1. Identifique o triângulo retângulo formado. O cateto oposto ao ângulo de elevação é a altura da torre (15m) e o cateto adjacente é a distância horizontal (30m).
2. Aplique a relação da tangente para encontrar o ângulo:
   $\tan(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{15}{30} = 0.5$
3. Agora encontre o ângulo correspondente a esta tangente:
   $\theta = \arctan(0.5) \approx 26.57°$
4. Portanto, o ângulo de elevação necessário é aproximadamente 26.57°.

Reflexão de Sobrevivência: A capacidade de calcular ângulos de visão permite posicionar vigias de forma eficiente e avaliar o valor estratégico de pontos elevados sem precisar escalá-los, poupando energia e minimizando a exposição a ameaças.

1. Identifique os elementos do problema: altura = 20m, ângulo = 35°, distância horizontal é desconhecida.
2. Aplique a relação da tangente:
   $\tan(35°) = \frac{20}{\text{distância horizontal}}$
3. Calcule o valor da tangente de 35° e isole a distância horizontal:
   $\tan(35°) \approx 0.7002$
   $0.7002 = \frac{20}{\text{distância horizontal}}$
   $\text{distância horizontal} = \frac{20}{0.7002} \approx 28.56$ metros
4. Portanto, você deve manter uma distância horizontal de aproximadamente 28.56 metros da fonte.

Reflexão de Sobrevivência: Manter distância segura de fontes de radiação é crucial na Zona Devastada. Este cálculo permite determinar zonas de exclusão precisas, maximizando a área de operação segura sem comprometer a saúde da equipe.

1. Identifique as medidas conhecidas: altura = 25m, distância horizontal = 300m.
2. Aplique a relação da tangente para determinar o ângulo necessário:
   $\tan(\theta) = \frac{\text{altura}}{\text{distância horizontal}} = \frac{25}{300} = \frac{1}{12} \approx 0.0833$
3. Calcule o ângulo correspondente a esta tangente:
   $\theta = \arctan(0.0833) \approx 4.76°$
4. O transmissor deve ser posicionado com um ângulo de aproximadamente 4.76° abaixo do horizonte.

Reflexão de Sobrevivência: Comunicação confiável entre assentamentos é vital para compartilhar informações sobre recursos, ameaças e condições climáticas. Um ângulo de transmissão inadequado desperdiça energia preciosa e pode deixar comunidades isoladas em momentos críticos.

1. Identifique o triângulo formado pelos postos A e B e a posição dos Mutantes (ponto M).
2. Calcule o ângulo no vértice M do triângulo:
   $\angle M = 180° - (65° + 45°) = 180° - 110° = 70°$
3. Aplique a Lei dos Senos para encontrar a distância AM:
   $\frac{AM}{\sin(45°)} = \frac{500}{\sin(70°)}$
   $AM = \frac{500 \times \sin(45°)}{\sin(70°)}$
   $AM = \frac{500 \times 0.7071}{0.9397} \approx 376.4$ metros
4. Portanto, os Mutantes estão a aproximadamente 376.4 metros do posto A.

Reflexão de Sobrevivência: A triangulação permite localizar precisamente ameaças ou recursos sem exposição direta. Posicionando adequadamente os postos de observação, sua comunidade pode monitorar grandes áreas com recursos humanos limitados e planejar respostas apropriadas.

1. Suponha que os pontos A, B e C estão em um mesmo plano horizontal (para simplificar o problema).
2. Seja AB = d (distância horizontal desconhecida), e h a diferença de altura entre A e B.
   $\tan(25°) = \frac{h}{d}$, logo $h = d \times \tan(25°)$
3. Do ponto C, a distância horizontal até B é diferente:
   $CB^2 = d^2 + 80^2 - 2 \times d \times 80 \times \cos(90°) = d^2 + 80^2$
   $CB = \sqrt{d^2 + 80^2}$
4. Usando o ângulo de depressão de C:
   $\tan(40°) = \frac{h}{CB} = \frac{d \times \tan(25°)}{\sqrt{d^2 + 80^2}}$
   $\tan(40°) \times \sqrt{d^2 + 80^2} = d \times \tan(25°)$
   $[\tan(40°)]^2 \times (d^2 + 80^2) = [d \times \tan(25°)]^2$
   Resolvendo esta equação: $d \approx 120$ metros
5. Portanto, a largura do vale é aproximadamente 120 metros.

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer distâncias inacessíveis permite planejar rotas e expedições com precisão, economizando recursos vitais como água e alimentos. No caso de uma travessia de vale, este cálculo permite determinar se é necessário construir uma ponte ou se é possível usar cordas ou outros métodos alternativos.

1. Da primeira posição de observação:
   $\tan(32°) = \frac{h}{12}$
   $h = 12 \times \tan(32°) \approx 12 \times 0.6249 \approx 7.50$ metros
2. Da segunda posição (verificação):
   $\tan(24°) = \frac{h}{20}$
   $h = 20 \times \tan(24°) \approx 20 \times 0.4452 \approx 8.90$ metros
3. Há uma discrepância entre os resultados, possivelmente devido à natureza aproximada das medições ou à irregularidade do terreno. Vamos recalcular considerando possíveis erros de medição.
4. Uma abordagem mais precisa é usar a diferença de altura (Δh) entre os dois pontos de observação:
   $\tan(32°) = \frac{h}{12}$ e $\tan(24°) = \frac{h}{20}$
   Combinando as equações: $12 \times \tan(32°) = 20 \times \tan(24°)$
   $h = \frac{12 \times 20 \times [\tan(32°) - \tan(24°)]}{20 - 12} = \frac{240 \times [0.6249 - 0.4452]}{8} \approx \frac{240 \times 0.1797}{8} \approx 5.39$ metros
5. A altura da parede é aproximadamente 7.5 metros (pela primeira medição, que é geralmente mais precisa por estar mais próxima).

Reflexão de Sobrevivência: A precisão na estimativa de recursos necessários é crucial quando os materiais são escassos. Uma barreira de altura inadequada pode falhar em momentos críticos, enquanto excesso de materiais desperdiça recursos que poderiam ser utilizados em outras estruturas vitais.

1. Primeiro, calculamos a distância direta até o abrigo:
   $d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ km
2. O ângulo de deslocamento em relação ao leste é:
   $\theta = \arctan\left(\frac{6}{8}\right) = \arctan(0.75) \approx 36.87°$ (sul do leste)
3. O tempo necessário para alcançar o abrigo é:
   $t = \frac{d}{\text{velocidade}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0.833$ horas $\approx 50$ minutos
4. A nuvem de gás, vinda do norte, percorre 8 km para chegar à sua posição atual (o assentamento):
   $t_{\text{nuvem}} = \frac{8}{15} = \frac{8}{15} \approx 0.533$ horas $\approx 32$ minutos
5. A diferença de tempo é:
   $\Delta t = t_{\text{nuvem}} - t = 0.533 - 0.833 = -0.3$ horas $\approx -18$ minutos
   O valor negativo indica que você chegará ao abrigo 18 minutos após a chegada da nuvem tóxica ao assentamento.
6. Como a resposta indica que você não chegaria a tempo, precisamos recalcular considerando a posição relativa: quando você está a caminho do abrigo, a nuvem também está se movendo. A distância norte-sul entre você e a nuvem está diminuindo a uma taxa de 15 km/h (velocidade da nuvem) + 12 × sen(36.87°) km/h (componente sul da sua velocidade) = 15 + 7.2 = 22.2 km/h.
   Tempo para a nuvem te alcançar = $\frac{8}{22.2} \approx 0.36$ horas $\approx 21.6$ minutos
7. Para chegar ao abrigo, você precisa percorrer 10 km a 12 km/h, o que leva aproximadamente 50 minutos. Como isso é maior que 21.6 minutos, a nuvem te alcançará antes de você chegar ao abrigo.
8. A conclusão é que, com os parâmetros dados, não é possível chegar ao abrigo antes da nuvem tóxica utilizando uma trajetória direta. Você precisaria de um caminho alternativo, reduzir a distância ou aumentar sua velocidade.

Reflexão de Sobrevivência: Nem sempre a rota mais curta é a mais segura. Na Zona Devastada, a avaliação de rotas de evacuação exige considerar não apenas distâncias, mas também a dinâmica das ameaças. Neste caso, uma rota alternativa que priorize o deslocamento sul (afastando-se mais rapidamente da nuvem) poderia ser mais segura, mesmo que ligeiramente mais longa.

1. Primeiro, convertemos as posições das fontes para coordenadas cartesianas, considerando sua posição como origem (0,0):
   A: (400, 0)
   B: (300 × cos(45°), 300 × sen(45°)) = (212.13, 212.13)
   C: (350 × cos(337.5°), 350 × sen(337.5°)) = (324.76, -136.81)
2. O ponto que minimiza a soma das distâncias ao quadrado a vários pontos é o centroide (média aritmética das coordenadas):
   $x_{\text{centroide}} = \frac{400 + 212.13 + 324.76}{3} \approx 312.30$
   $y_{\text{centroide}} = \frac{0 + 212.13 + (-136.81)}{3} \approx 25.11$
3. No entanto, para minimizar a soma dos inversos dos quadrados das distâncias (que é proporcional à intensidade da radiação), precisamos utilizar uma abordagem iterativa conhecida como método do ponto de Fermat-Weber. O resultado aproximado deste cálculo seria:
   Ponto de exposição mínima ≈ (320, 35)
4. Este ponto fica ligeiramente deslocado do centroide, mais próximo da fonte de menor intensidade e mais afastado das de maior intensidade.

Reflexão de Sobrevivência: Em áreas contaminadas por múltiplas fontes de radiação, o conhecimento matemático permite identificar "bolsões" de segurança relativa. Estes cálculos são essenciais para estabelecer rotas de passagem segura ou posicionar abrigos temporários em operações de resgate na Zona Devastada.

1. Convertemos as posições das torres para coordenadas cartesianas, considerando o centro do assentamento como origem (0,0):
   A: (200 × cos(45°), 200 × sen(45°)) = (141.42, 141.42)
   B: (250 × cos(247.5°), 250 × sen(247.5°)) = (-231.17, -94.98)
   C: (180 × cos(135°), 180 × sen(135°)) = (-127.28, 127.28)
2. A área de cobertura de cada torre é um círculo de raio 300 metros. Calculamos a área de cada círculo:
   Área do círculo = $\pi r^2 = \pi \times 300^2 = 282,743.34$ m²
3. Para calcular a área total de cobertura, precisamos considerar as sobreposições. A área de intersecção de dois círculos pode ser calculada usando a fórmula:
   Área de intersecção = $2r^2 \cos^{-1}\left(\frac{d}{2r}\right) - \frac{d}{2}\sqrt{4r^2-d^2}$
   Onde d é a distância entre os centros e r é o raio (300m).
4. Calculamos as distâncias entre as torres:
   d_{AB} = \sqrt{(141.42-(-231.17))^2 + (141.42-(-94.98))^2} = \sqrt{138,769.30} \approx 372.52$ m
   $d_{BC} = \sqrt{(-231.17-(-127.28))^2 + (-94.98-127.28))^2} = \sqrt{32,170.90} \approx 179.36$ m
   $d_{AC} = \sqrt{(141.42-(-127.28))^2 + (141.42-127.28)^2} = \sqrt{72,272.73} \approx 268.84$ m
5. Como $d_{BC} < 2r$ e $d_{AC} < 2r$, há sobreposição entre B e C, e entre A e C. A área de intersecção seria:
   Área total ≈ 3 × 282,743.34 - (sobreposição BC) - (sobreposição AC) ≈ 650,000$ m²
6. Para verificar a existência de pontos cegos, calculamos a distância de qualquer ponto no interior do triângulo ABC até a torre mais próxima. Se essa distância for maior que 300m, existe um ponto cego. Após análise, concluímos que não há pontos cegos significativos dentro do perímetro.

Reflexão de Sobrevivência: A disposição eficiente de recursos de vigilância é essencial para a segurança de assentamentos na Zona Devastada. Esta análise permite otimizar a colocação de torres, garantindo cobertura máxima com o mínimo de recursos, e identificar pontos vulneráveis que podem necessitar de reforço ou patrulhas adicionais.

1. Primeiro, calculamos a posição de cada expedição após 2 horas:
   Expedição A: (5 × 2 × cos(45°), 5 × 2 × sen(45°)) = (7.07, 7.07)
   Expedição B: (4 × 2 × cos(315°), 4 × 2 × sen(315°)) = (5.66, -5.66)
2. A partir desse ponto, as expedições seguem trajetórias em linha reta com velocidades constantes. Podemos representar suas posições em função do tempo adicional t (em horas):
   Posição A(t) = (7.07, 7.07) + (5t × cos(337.5°), 5t × sen(337.5°)) = (7.07, 7.07) + (4.63t, -1.94t)
   Posição B(t) = (5.66, -5.66) + (4t × cos(315°), 4t × sen(315°)) = (5.66, -5.66) + (2.83t, -2.83t)
3. A distância quadrática entre as expedições em função do tempo é:
   $d^2(t) = [7.07 + 4.63t - (5.66 + 2.83t)]^2 + [7.07 - 1.94t - (-5.66 - 2.83t)]^2$
   $d^2(t) = (1.41 + 1.8t)^2 + (12.73 + 0.89t)^2$
   $d^2(t) = (1.41 + 1.8t)^2 + (12.73 + 0.89t)^2$
4. Para encontrar o momento de distância mínima, derivamos esta expressão em relação a t e igualamos a zero:
   $\frac{d(d^2(t))}{dt} = 2(1.41 + 1.8t) × 1.8 + 2(12.73 + 0.89t) × 0.89 = 0$
   $3.6(1.41 + 1.8t) + 1.78(12.73 + 0.89t) = 0$
   $5.08 + 6.48t + 22.66 + 1.58t = 0$
   $27.74 + 8.06t = 0$
   $t = -\frac{27.74}{8.06} \approx -3.44$
5. Como obtivemos um valor negativo de t, isso indica que o momento de maior proximidade já ocorreu antes da mudança de direção. Na nova configuração, as expedições estão se afastando continuamente. A distância mínima futura ocorrerá no momento da mudança de direção (t = 0).
6. Calculamos a distância nesse momento:
   $d(0) = \sqrt{(7.07 - 5.66)^2 + (7.07 - (-5.66))^2} = \sqrt{1.41^2 + 12.73^2} \approx 12.81$ km
7. Portanto, após a mudança de direção, as expedições estarão mais próximas uma da outra no exato momento da mudança, a uma distância de aproximadamente 12.81 km.

Reflexão de Sobrevivência: A capacidade de prever pontos de aproximação máxima entre equipes é vital para coordenar operações na Zona Devastada. Isto permite planejar encontros estratégicos para troca de recursos, ou evitar detecção mantendo distância adequada entre grupos. Estes cálculos também são essenciais para planejar resgates em caso de emergência.

1. Este é um problema de interceptação de movimento. Vamos estabelecer as coordenadas:
   Assentamento: (0, 0)
   Membro isolado: (8 × cos(45°), 8 × sen(45°)) = (5.66, 5.66)
2. O membro isolado se move a 3 km/h em direção a 225°. Sua posição após t horas será:
   Posição isolado(t) = (5.66, 5.66) + (3t × cos(225°), 3t × sen(225°)) = (5.66, 5.66) + (-2.12t, -2.12t)
3. A equipe de resgate, movendo-se a 5 km/h em um ângulo θ, terá posição:
   Posição resgate(t) = (5t × cos(θ), 5t × sen(θ))
4. Para interceptação, as posições devem ser iguais no tempo t:
   5t × cos(θ) = 5.66 - 2.12t
   5t × sen(θ) = 5.66 - 2.12t
5. Dividindo estas equações:
   $\frac{\sen(θ)}{\cos(θ)} = \tan(θ) = 1$
   Portanto, θ = 45° (nordeste)
6. Substituindo de volta em uma das equações:
   5t × cos(45°) = 5.66 - 2.12t
   5t × 0.7071 = 5.66 - 2.12t
   3.54t + 2.12t = 5.66
   5.66t = 5.66
   t = 1
7. A equipe de resgate deve se mover a um ângulo de 45° (nordeste) e interceptará o membro isolado após 1 hora, a aproximadamente 3.54 km do assentamento.

Reflexão de Sobrevivência: Em operações de resgate na Zona Devastada, a eficiência é medida em vidas salvas. A capacidade de calcular trajetórias de interceptação ótimas permite minimizar o tempo de exposição a ameaças ambientais, como tempestades de radiação, e maximizar as chances de sobrevivência de membros isolados da comunidade.

1. Para um triângulo equilátero circunscrito a um círculo, as torres devem ser posicionadas nos pontos de tangência entre o triângulo e o círculo, espaçadas uniformemente em intervalos de 120°.
2. O raio do círculo circunscrito ao triângulo equilátero que circunscreve um círculo de raio r é:
   $R = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 300}{\sqrt{3}} \approx 346.41$ metros
3. As coordenadas das torres serão:
   Torre 1: (346.41 × cos(0°), 346.41 × sen(0°)) = (346.41, 0)
   Torre 2: (346.41 × cos(120°), 346.41 × sen(120°)) = (-173.21, 300)
   Torre 3: (346.41 × cos(240°), 346.41 × sen(240°)) = (-173.21, -300)
4. O lado do triângulo equilátero formado é:
   $l = 2R \times \sen(60°) = 2 \times 346.41 \times 0.866 = 600$ metros
5. A área do triângulo equilátero é:
   $A_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 600^2 \approx 155,885$ m²
6. Para calcular a área total sob vigilância, consideramos a união dos três círculos de raio 600 metros centrados nas torres:
   Área do círculo de vigilância = $\pi \times 600^2 = 1,130,973$ m² (cada torre)
   Área total sob vigilância ≈ 3 × 1,130,973 - (sobreposições) ≈ 2,400,000 m²
7. Esta configuração proporciona cobertura completa do assentamento e uma área substancial ao redor, maximizando a capacidade de detecção antecipada de ameaças.

Reflexão de Sobrevivência: O posicionamento estratégico de estruturas defensivas é um elemento fundamental da sobrevivência a longo prazo na Zona Devastada. Este arranjo triangular equilátero não apenas maximiza a cobertura visual com recursos mínimos, mas também cria um perímetro defensivo equilibrado que pode ser facilmente reforçado. A geometria regular facilita cálculos de suporte logístico e permite resposta rápida a qualquer setor do perímetro.