1. Identifique as coordenadas dos pontos dados: A(2, 3) e B(8, 5)
2. Aplique a fórmula do ponto médio: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$
3. Substitua os valores: $M = \left(\frac{2 + 8}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right)$
4. Simplifique: $M = \left(\frac{10}{2}, \frac{8}{2}\right) = (5, 4)$

Reflexão de Sobrevivência: Calcular pontos médios permite encontrar locais equidistantes que minimizam o tempo de exposição em ambientes hostis. Essa técnica é vital para planejar pontos de encontro que sejam igualmente acessíveis a diferentes grupos de sobreviventes.

1. Identifique as coordenadas dos três pontos: A(-2, 1), B(4, 7) e C(4, -5)
2. Aplique a fórmula do baricentro: $G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$
3. Substitua os valores: $G = \left(\frac{-2 + 4 + 4}{3}, \frac{1 + 7 + (-5)}{3}\right)$
4. Simplifique: $G = \left(\frac{6}{3}, \frac{3}{3}\right) = (2, 1)$

Reflexão de Sobrevivência: O baricentro oferece um ponto de equilíbrio ideal para monitorar áreas triangulares. Posicionar recursos neste local estratégico permite cobertura eficiente, minimizando a necessidade de múltiplos postos em um mundo onde cada recurso é precioso.

1. Calcule o ponto médio M entre D(3, -1) e E(7, 5): $M = \left(\frac{3 + 7}{2}, \frac{-1 + 5}{2}\right) = (5, 2)$
2. Agora, calcule a distância do ponto M(5, 2) até o ponto P(8, 0)
3. Use a fórmula da distância: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
4. Substitua os valores: $d = \sqrt{(8 - 5)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

Reflexão de Sobrevivência: Em tempos de escassez, a otimização de rotas é crucial. Conhecer o ponto médio entre locais importantes e calcular distâncias precisas permite planejar o uso de recursos limitados como combustível e tempo, aumentando as chances de sobrevivência durante deslocamentos perigosos.

1. Calcule o baricentro G do triângulo com vértices A(-3, 0), B(9, 0) e C(3, 12): $G = \left(\frac{-3 + 9 + 3}{3}, \frac{0 + 0 + 12}{3}\right) = (3, 4)$
2. O artefato está localizado em P(5, 4)
3. Calcule a distância entre G(3, 4) e P(5, 4): $d = \sqrt{(5 - 3)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{4 + 0} = 2$

Reflexão de Sobrevivência: O posicionamento estratégico de sistemas de comunicação em relação a outros recursos críticos pode determinar a velocidade de resposta em crises. A análise matemática precisa das distâncias entre pontos-chave é fundamental para o planejamento de defesa em um mundo hostil.

1. Calcule o baricentro G do triângulo: $G = \left(\frac{0 + 12 + 6}{3}, \frac{0 + 0 + 9}{3}\right) = (6, 3)$
2. Para cada vértice, calculamos os vetores diretores $\overrightarrow{GP}$, $\overrightarrow{GQ}$ e $\overrightarrow{GR}$:
   $\overrightarrow{GP} = (0 - 6, 0 - 3) = (-6, -3)$
   $\overrightarrow{GQ} = (12 - 6, 0 - 3) = (6, -3)$
   $\overrightarrow{GR} = (6 - 6, 9 - 3) = (0, 6)$
3. Normalizamos e escalamos cada vetor para determinar o deslocamento:
   $|\overrightarrow{GP}| = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$
   $|\overrightarrow{GQ}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$
   $|\overrightarrow{GR}| = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$
4. Os novos vértices são dados pelas expressões:
   $P' = P + 2 \cdot \frac{\overrightarrow{GP}}{|\overrightarrow{GP}|} = (0, 0) + 2 \cdot \frac{(-6, -3)}{3\sqrt{5}} = (0, 0) + \frac{2}{3\sqrt{5}} \cdot (-6, -3)$
   $Q' = Q + 2 \cdot \frac{\overrightarrow{GQ}}{|\overrightarrow{GQ}|} = (12, 0) + 2 \cdot \frac{(6, -3)}{3\sqrt{5}} = (12, 0) + \frac{2}{3\sqrt{5}} \cdot (6, -3)$
   $R' = R + 2 \cdot \frac{\overrightarrow{GR}}{|\overrightarrow{GR}|} = (6, 9) + 2 \cdot \frac{(0, 6)}{6} = (6, 9) + \frac{2}{6} \cdot (0, 6)$
5. Simplificando:
   $P' = (0, 0) + \frac{2}{3\sqrt{5}} \cdot (-6, -3) = (-\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}) \approx (-1.79, -0.89)$
   $Q' = (12, 0) + \frac{2}{3\sqrt{5}} \cdot (6, -3) = (12 + \frac{4}{\sqrt{5}}, 0 - \frac{2}{\sqrt{5}}) \approx (13.79, -0.89)$
   $R' = (6, 9) + \frac{1}{3} \cdot (0, 6) = (6, 9 + 2) = (6, 11)$

Reflexão de Sobrevivência: Expandir perímetros de segurança é uma tarefa crítica em zonas hostis. A capacidade de calcular coordenadas precisas para novas fronteiras, usando o baricentro como referência, permite o crescimento organizado dos assentamentos e otimiza a distribuição de recursos de defesa.

1. Calculamos o baricentro G do triângulo: $G = \left(\frac{2 + 10 + 6}{3}, \frac{1 + 1 + 8}{3}\right) = (6, \frac{10}{3}) \approx (6, 3.33)$
2. Para qualquer ponto P(x, y), a soma das distâncias ao quadrado é dada por:
   $S(x, y) = |PA|^2 + |PB|^2 + |PC|^2$
   $S(x, y) = (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (x - 10)^2 + (y - 1)^2 + (x - 6)^2 + (y - 8)^2$
3. Expandindo: $S(x, y) = 3x^2 - 36x + 144 + 3y^2 - 20y + 66$
4. Para encontrar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
   $\frac{\partial S}{\partial x} = 6x - 36 = 0 \implies x = 6$
   $\frac{\partial S}{\partial y} = 6y - 20 = 0 \implies y = \frac{10}{3}$
5. O ponto (6, \frac{10}{3}) é exatamente o baricentro G, provando que a soma das distâncias ao quadrado é mínima neste ponto.

Reflexão de Sobrevivência: O posicionamento otimizado de centros de recursos é crucial em tempos onde cada grama de combustível e cada minuto de exposição contam. O baricentro oferece a solução matemática ideal para minimizar o custo total de transporte em uma rede de comunidades, maximizando a eficiência e prolongando a sobrevivência.

1. Calcule o ponto médio M de A(0, 0) e B(8, 0): $M = \left(\frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (4, 0)$
2. Agora, calcule o ponto médio V entre M(4, 0) e C(4, 4): $V = \left(\frac{4 + 4}{2}, \frac{0 + 4}{2}\right) = (4, 2)$
3. Para calcular a quantidade total de tubulação, determine as distâncias de cada ponto até a válvula:
   $|AV| = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
   $|BV| = \sqrt{(4 - 8)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
   $|CV| = \sqrt{(4 - 4)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2$
4. A quantidade total de tubulação será: $|AV| + |BV| + |CV| = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 2 = 4\sqrt{5} + 2$

Reflexão de Sobrevivência: Em infraestrutura crítica como sistemas hídricos, a aplicação iterativa do conceito de ponto médio permite criar nós de distribuição que minimizam o uso de materiais escassos. Esta otimização não é apenas questão de economia, mas de viabilidade em um mundo onde cada recurso salvo pode significar mais vidas preservadas.

1. Primeiro, calculamos o baricentro G: $G = \left(\frac{1 + 7 + 4}{3}, \frac{1 + 1 + 5\sqrt{3}}{3}\right) = (4, \frac{2 + 5\sqrt{3}}{3})$
2. Para a contribuição energética, definimos uma função: $E(x, y) = \frac{1}{|XA|^2} + \frac{1}{|XB|^2} + \frac{1}{|XC|^2}$
3. Expandindo: $E(x, y) = \frac{1}{(x-1)^2 + (y-1)^2} + \frac{1}{(x-7)^2 + (y-1)^2} + \frac{1}{(x-4)^2 + (y-5\sqrt{3})^2}$
4. Analisando as propriedades deste triângulo, percebemos que é um triângulo equilátero (podemos verificar as distâncias entre os vértices)
5. Para um triângulo equilátero, o ponto que maximiza a soma dos inversos das distâncias ao quadrado não é o baricentro, mas o ponto de Fermat (ou ponto de Torricelli), que coincide com o baricentro apenas para triângulos equiláteros
6. Como este é um triângulo equilátero (AB = BC = AC = 6), o ponto X que maximiza a energia coincide com o baricentro G

Reflexão de Sobrevivência: A distribuição ideal de recursos energéticos em um sistema triangular demonstra um princípio fundamental de sobrevivência: geometria e física trabalham juntas na otimização. Conhecer propriedades especiais de configurações geométricas permite criar redes resilientes que aproveitam ao máximo recursos limitados.

1. Calcule o ponto médio M1 entre A(0, 0) e B(10, 0): $M1 = (5, 0)$
2. Calcule o baricentro G do triângulo: $G = \left(\frac{0 + 10 + 5}{3}, \frac{0 + 0 + 8}{3}\right) = (5, \frac{8}{3}) \approx (5, 2.67)$
3. Calcule o ponto médio M2 entre B(10, 0) e C(5, 8): $M2 = \left(\frac{10 + 5}{2}, \frac{0 + 8}{2}\right) = (7.5, 4)$
4. Calcule o comprimento de cada segmento da rota:
   $|AM1| = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 5$
   $|M1G| = \sqrt{(5 - 5)^2 + (2.67 - 0)^2} = 2.67$
   $|GM2| = \sqrt{(7.5 - 5)^2 + (4 - 2.67)^2} = \sqrt{6.25 + 1.78} \approx 2.94$
   $|M2C| = \sqrt{(5 - 7.5)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{6.25 + 16} = \sqrt{22.25} \approx 4.72$
5. Comprimento total da rota: $5 + 2.67 + 2.94 + 4.72 = 15.33$
6. Agora, calculamos o perímetro do triângulo ABC:
   $|AB| = \sqrt{(10 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 10$
   $|BC| = \sqrt{(5 - 10)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \approx 9.43$
   $|CA| = \sqrt{(0 - 5)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \approx 9.43$
7. Perímetro do triângulo: $10 + 9.43 + 9.43 = 28.86$

Reflexão de Sobrevivência: Rotas que utilizam pontos médios e baricentros estratégicos podem reduzir significativamente as distâncias percorridas, economizando até 47% dos recursos de deslocamento em comparação com rotas perimetrais. Em um mundo hostil, esta eficiência pode ser a diferença entre alcançar o abrigo antes do anoitecer ou enfrentar os perigos noturnos da Zona Devastada.

1. Calculamos os pontos médios dos lados do quadrilátero:
   $M_{AB} = \left(\frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (4, 0)$
   $M_{BC} = \left(\frac{8 + 9}{2}, \frac{0 + 7}{2}\right) = (8.5, 3.5)$
   $M_{CD} = \left(\frac{9 + 1}{2}, \frac{7 + 7}{2}\right) = (5, 7)$
   $M_{DA} = \left(\frac{1 + 0}{2}, \frac{7 + 0}{2}\right) = (0.5, 3.5)$
2. Para provar que o quadrilátero $M_{AB}M_{BC}M_{CD}M_{DA}$ é um paralelogramo, verificamos se os lados opostos são paralelos e iguais.
   $\overrightarrow{M_{AB}M_{BC}} = (8.5 - 4, 3.5 - 0) = (4.5, 3.5)$
   $\overrightarrow{M_{CD}M_{DA}} = (0.5 - 5, 3.5 - 7) = (-4.5, -3.5)$
3. Verificamos que $\overrightarrow{M_{AB}M_{BC}} = -\overrightarrow{M_{CD}M_{DA}}$, o que prova que os lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento
4. Da mesma forma, podemos verificar para os outros dois lados:
   $\overrightarrow{M_{BC}M_{CD}} = (5 - 8.5, 7 - 3.5) = (-3.5, 3.5)$
   $\overrightarrow{M_{DA}M_{AB}} = (4 - 0.5, 0 - 3.5) = (3.5, -3.5)$
5. Novamente, $\overrightarrow{M_{BC}M_{CD}} = -\overrightarrow{M_{DA}M_{AB}}$
6. Isso prova matematicamente que o quadrilátero formado pelos pontos médios é sempre um paralelogramo
7. Para calcular o perímetro, precisamos da soma dos comprimentos dos lados:
   $|M_{AB}M_{BC}| = \sqrt{4.5^2 + 3.5^2} = \sqrt{20.25 + 12.25} = \sqrt{32.5} \approx 5.7$
   $|M_{BC}M_{CD}| = \sqrt{(-3.5)^2 + 3.5^2} = \sqrt{24.5} \approx 4.95$
   $|M_{CD}M_{DA}| = \sqrt{(-4.5)^2 + (-3.5)^2} = \sqrt{32.5} \approx 5.7$
   $|M_{DA}M_{AB}| = \sqrt{3.5^2 + (-3.5)^2} = \sqrt{24.5} \approx 4.95$
8. Perímetro = $2 \cdot (5.7 + 4.95) = 21.3$

Reflexão de Sobrevivência: A descoberta de que pontos médios de quadriláteros sempre formam paralelogramos garante estabilidade estrutural previsível, mesmo em terrenos irregulares. Esta propriedade invariante é valiosa para engenheiros de sobrevivência construindo estruturas defensivas com recursos limitados, permitindo projetar sistemas estáveis independentemente das condições iniciais encontradas.

1. Primeiro, calculamos os pontos médios dos lados do triângulo original:
   $M_{AB} = \left(\frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (4, 0)$
   $M_{BC} = \left(\frac{8 + 4}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = (6, 3)$
   $M_{CA} = \left(\frac{4 + 0}{2}, \frac{6 + 0}{2}\right) = (2, 3)$
2. Estes três pontos formam um novo triângulo: △(M_{AB}, M_{BC}, M_{CA})
3. Calculamos o baricentro G' deste novo triângulo:
   $G' = \left(\frac{4 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 3 + 3}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \frac{6}{3}\right) = (4, 2)$
4. Agora, calculamos o baricentro G do triângulo original:
   $G = \left(\frac{0 + 8 + 4}{3}, \frac{0 + 0 + 6}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \frac{6}{3}\right) = (4, 2)$
5. Observamos que G = G', ou seja, o baricentro do triângulo formado pelos pontos médios coincide com o baricentro do triângulo original

Reflexão de Sobrevivência: Esta propriedade invariante dos baricentros tem uma aplicação prática inestimável na Zona Devastada: ao construir postos defensivos nos pontos médios de um território triangular, o centro de comando permanece no mesmo ponto estratégico. Isso permite manter as mesmas rotas de evacuação e suprimentos, mesmo quando o perímetro defensivo precisa ser reduzido em resposta a ameaças externas.

1. Calculamos o baricentro do quadrilátero original:
   $G_1 = \left(\frac{0 + 6 + 6 + 0}{4}, \frac{0 + 0 + 6 + 6}{4}\right) = \left(\frac{12}{4}, \frac{12}{4}\right) = (3, 3)$
2. Agora, calculamos os pontos médios dos lados do quadrado:
   $M_{AB} = \left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (3, 0)$
   $M_{BC} = \left(\frac{6 + 6}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = (6, 3)$
   $M_{CD} = \left(\frac{6 + 0}{2}, \frac{6 + 6}{2}\right) = (3, 6)$
   $M_{DA} = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{6 + 0}{2}\right) = (0, 3)$
3. Calculamos o baricentro destes quatro pontos médios:
   $G_2 = \left(\frac{3 + 6 + 3 + 0}{4}, \frac{0 + 3 + 6 + 3}{4}\right) = \left(\frac{12}{4}, \frac{12}{4}\right) = (3, 3)$
4. Verificamos que $G_1 = G_2 = (3, 3)$, portanto as duas propostas resultam no mesmo ponto central
5. Para verificar a distância de G até cada um dos abrigos originais:
   $|GA| = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$
   $|GB| = \sqrt{(3-6)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$
   $|GC| = \sqrt{(3-6)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$
   $|GD| = \sqrt{(3-0)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$
6. Para verificar a distância de G até cada um dos pontos médios:
   $|GM_{AB}| = \sqrt{(3-3)^2 + (3-0)^2} = 3$
   $|GM_{BC}| = \sqrt{(3-6)^2 + (3-3)^2} = 3$
   $|GM_{CD}| = \sqrt{(3-3)^2 + (3-6)^2} = 3$
   $|GM_{DA}| = \sqrt{(3-0)^2 + (3-3)^2} = 3$

Reflexão de Sobrevivência: A coincidência dos baricentros demonstra uma propriedade fundamental dos sistemas de distribuição em ambientes hostis: as estruturas hierárquicas de suprimentos mantêm seu ponto central ideal independentemente do nível de distribuição. Isto permite criar sistemas redundantes que podem ser adaptados conforme a necessidade (centralização ou descentralização) sem alterar as rotas principais de logística, otimizando a resistência do assentamento contra ameaças externas.