TERMINAL REFÚGIO-TEC
┌───────────────────────────────────────────────────┐ │ MÓDULO: O CONJUNTO R² │ └───────────────────────────────────────────────────┘ > INICIANDO TRANSMISSÃO... > CARREGANDO MÓDULO DE TREINAMENTO... > ACESSO CONCEDIDO: PROTOCOLOS DE SOBREVIVÊNCIA MATEMÁTICA ATIVADOS

> MANUAL DE SOBREVIVÊNCIA MATEMÁTICA: O CONJUNTO R²

Após o Grande Colapso, navegar pelo que resta do mundo tornou-se uma habilidade de sobrevivência essencial. Os antigos GPS desapareceram junto com a infraestrutura de satélites, mas a matemática permanece inalterada. O sistema de coordenadas cartesianas - ou como conhecemos hoje, o mapeamento R² - é nossa ferramenta crítica para localizar recursos, evitar zonas de radiação e traçar rotas seguras pela Zona Devastada.

O conjunto R² representa o plano cartesiano, onde cada ponto é identificado por um par ordenado de números reais (x,y). O primeiro número (x) indica a posição horizontal, enquanto o segundo (y) indica a posição vertical. Esta notação simples mas poderosa nos permite mapear qualquer localização no plano com precisão absoluta - a diferença entre encontrar um abrigo seguro ou vagar pela radiação.

O plano cartesiano divide-se em quatro quadrantes, identificados em sentido anti-horário a partir do quadrante superior direito. Navegar entre estes quadrantes é essencial para sobreviventes que precisam triangular posições com recursos limitados.

$$\mathbb{R}^2 = \{(x,y) \mid x,y \in \mathbb{R}\}$$ $$\text{Quadrante I: } x > 0, y > 0$$ $$\text{Quadrante II: } x < 0, y > 0$$ $$\text{Quadrante III: } x < 0, y < 0$$ $$\text{Quadrante IV: } x > 0, y < 0$$

Técnicas para utilizar o R² incluem: localização precisa de pontos no mapa, identificação de quadrantes para orientação rápida, cálculo de distâncias entre pontos usando o Teorema de Pitágoras, e descrição de localizações através de pares ordenados. Dominar estas habilidades não é apenas matemática - é sua chance de sobrevivência no mundo pós-colapso.

LOCALIZAÇÃO DE ABRIGO

O rádio do Refúgio-Tec interceptou uma transmissão fragmentada informando sobre um abrigo seguro nas coordenadas (5,3). Represente este ponto no plano cartesiano e identifique em qual quadrante ele está localizado.

Para representar o ponto no plano, ande 5 unidades para a direita a partir da origem (0,0) e depois 3 unidades para cima. Lembre-se que o Quadrante I corresponde a valores onde tanto x quanto y são positivos.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Para representar o ponto (5,3), partimos da origem (0,0), movemos 5 unidades na direção positiva do eixo x (para a direita) e 3 unidades na direção positiva do eixo y (para cima).
  2. Analisando as coordenadas (5,3): Como ambos os valores são positivos (x = 5 > 0 e y = 3 > 0), o ponto está localizado no Quadrante I.
$$\text{Ponto } (5,3) \in \text{ Quadrante I pois } 5 > 0 \text{ e } 3 > 0$$

Reflexão de Sobrevivência: Identificar corretamente quadrantes permite comunicar localizações com eficiência mínima de dados - vital quando transmissões de rádio são limitadas ou interceptadas por hostis. Um erro na interpretação de coordenadas pode significar dias de caminhada na direção errada, consumindo suprimentos preciosos.

MAPEAMENTO DE ZONAS RADIOATIVAS

Nas ruínas da cidade, foram identificados quatro pontos com altos níveis de radiação, marcados nas coordenadas A(-5,2), B(-3,-4), C(1,-6) e D(6,3). Indique em qual quadrante do plano cartesiano cada um desses pontos está localizado, para ajudar as equipes de exploração a planejarem rotas seguras.

Para determinar o quadrante, verifique os sinais das coordenadas x e y de cada ponto. Lembre-se que o plano é dividido em quatro regiões distintas com combinações específicas de sinais.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Para o ponto A(-5,2): Como x < 0 e y > 0, está localizado no Quadrante II.
  2. Para o ponto B(-3,-4): Como x < 0 e y < 0, está localizado no Quadrante III.
  3. Para o ponto C(1,-6): Como x > 0 e y < 0, está localizado no Quadrante IV.
  4. Para o ponto D(6,3): Como x > 0 e y > 0, está localizado no Quadrante I.
$$\text{Quadrante I: } x > 0, y > 0 \text{ (ponto D)}$$ $$\text{Quadrante II: } x < 0, y > 0 \text{ (ponto A)}$$ $$\text{Quadrante III: } x < 0, y < 0 \text{ (ponto B)}$$ $$\text{Quadrante IV: } x > 0, y < 0 \text{ (ponto C)}$$

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer a distribuição de pontos pelos quadrantes permite às equipes de exploração visualizarem mentalmente a dispersão de zonas perigosas mesmo sem um mapa físico. Esta habilidade é crucial quando marcações improvisadas e comunicações rápidas podem salvar vidas.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE PONTOS-CHAVE

Desenhe no plano cartesiano os seguintes pontos de interesse no território ao redor do Refúgio-Tec: Base principal (0,0), Torre de vigilância (0,4), Lago contaminado (3,-2), Depósito de suprimentos (2,5) e Acampamento temporário (-4,-3). Use uma escala apropriada e indique claramente cada ponto.

Trace dois eixos perpendiculares se cruzando na origem (0,0), marque divisões iguais em cada eixo e posicione cada ponto caminhando o número correto de unidades nas direções horizontal e vertical apropriadas.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Trace um plano cartesiano com os eixos x (horizontal) e y (vertical) se cruzando na origem (0,0).
  2. Marque divisões iguais em cada eixo, por exemplo, a cada 1 unidade.
  3. Para representar a Base principal (0,0), marque o ponto exatamente na origem onde os eixos se cruzam.
  4. Para a Torre de vigilância (0,4), partindo da origem, ande 0 unidades na horizontal (eixo x) e 4 unidades para cima (direção positiva do eixo y).
  5. Para o Lago contaminado (3,-2), partindo da origem, ande 3 unidades para a direita (direção positiva do eixo x) e 2 unidades para baixo (direção negativa do eixo y).
  6. Para o Depósito de suprimentos (2,5), partindo da origem, ande 2 unidades para a direita e 5 unidades para cima.
  7. Para o Acampamento temporário (-4,-3), partindo da origem, ande 4 unidades para a esquerda (direção negativa do eixo x) e 3 unidades para baixo (direção negativa do eixo y).
$$\text{Base principal: } (0,0) \text{ - Origem}$$ $$\text{Torre de vigilância: } (0,4) \text{ - Eixo y positivo}$$ $$\text{Lago contaminado: } (3,-2) \text{ - Quadrante IV}$$ $$\text{Depósito de suprimentos: } (2,5) \text{ - Quadrante I}$$ $$\text{Acampamento temporário: } (-4,-3) \text{ - Quadrante III}$$

Reflexão de Sobrevivência: A capacidade de visualizar pontos em um plano cartesiano permite criar mapas mentais do território, essenciais quando os mapas físicos se tornaram raridade. Esta habilidade de "ver" as coordenadas pode ser a diferença entre encontrar um caminho seguro através da Zona Devastada ou ficar preso em uma área perigosa.

DISTÂNCIA ATÉ O ABRIGO

Uma equipe de exploradores está localizada no ponto (2,3) e precisa chegar a um abrigo seguro nas coordenadas (6,8). Calcule a distância em linha reta entre a posição atual dos exploradores e o abrigo, utilizando o Teorema de Pitágoras. Se cada unidade no mapa corresponde a 1 km, qual a distância real que a equipe precisará percorrer?

A distância entre dois pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂) pode ser calculada pela fórmula d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²], que é uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Identificamos os pontos: posição atual (2,3) e localização do abrigo (6,8).
  2. Calculamos a diferença nas coordenadas x: x₂ - x₁ = 6 - 2 = 4
  3. Calculamos a diferença nas coordenadas y: y₂ - y₁ = 8 - 3 = 5
  4. Aplicamos o Teorema de Pitágoras para encontrar a distância: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] = √[4² + 5²] = √(16 + 25) = √41 ≈ 6,4 unidades
  5. Como cada unidade corresponde a 1 km, a distância real é aproximadamente 6,4 km.
$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = \sqrt{(6-2)^2 + (8-3)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \approx 6,4$$

Reflexão de Sobrevivência: O cálculo preciso de distâncias é crucial para o planejamento de expedições na Zona Devastada. Subestimar uma distância pode resultar em falta de suprimentos, enquanto superestimá-la pode levar a um excesso desnecessário de carga. A linha reta raramente é um caminho viável devido a obstáculos, mas conhecer esta distância mínima teórica proporciona uma referência valiosa para avaliar rotas alternativas.

LOCALIZANDO PONTOS NO EIXO

Uma equipe de reconhecimento reportou a presença de três fontes de água potável nas seguintes coordenadas: (7,0), (0,5) e (-3,0). Identifique quais dessas fontes estão localizadas exatamente sobre um dos eixos coordenados e especifique qual eixo. Além disso, desenhe esses pontos no plano cartesiano para visualizar sua distribuição.

Um ponto está localizado sobre o eixo x quando sua coordenada y é igual a zero. Similarmente, um ponto está sobre o eixo y quando sua coordenada x é igual a zero.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Analisando o ponto (7,0): Como a coordenada y é igual a 0, este ponto está localizado exatamente sobre o eixo x, a 7 unidades à direita da origem.
  2. Analisando o ponto (0,5): Como a coordenada x é igual a 0, este ponto está localizado exatamente sobre o eixo y, a 5 unidades acima da origem.
  3. Analisando o ponto (-3,0): Como a coordenada y é igual a 0, este ponto está localizado exatamente sobre o eixo x, a 3 unidades à esquerda da origem.
  4. Para desenhar estes pontos no plano cartesiano: - Marque um ponto a 7 unidades à direita da origem sobre o eixo x - Marque um ponto a 5 unidades acima da origem sobre o eixo y - Marque um ponto a 3 unidades à esquerda da origem sobre o eixo x
$$\text{Eixo x: } y = 0 \text{ → Pontos } (7,0) \text{ e } (-3,0)$$ $$\text{Eixo y: } x = 0 \text{ → Ponto } (0,5)$$

Reflexão de Sobrevivência: Identificar pontos nos eixos coordenados simplifica a navegação, pois é necessário monitorar apenas uma direção. Esta é uma vantagem tática quando os recursos de orientação são limitados. Uma fonte de água no eixo x, por exemplo, pode ser alcançada seguindo precisamente o leste ou oeste a partir de qualquer ponto com a mesma coordenada y, sem necessidade de ajustes na direção norte-sul.

MAPEAMENTO DE PERÍMETRO

Um perímetro de segurança em forma de triângulo foi estabelecido ao redor de uma área com radiação perigosa, com postos de vigilância nos pontos A(1,1), B(4,5) e C(7,2). Calcule a distância entre cada par de postos de vigilância para determinar o comprimento de cabo de comunicação necessário para conectá-los.

Use a fórmula da distância entre dois pontos d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] para cada par de postos. Lembre-se que em um triângulo existem três pares a serem considerados: AB, BC e CA.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Para calcular a distância entre os postos A(1,1) e B(4,5): d(A,B) = √[(4-1)² + (5-1)²] = √[3² + 4²] = √(9 + 16) = √25 = 5 unidades
  2. Para calcular a distância entre os postos B(4,5) e C(7,2): d(B,C) = √[(7-4)² + (2-5)²] = √[3² + (-3)²] = √(9 + 9) = √18 ≈ 4,24 unidades
  3. Para calcular a distância entre os postos C(7,2) e A(1,1): d(C,A) = √[(1-7)² + (1-2)²] = √[(-6)² + (-1)²] = √(36 + 1) = √37 ≈ 6,08 unidades
  4. A quantidade total de cabo necessária é a soma dessas distâncias: Total = 5 + 4,24 + 6,08 = 15,32 unidades
$$d(A,B) = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$d(B,C) = \sqrt{(7-4)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4,24$$ $$d(C,A) = \sqrt{(1-7)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \approx 6,08$$ $$\text{Total de cabo: } 5 + 4,24 + 6,08 = 15,32 \text{ unidades}$$

Reflexão de Sobrevivência: O planejamento preciso de recursos como cabos de comunicação é vital no mundo pós-apocalíptico, onde cada metro de material conta. Além disso, conhecer as distâncias exatas entre pontos de vigilância permite calcular tempos de resposta e organizar patrulhas de forma eficiente. Este tipo de cálculo matemático transforma-se diretamente em vantagem tática e economia de recursos.

ZONAS DE EXCLUSÃO

Após uma tempestade radioativa, cinco locais foram identificados com altos níveis de contaminação nas seguintes coordenadas: A(2,3), B(-1,5), C(-4,-2), D(3,-4) e E(5,1). Desenhe estes pontos no plano cartesiano e identifique em qual quadrante cada ponto está localizado. Além disso, calcule a distância de cada ponto à origem (0,0) para determinar qual área contaminada está mais próxima do Refúgio-Tec, que está localizado na origem.

A distância de um ponto (x,y) à origem (0,0) é dada pela fórmula d = √(x² + y²), que é uma simplificação da fórmula geral da distância entre dois pontos.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Desenhamos os pontos no plano cartesiano e identificamos seus quadrantes: - Ponto A(2,3): Quadrante I (x > 0, y > 0) - Ponto B(-1,5): Quadrante II (x < 0, y > 0) - Ponto C(-4,-2): Quadrante III (x < 0, y < 0) - Ponto D(3,-4): Quadrante IV (x > 0, y < 0) - Ponto E(5,1): Quadrante I (x > 0, y > 0)
  2. Calculamos a distância de cada ponto à origem: d(A,O) = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13 ≈ 3,61 unidades d(B,O) = √((-1)² + 5²) = √(1 + 25) = √26 ≈ 5,10 unidades d(C,O) = √((-4)² + (-2)²) = √(16 + 4) = √20 ≈ 4,47 unidades d(D,O) = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5 unidades d(E,O) = √(5² + 1²) = √(25 + 1) = √26 ≈ 5,10 unidades
  3. Comparando as distâncias, o ponto A(2,3) está mais próximo da origem, com uma distância de aproximadamente 3,61 unidades.
$$d(P,O) = \sqrt{x^2 + y^2}$$ $$d(A,O) = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3,61$$ $$d(B,O) = \sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{26} \approx 5,10$$ $$d(C,O) = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} \approx 4,47$$ $$d(D,O) = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$$ $$d(E,O) = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26} \approx 5,10$$

Reflexão de Sobrevivência: Determinar qual área contaminada está mais próxima do abrigo é crucial para avaliar riscos imediatos e planejar rotas de evacuação em caso de aumento na radiação. Observe que dois pontos (B e E) estão à mesma distância da origem, mas em quadrantes diferentes, o que tem implicações táticas importantes - o vento predominante pode tornar uma área mais perigosa que a outra, apesar da mesma distância.

COORDENADAS MISTERIOSAS

O Refúgio-Tec interceptou uma transmissão contendo três coordenadas: (4,3), (-2,5) e (x,y). Sabe-se que as três coordenadas formam um triângulo isósceles, onde duas distâncias entre pontos são iguais. Além disso, foi informado que o ponto (x,y) está a uma distância de 5 unidades da origem. Determine as possíveis coordenadas do ponto misterioso (x,y).

Um triângulo isósceles tem dois lados iguais. Teste diferentes possibilidades para o ponto (x,y), lembrando que ele deve estar a 5 unidades da origem, ou seja, x² + y² = 25.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Identificamos os dois pontos conhecidos: A(4,3) e B(-2,5)
  2. Calculamos a distância entre esses pontos: d(A,B) = √[(4-(-2))² + (3-5)²] = √[6² + (-2)²] = √(36 + 4) = √40 ≈ 6,32 unidades
  3. Sabemos que o ponto (x,y) está a uma distância de 5 unidades da origem, o que significa que ele está em um círculo de raio 5 centrado na origem: x² + y² = 25
  4. Para que o triângulo seja isósceles, precisamos que duas distâncias sejam iguais. Temos três possibilidades: 1. d(A,C) = d(B,C) 2. d(A,C) = d(A,B) 3. d(B,C) = d(A,B)
  5. Testando a primeira possibilidade (d(A,C) = d(B,C)): √[(4-x)² + (3-y)²] = √[(-2-x)² + (5-y)²] Elevando ambos os lados ao quadrado: (4-x)² + (3-y)² = (-2-x)² + (5-y)² 16 - 8x + x² + 9 - 6y + y² = 4 + 4x + x² + 25 - 10y + y² 16 - 8x + 9 - 6y = 4 + 4x + 25 - 10y 25 - 8x - 6y = 29 + 4x - 10y 25 - 29 = 4x + 8x - 10y + 6y -4 = 12x - 4y 4y = 12x + 4 y = 3x + 1
  6. Substituindo na equação do círculo: x² + (3x + 1)² = 25 x² + 9x² + 6x + 1 = 25 10x² + 6x - 24 = 0 5x² + 3x - 12 = 0
  7. Usando a fórmula de Bhaskara: x = [-3 ± √(9 + 240)]/10 = [-3 ± √249]/10 = [-3 ± 15.78]/10 x ≈ 1.28 ou x ≈ -1.88
  8. Calculamos os valores correspondentes de y: Para x ≈ 1.28: y ≈ 3(1.28) + 1 ≈ 4.84 Para x ≈ -1.88: y ≈ 3(-1.88) + 1 ≈ -4.64
  9. Verificamos se esses pontos estão realmente a 5 unidades da origem: Para (1.28, 4.84): √(1.28² + 4.84²) ≈ √(1.64 + 23.43) ≈ √25.07 ≈ 5.01 ✓ Para (-1.88, -4.64): √((-1.88)² + (-4.64)²) ≈ √(3.53 + 21.53) ≈ √25.06 ≈ 5.01 ✓
  10. As possíveis coordenadas para o ponto misterioso (x,y) são aproximadamente (1.28, 4.84) ou (-1.88, -4.64).
$$d(A,B) = \sqrt{(4-(-2))^2 + (3-5)^2} = \sqrt{40} \approx 6,32$$ $$\text{Condição 1: } x^2 + y^2 = 25 \text{ (distância à origem)}$$ $$\text{Condição 2: } d(A,C) = d(B,C) \text{ (triângulo isósceles)}$$ $$\text{Solução: } (x,y) \approx (1.28, 4.84) \text{ ou } (x,y) \approx (-1.88, -4.64)$$

Reflexão de Sobrevivência: A capacidade de decifrar coordenadas parciais a partir de relações geométricas pode ser crucial quando as transmissões são fragmentadas ou deliberadamente codificadas. Observe que obtivemos duas possíveis localizações para o ponto misterioso - em uma situação real, informações adicionais como quadrante ou região geral seriam necessárias para determinar qual das duas coordenadas é a correta, destacando a importância de múltiplas fontes de informação.

ROTA DE FUGA ÓTIMA

Uma equipe de exploração está no ponto (3,4) e precisa retornar ao Refúgio-Tec localizado na origem (0,0). No entanto, há um campo de radiação intenso no ponto (1,1) que deve ser evitado. Determine o ponto P no eixo x (ou seja, com coordenadas (a,0) para algum valor de a) tal que, se a equipe primeiro se deslocar do ponto (3,4) para o ponto P e depois do ponto P para a origem, a distância total percorrida seja a menor possível.

A distância total será a soma de duas distâncias: da posição atual (3,4) ao ponto P(a,0) e do ponto P(a,0) à origem (0,0). Experimente diferentes valores de 'a' para encontrar o que minimiza esta soma.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Queremos encontrar o ponto P(a,0) no eixo x que minimiza a distância total percorrida.
  2. A distância do ponto (3,4) até P(a,0) é: d₁ = √[(a-3)² + (0-4)²] = √[(a-3)² + 16]
  3. A distância do ponto P(a,0) até a origem (0,0) é: d₂ = √[(0-a)² + (0-0)²] = √(a²) = |a|
  4. A distância total a ser minimizada é: d_total = d₁ + d₂ = √[(a-3)² + 16] + |a|
  5. Testando alguns valores de a: Para a = 0: d_total = √[(0-3)² + 16] + |0| = √(9 + 16) + 0 = 5 Para a = 1: d_total = √[(1-3)² + 16] + |1| = √(4 + 16) + 1 = √20 + 1 ≈ 5.47 Para a = 2: d_total = √[(2-3)² + 16] + |2| = √(1 + 16) + 2 = √17 + 2 ≈ 6.12 Para a = 3: d_total = √[(3-3)² + 16] + |3| = √16 + 3 = 7
  6. Testando valores negativos: Para a = -1: d_total = √[(-1-3)² + 16] + |-1| = √(16 + 16) + 1 = √32 + 1 ≈ 6.66
  7. Comparando os resultados, o valor a = 0 resulta na menor distância total. Isso significa que o ponto ótimo no eixo x é P(0,0), que coincide com a própria origem.
  8. No entanto, isso implicaria em não passar por nenhum ponto intermediário no eixo x antes de chegar à origem. Se interpretarmos a restrição como exigindo que passemos por algum ponto do eixo x diferente da origem, então a = 1 seria a melhor opção com uma distância total de aproximadamente 5.47 unidades.
$$d_1 = \sqrt{(a-3)^2 + 16}$$ $$d_2 = |a|$$ $$d_{total} = d_1 + d_2 = \sqrt{(a-3)^2 + 16} + |a|$$ $$\text{Para } a = 0: d_{total} = 5 \text{ (mínimo)}$$ $$\text{Para } a = 1: d_{total} \approx 5.47 \text{ (segunda melhor opção)}$$

Reflexão de Sobrevivência: Este tipo de problema de otimização é frequente em situações reais de navegação na Zona Devastada, onde certos pontos devem ser evitados (como campos de radiação) e recursos limitados tornam crucial minimizar distâncias. A solução encontrada - ir diretamente para a origem - é contraintuitiva, mas ilustra como a análise matemática pode desafiar nossa intuição e levar a estratégias superiores de deslocamento.

MAPEAMENTO DE ZONAS CIRCULARES

O detector de radiação do Refúgio-Tec pode identificar zonas contaminadas num raio de 5 unidades. Se o detector for colocado na posição (3,4), desenhe no plano cartesiano a região circular que representa a área de detecção. Além disso, determine se os pontos A(7,7), B(-1,2), C(5,0) e D(3,9) estão dentro ou fora da zona de detecção, calculando suas distâncias ao centro do detector.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. O detector posicionado em (3,4) cria uma zona circular de raio 5 unidades. Para desenhar esta região no plano cartesiano, marcamos o ponto (3,4) como centro e traçamos um círculo com raio 5 ao seu redor.
  2. Para determinar se um ponto está dentro da zona de detecção, calculamos sua distância ao centro (3,4) e verificamos se é menor ou igual a 5 (dentro) ou maior que 5 (fora).
  3. Para o ponto A(7,7): d(A, detector) = √[(7-3)² + (7-4)²] = √[4² + 3²] = √(16 + 9) = √25 = 5 unidades Como a distância é exatamente 5 unidades, o ponto A está na fronteira da zona de detecção.
  4. Para o ponto B(-1,2): d(B, detector) = √[(-1-3)² + (2-4)²] = √[(-4)² + (-2)²] = √(16 + 4) = √20 ≈ 4,47 unidades Como a distância é menor que 5 unidades, o ponto B está dentro da zona de detecção.
  5. Para o ponto C(5,0): d(C, detector) = √[(5-3)² + (0-4)²] = √[2² + (-4)²] = √(4 + 16) = √20 ≈ 4,47 unidades Como a distância é menor que 5 unidades, o ponto C está dentro da zona de detecção.
  6. Para o ponto D(3,9): d(D, detector) = √[(3-3)² + (9-4)²] = √[0² + 5²] = √25 = 5 unidades Como a distância é exatamente 5 unidades, o ponto D está na fronteira da zona de detecção.
$$\text{Detector em } (3,4) \text{ com raio de detecção } r = 5$$ $$\text{Equação da zona circular: } (x-3)^2 + (y-4)^2 \leq 25$$ $$d(A, \text{detector}) = \sqrt{(7-3)^2 + (7-4)^2} = 5 \text{ (na fronteira)}$$ $$d(B, \text{detector}) = \sqrt{(-1-3)^2 + (2-4)^2} \approx 4.47 \text{ (dentro)}$$ $$d(C, \text{detector}) = \sqrt{(5-3)^2 + (0-4)^2} \approx 4.47 \text{ (dentro)}$$ $$d(D, \text{detector}) = \sqrt{(3-3)^2 + (9-4)^2} = 5 \text{ (na fronteira)}$$

Reflexão de Sobrevivência: Compreender a cobertura de equipamentos de detecção é essencial para uma vigilância eficaz. Observe que dois pontos (A e D) estão exatamente na fronteira da zona de detecção - em termos práticos, isso poderia significar leituras intermitentes ou menos confiáveis. Em um ambiente hostil como a Zona Devastada, esta informação poderia significar a diferença entre detectar uma ameaça a tempo ou ser surpreendido por ela.

ÁREA SEGURA RETANGULAR

O Refúgio-Tec planeja construir uma área segura retangular com cantos nos pontos (1,1), (1,4), (6,4) e (6,1). Desenhe este retângulo no plano cartesiano e calcule sua área e perímetro. Além disso, determine se os pontos P(3,2), Q(0,3), R(5,5) e S(2,0) estão dentro, fora ou na fronteira da área segura.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Desenhamos o retângulo no plano cartesiano conectando os pontos (1,1), (1,4), (6,4) e (6,1) em ordem.
  2. Para calcular a área do retângulo: Largura = |x₂ - x₁| = |6 - 1| = 5 unidades Altura = |y₂ - y₁| = |4 - 1| = 3 unidades Área = Largura × Altura = 5 × 3 = 15 unidades quadradas
  3. Para calcular o perímetro do retângulo: Perímetro = 2 × (Largura + Altura) = 2 × (5 + 3) = 2 × 8 = 16 unidades
  4. Para determinar se um ponto está dentro, fora ou na fronteira da área retangular, verificamos se suas coordenadas estão dentro dos limites do retângulo: x entre 1 e 6 (inclusive) e y entre 1 e 4 (inclusive)
  5. Para o ponto P(3,2): 1 ≤ 3 ≤ 6 e 1 ≤ 2 ≤ 4 Ambas as condições são satisfeitas, então P está dentro da área segura.
  6. Para o ponto Q(0,3): 0 < 1, portanto Q está fora da área segura (à esquerda do retângulo).
  7. Para o ponto R(5,5): 1 ≤ 5 ≤ 6, mas 5 > 4 A segunda condição não é satisfeita, então R está fora da área segura (acima do retângulo).
  8. Para o ponto S(2,0): 1 ≤ 2 ≤ 6, mas 0 < 1 A segunda condição não é satisfeita, então S está fora da área segura (abaixo do retângulo).
$$\text{Área} = \text{Largura} \times \text{Altura} = 5 \times 3 = 15 \text{ unidades}^2$$ $$\text{Perímetro} = 2(\text{Largura} + \text{Altura}) = 2(5 + 3) = 16 \text{ unidades}$$ $$\text{Ponto dentro do retângulo: } 1 \leq x \leq 6 \text{ e } 1 \leq y \leq 4$$ $$\text{P(3,2): Dentro}$$ $$\text{Q(0,3): Fora}$$ $$\text{R(5,5): Fora}$$ $$\text{S(2,0): Fora}$$

Reflexão de Sobrevivência: A delimitação precisa de áreas seguras é fundamental para o planejamento de assentamentos na Zona Devastada. O cálculo da área nos permite estimar quantas pessoas podem ser abrigadas, enquanto o perímetro indica quanto material será necessário para cercar e proteger o espaço. A capacidade de determinar rapidamente se um ponto está dentro ou fora de uma área designada é crucial para o sistema de vigilância e para orientar novas expedições sobre onde estabelecer acampamentos temporários.

CRIPTOGRAFIA DE COORDENADAS

Para proteger as comunicações, o Refúgio-Tec desenvolveu um sistema de criptografia de coordenadas. Neste sistema, uma coordenada original (x,y) é transformada em uma nova coordenada (x',y') da seguinte forma: x' = 2x - y e y' = x + y. As coordenadas (3,5), (0,2), (-1,4) e (2,-3) foram interceptadas após a criptografia. Decifre quais eram as coordenadas originais antes da transformação, e desenhe tanto as coordenadas originais quanto as criptografadas no plano cartesiano.

ACESSO NÍVEL: SUPERVISOR
  1. Precisamos inverter o sistema de transformação para encontrar as coordenadas originais a partir das criptografadas. Se x' = 2x - y e y' = x + y, então temos um sistema de equações: { x' = 2x - y y' = x + y }
  2. Para inverter o sistema, isolamos x e y em termos de x' e y': Da segunda equação: y = y' - x Substituindo na primeira: x' = 2x - (y' - x) = 2x - y' + x = 3x - y' Resolvendo para x: x = (x' + y')/3 Substituindo de volta: y = y' - (x' + y')/3 = (3y' - x' - y')/3 = (2y' - x')/3
  3. Portanto, as fórmulas para decifrar são: x = (x' + y')/3 y = (2y' - x')/3
  4. Para (3,5): x = (3+5)/3 = 8/3 ≈ 2.67 y = (2×5-3)/3 = 7/3 ≈ 2.33
  5. Para (0,2): x = (0+2)/3 = 2/3 ≈ 0.67 y = (2×2-0)/3 = 4/3 ≈ 1.33
  6. Para (-1,4): x = (-1+4)/3 = 3/3 = 1 y = (2×4-(-1))/3 = (8+1)/3 = 9/3 = 3
  7. Para (2,-3): x = (2+(-3))/3 = -1/3 ≈ -0.33 y = (2×(-3)-2)/3 = (-6-2)/3 = -8/3 ≈ -2.67
$$\text{Sistema de criptografia: } \begin{cases} x' = 2x - y \\ y' = x + y \end{cases}$$ $$\text{Sistema de decifragem: } \begin{cases} x = \frac{x' + y'}{3} \\ y = \frac{2y' - x'}{3} \end{cases}$$ $$(3,5) \rightarrow \left(\frac{8}{3}, \frac{7}{3}\right) \approx (2.67, 2.33)$$ $$(0,2) \rightarrow \left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) \approx (0.67, 1.33)$$ $$(-1,4) \rightarrow (1, 3)$$ $$(2,-3) \rightarrow \left(-\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}\right) \approx (-0.33, -2.67)$$

Reflexão de Sobrevivência: A criptografia de coordenadas é uma ferramenta vital de segurança nas comunicações do mundo pós-apocalíptico, onde a interceptação de informações por grupos hostis é uma ameaça constante. Este sistema de transformação linear oferece um método relativamente simples, mas eficaz, para proteger localizações estratégicas. A capacidade de decifrar rapidamente coordenadas criptografadas é essencial para equipes de resgate e operações táticas, pois permite a localização precisa de recursos ou pontos de encontro sem comprometer a segurança em canais de comunicação não seguros.

REFÚGIO-TEC | O CONJUNTO R²: Sobrevivência Matemática - Navegar pelo plano cartesiano é navegar pela sobrevivência.