricentro é calculado como a média das coordenadas: $P = (\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3})$
3. Substituindo os valores: $P = (\frac{1 + 7 + 9}{3}, \frac{2 + 8 + 4}{3}) = (\frac{17}{3}, \frac{14}{3}) \approx (5.67, 4.67)$
4. Para verificar a solução, calculamos a soma das distâncias: $d(A,P) = \sqrt{(5.67 - 1)^2 + (4.67 - 2)^2} \approx 5.42$ $d(B,P) = \sqrt{(5.67 - 7)^2 + (4.67 - 8)^2} \approx 3.73$ $d(C,P) = \sqrt{(5.67 - 9)^2 + (4.67 - 4)^2} \approx 3.35$ $\text{Soma total} = 5.42 + 3.73 + 3.35 = 12.5$

Reflexão de Sobrevivência: Minimizar a distância total percorrida por múltiplos grupos não só economiza energia e recursos, mas também reduz o tempo de exposição a perigos externos. Em operações de grupo, a eficiência logística frequentemente determina o sucesso ou fracasso da missão.

1. Calcule a distância entre M(3, 4) e A(0, 0): $d(M,A) = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
2. Calcule a distância entre M(3, 4) e B(8, 0): $d(M,B) = \sqrt{(3 - 8)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.40$
3. Calcule a distância entre M(3, 4) e C(8, 6): $d(M,C) = \sqrt{(3 - 8)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5.39$
4. Calcule a distância entre M(3, 4) e D(0, 6): $d(M,D) = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.61$
5. Compare as distâncias: 5, 6.40, 5.39 e 3.61. A menor é 3.61, correspondente ao sensor D.

Reflexão de Sobrevivência: Em sistemas de segurança distribuídos, identificar qual sensor está mais próximo de uma ameaça permite respostas mais rápidas e direcionadas. Isso economiza recursos e aumenta a eficácia da defesa, permitindo que você priorize ameaças e direcione recursos defensivos apenas para onde são realmente necessários.

1. Para calcular a área do triângulo, usaremos a fórmula da área baseada em coordenadas: $\text{Área} = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
2. Substituindo os valores: $\text{Área} = \frac{1}{2}|1(3 - 7) + 5(7 - 1) + 3(1 - 3)|$
3. Calculando: $\text{Área} = \frac{1}{2}|1(-4) + 5(6) + 3(-2)|$
4. Simplificando: $\text{Área} = \frac{1}{2}|-4 + 30 - 6| = \frac{1}{2}|20| = 10$ unidades quadradas

Reflexão de Sobrevivência: Calcular a área de terrenos cultiváveis permite estimar a produção de alimentos e planejar o sustento da comunidade. Em um cenário pós-apocalíptico, onde cada recurso alimentar é crucial, essa previsão pode ser a diferença entre abundância e escassez durante os períodos de entressafra.

1. Determinamos as coordenadas dos veículos em função do tempo: $A(t) = (2, 3) + t \cdot 5 \cdot \frac{(1, 2)}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = (2, 3) + t \cdot 5 \cdot \frac{(1, 2)}{\sqrt{5}} = (2, 3) + t \cdot \frac{5}{\sqrt{5}} \cdot (1, 2)$ $A(t) = (2, 3) + t \cdot (5/\sqrt{5}, 10/\sqrt{5}) \approx (2, 3) + t \cdot (2.24, 4.47)$
2. De forma similar: $B(t) = (8, 10) + t \cdot 4 \cdot \frac{(-2, -1)}{\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2}} = (8, 10) + t \cdot 4 \cdot \frac{(-2, -1)}{\sqrt{5}} = (8, 10) + t \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot (-2, -1)$ $B(t) = (8, 10) + t \cdot (-4\sqrt{5}/5, -2\sqrt{5}/5) \approx (8, 10) + t \cdot (-3.58, -1.79)$
3. A posição de A em função do tempo: $A(t) = (2 + 2.24t, 3 + 4.47t)$
4. A posição de B em função do tempo: $B(t) = (8 - 3.58t, 10 - 1.79t)$
5. O quadrado da distância entre A e B em função do tempo: $d^2(t) = [(8 - 3.58t) - (2 + 2.24t)]^2 + [(10 - 1.79t) - (3 + 4.47t)]^2$ $d^2(t) = [6 - 5.82t]^2 + [7 - 6.26t]^2$
6. Para encontrar o mínimo, derivamos e igualamos a zero: $\frac{d(d^2(t))}{dt} = 2[6 - 5.82t](-5.82) + 2[7 - 6.26t](-6.26) = 0$ $-11.64[6 - 5.82t] - 12.52[7 - 6.26t] = 0$ $-69.84 + 67.84t - 87.64 + 78.55t = 0$ $146.39t = 157.48$ $t \approx 1.08$ horas
7. As posições nesse momento: $A(1.08) \approx (2 + 2.24 \cdot 1.08, 3 + 4.47 \cdot 1.08) \approx (4.42, 7.83)$ $B(1.08) \approx (8 - 3.58 \cdot 1.08, 10 - 1.79 \cdot 1.08) \approx (4.13, 8.07)$
8. A distância mínima: $d_{min} = \sqrt{(4.42 - 4.13)^2 + (7.83 - 8.07)^2} = \sqrt{0.29^2 + (-0.24)^2} = \sqrt{0.084 + 0.058} = \sqrt{0.142} \approx 0.38$ km

Reflexão de Sobrevivência: Calcular distâncias mínimas entre objetos em movimento é essencial para planejar intercepções ou evitar colisões. Essa habilidade permite coordenar encontros entre equipes de exploradores ou prever quando e onde grupos hostis podem interceptar suas rotas de viagem.

1. Este é um problema de Árvore Geradora Mínima. Primeiro, calculamos todas as distâncias possíveis entre os assentamentos: $d(A,B) = \sqrt{(5-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4.12$ $d(A,C) = \sqrt{(8-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \approx 7.62$ $d(A,D) = \sqrt{(4-1)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5.83$ $d(A,E) = \sqrt{(2-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.12$ $d(B,C) = \sqrt{(8-5)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ $d(B,D) = \sqrt{(4-5)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \approx 6.08$ $d(B,E) = \sqrt{(2-5)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5.83$ $d(C,D) = \sqrt{(4-8)^2 + (7-5)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4.47$ $d(C,E) = \sqrt{(2-8)^2 + (6-5)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \approx 6.08$ $d(D,E) = \sqrt{(2-4)^2 + (6-7)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.24$
2. Usando o algoritmo de Kruskal, começamos com a menor aresta: D-E (2.24)
3. Próxima menor aresta: A-E (4.12) ou A-B (4.12), escolhemos A-E
4. Próxima menor aresta: A-B (4.12)
5. Próxima menor aresta: C-D (4.47)
6. As conexões são: D-E, A-E, A-B, C-D
7. O comprimento total do cabo: $2.24 + 4.12 + 4.12 + 4.47 = 14.95$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: A otimização de recursos escassos como cabos de comunicação é fundamental para a sustentabilidade de uma rede de assentamentos. Uma rede bem planejada não apenas economiza materiais valiosos, mas também facilita a coordenação entre comunidades dispersas, aumentando significativamente as chances de sobrevivência e reconstrução a longo prazo.

1. Para encontrar o fecho convexo (convex hull), usaremos o algoritmo do Embrulho de Presente (Gift Wrapping): Primeiro, encontramos o ponto mais à esquerda: (1, 1)
2. Partindo desse ponto, encontramos o ponto que forma o menor ângulo polar em relação ao eixo horizontal: (4, 0)
3. Continuando o processo, os pontos seguintes do fecho convexo são: (7, 1), (9, 3), (8, 6), (5, 6), (2, 4) e voltamos para (1, 1)
4. Assim, os vértices do polígono convexo são: (1, 1), (4, 0), (7, 1), (9, 3), (8, 6), (5, 6), (2, 4)
5. Calculando o perímetro: $d((1,1),(4,0)) = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3.16$ $d((4,0),(7,1)) = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3.16$ $d((7,1),(9,3)) = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83$ $d((9,3),(8,6)) = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.16$ $d((8,6),(5,6)) = 3$ $d((5,6),(2,4)) = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.61$ $d((2,4),(1,1)) = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.16$
6. O comprimento total da barreira: $3.16 + 3.16 + 2.83 + 3.16 + 3 + 3.61 + 3.16 = 22.08$ unidades

Reflexão de Sobrevivência: Determinar o menor perímetro que encapsula uma zona perigosa é essencial para minimizar o uso de materiais de contenção raros e difíceis de fabricar. Em um mundo onde cada recurso é valioso, a otimização geométrica pode significar a diferença entre conter múltiplas áreas de risco ou deixar algumas sem isolamento adequado, comprometendo a segurança de toda a região.

1. Para encontrar o circuncentro do triângulo ABC, precisamos encontrar o ponto equidistante dos três vértices. Este é o centro da circunferência que passa pelos três pontos.
2. Calculamos as coordenadas do circuncentro usando as equações: Sejam os pontos $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ e $C(x_C, y_C)$. $D = 2(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))$ $U_x = ((x_A^2 + y_A^2)(y_B - y_C) + (x_B^2 + y_B^2)(y_C - y_A) + (x_C^2 + y_C^2)(y_A - y_B)) / D$ $U_y = ((x_A^2 + y_A^2)(x_C - x_B) + (x_B^2 + y_B^2)(x_A - x_C) + (x_C^2 + y_C^2)(x_B - x_A)) / D$
3. Substituindo os valores: $D = 2(2(8 - 4) + 5(4 - 3) + 9(3 - 8)) = 2(8 + 5 - 45) = 2(-32) = -64$ $U_x = ((2^2 + 3^2)(8 - 4) + (5^2 + 8^2)(4 - 3) + (9^2 + 4^2)(3 - 8)) / (-64)$ $U_x = ((4 + 9)(4) + (25 + 64)(1) + (81 + 16)(-5)) / (-64)$ $U_x = (52 + 89 - 485) / (-64) = -344 / (-64) = 5.375$ $U_y = ((4 + 9)(9 - 5) + (25 + 64)(2 - 9) + (81 + 16)(5 - 2)) / (-64)$ $U_y = ((13)(4) + (89)(-7) + (97)(3)) / (-64)$ $U_y = (52 - 623 + 291) / (-64) = -280 / (-64) = 4.375$ O circuncentro está em $(5.375, 4.375)$
4. Verificamos qual dos abrigos D ou E está mais próximo deste ponto: $d(\text{circuncentro}, D) = \sqrt{(5.375 - 7)^2 + (4.375 - 1)^2} = \sqrt{2.625^2 + 3.375^2} = \sqrt{6.89 + 11.39} = \sqrt{18.28} \approx 4.28$ $d(\text{circuncentro}, E) = \sqrt{(5.375 - 4)^2 + (4.375 - 6)^2} = \sqrt{1.375^2 + (-1.625)^2} = \sqrt{1.89 + 2.64} = \sqrt{4.53} \approx 2.13$ O abrigo E está mais próximo do circuncentro.
5. Agora calculamos a distância do circuncentro exato aos três vértices do triângulo: $d(\text{circuncentro}, A) = \sqrt{(5.375 - 2)^2 + (4.375 - 3)^2} = \sqrt{3.375^2 + 1.375^2} = \sqrt{11.39 + 1.89} = \sqrt{13.28} \approx 3.64$ $d(\text{circuncentro}, B) = \sqrt{(5.375 - 5)^2 + (4.375 - 8)^2} = \sqrt{0.375^2 + (-3.625)^2} = \sqrt{0.14 + 13.14} = \sqrt{13.28} \approx 3.64$ $d(\text{circuncentro}, C) = \sqrt{(5.375 - 9)^2 + (4.375 - 4)^2} = \sqrt{(-3.625)^2 + 0.375^2} = \sqrt{13.14 + 0.14} = \sqrt{13.28} \approx 3.64$ Confirmamos que o ponto é equidistante dos três vértices, como seria esperado do circuncentro.

Reflexão de Sobrevivência: A capacidade de reconstruir informações a partir de dados fragmentados é inestimável em um mundo onde o conhecimento do passado foi em grande parte perdido. Neste caso, identificar propriedades geométricas especiais permitiu a recuperação de informações cruciais do mapa. Em expedições futuras, este conhecimento pode revelar padrões intencionais no posicionamento de abrigos e recursos, possivelmente indicando locais de interesse que não estão explicitamente marcados.