REFÚGIO-TEC | REVISÃO MATEMÁTICA DE SOBREVIVÊNCIA

1. Somamos as frações para cada recurso separadamente:
   Para a água: $\frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{6}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ de um tanque
   Para o RemoveRad: $\frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ de um contêiner
2. Verificamos se as frações podem ser simplificadas:
   $\frac{7}{8}$ já está na forma mais simplificada.
   $\frac{7}{10} = \frac{7}{10}$ (não podemos simplificar mais)

Reflexão de Sobrevivência: O gerenciamento eficiente de recursos fracionários é essencial em um cenário de escassez. A capacidade de calcular rapidamente o total disponível permite planejar missões futuras e determinar quanto tempo seus suprimentos durarão antes que seja necessário arriscar outra expedição à Zona Devastada.

1. Aplicamos o princípio de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180°$:
   $35° + 65° + x = 180°$
2. Isolamos a variável $x$:
   $x = 180° - 35° - 65° = 180° - 100° = 80°$

Reflexão de Sobrevivência: A triangulação é uma habilidade crucial para navegação e localização de recursos na Zona Devastada. Ângulos agudos (menores que 90°) geralmente indicam distâncias maiores entre pontos, o que pode significar maior exposição à radiação durante o deslocamento. Neste caso, com um ângulo de 80°, a equipe enfrentará um risco moderado, mas uma rota direta pode ser traçada.

1. Calculamos os valores trigonométricos:
   $\sin(30°) = \frac{1}{2} = 0.5$
   $\cos(60°) = \frac{1}{2} = 0.5$
2. Estabelecemos as proporções:
   Mutantes pequenos: $\frac{3}{5}$ do total de ameaças
   Mutantes grandes: $\frac{2}{5}$ do total de ameaças
3. Calculamos a eficiência geral usando média ponderada:
   Eficiência geral = $0.5 \times \frac{3}{5} + 0.5 \times \frac{2}{5} = \frac{0.5 \times 3 + 0.5 \times 2}{5} = \frac{0.5 \times 5}{5} = 0.5$ ou $50\%$

Reflexão de Sobrevivência: Uma eficiência de 50% é preocupante. Na Zona Devastada, sistemas de defesa com menos de 75% de eficiência são considerados vulneráveis. Recomenda-se melhorar o sistema ou limitar explorações a áreas com menor incidência de Mutantes até que o sistema seja aprimorado.

1. Montamos um sistema de equações com as informações dadas:
   $(2x + 3y) + (x - 2y) + (4x + 4y) = 210$
   $(3x - y) + (4x + 2y) + (2x + 4y) = 225$
2. Simplificamos a primeira equação:
   $7x + 5y = 210$ (Equação 1)
3. Simplificamos a segunda equação:
   $9x + 5y = 225$ (Equação 2)
4. Subtraímos a Equação 1 da Equação 2:
   $2x = 15$
5. Resolvemos para $x$:
   $x = 7.5$
6. Substituímos na Equação 1 para encontrar $y$:
   $7(7.5) + 5y = 210$
   $52.5 + 5y = 210$
   $5y = 157.5$
   $y = 31.5$
7. Calculamos os recursos para cada abrigo:
   Abrigo 1: $(2 \times 7.5 + 3 \times 31.5) + (3 \times 7.5 - 31.5) = 15 + 94.5 + 22.5 - 31.5 = 100.5$ unidades
   Abrigo 2: $(7.5 - 2 \times 31.5) + (4 \times 7.5 + 2 \times 31.5) = 7.5 - 63 + 30 + 63 = 37.5$ unidades
   Abrigo 3: $(4 \times 7.5 + 4 \times 31.5) + (2 \times 7.5 + 4 \times 31.5) = 30 + 126 + 15 + 126 = 297$ unidades

Conclusão: O Abrigo 3 recebe significativamente mais recursos (297 unidades) do que os outros abrigos.

Reflexão de Sobrevivência: A distribuição desproporcional de recursos pode levar a tensões entre comunidades na Zona Devastada. Para manter alianças estáveis, uma redistribuição mais equilibrada deve ser considerada, embora o Abrigo 3 possivelmente tenha mais sobreviventes ou esteja em uma situação mais crítica.

1. Verificamos se os ângulos formam um triângulo válido:
   $40° + 60° + 80° = 180°$ ✓
2. Usamos a Lei dos Senos para encontrar os outros lados. Designamos o lado AB = 120m, e os ângulos opostos aos lados a, b, c como A, B, C:
   $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$
3. Como sabemos que AB = c = 120m (oposto ao ângulo C = 80°), podemos calcular os outros lados:
   $\frac{a}{\sin(40°)} = \frac{120}{\sin(80°)}$
   $a = \frac{120 \times \sin(40°)}{\sin(80°)} = \frac{120 \times 0.6428}{0.9848} \approx 78.26$ metros
   $\frac{b}{\sin(60°)} = \frac{120}{\sin(80°)}$
   $b = \frac{120 \times \sin(60°)}{\sin(80°)} = \frac{120 \times 0.866}{0.9848} \approx 105.64$ metros
4. Calculamos o perímetro total:
   Perímetro = a + b + c = 78.26 + 105.64 + 120 = 303.9$ metros

Reflexão de Sobrevivência: O conhecimento de geometria e trigonometria é indispensável para o planejamento de perímetros defensivos. Com um perímetro de aproximadamente 304 metros, você precisará de pelo menos 310 metros de cerca para garantir a segurança, considerando sobreposições nas junções. Estime também os recursos necessários: postes a cada 3 metros significaria aproximadamente 102 postes.

1. Calculamos as larguras nos pontos dados:
   No ponto inicial: $x + 2y = 8 + 2(3) = 8 + 6 = 14$ metros
   500 metros rio abaixo: $2x - y = 2(8) - 3 = 16 - 3 = 13$ metros
2. Estabelecemos a equação linear da largura $L$ em função da distância $d$:
   $L(d) = ad + b$, onde $a$ é a taxa de variação e $b$ é a largura inicial
3. Calculamos $a$ usando os pontos conhecidos:
   $a = \frac{13 - 14}{500 - 0} = \frac{-1}{500} = -0.002$ metros/metro
4. Encontramos $b$ (largura inicial):
   $b = 14$ metros
5. Portanto, a equação da largura do rio é:
   $L(d) = -0.002d + 14$
6. Para descobrir onde a largura é menor ou igual a 25 metros:
   Como a largura está diminuindo rio abaixo (inclinação negativa) e já começa com 14 metros, que é menor que 25 metros, você pode construir a ponte em qualquer ponto.

Análise Estratégica: A largura do rio está diminuindo gradualmente rio abaixo (a taxa é de -0.002 metros por metro percorrido). Como a largura inicial já é de 14 metros e sua ponte pode cobrir até 25 metros, você pode construir a ponte em qualquer ponto do rio. No entanto, a decisão mais estratégica seria construir próximo ao início, pois isso minimizaria a distância total de deslocamento. Considere também outros fatores como cobertura contra ameaças e estabilidade das margens.

1. Calculamos a área inicial do abrigo:
   Área = $\frac{1}{2} \times x \times y = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54$ m²
2. Determinamos a nova área após expansão de 50%:
   Nova área = $54 \times 1.5 = 81$ m²
3. Para manter a mesma forma, os catetos precisam manter a proporção original:
   $\frac{x'}{x} = \frac{y'}{y} = k$, onde $k$ é o fator de escala linear
4. Como a área é proporcional ao quadrado das dimensões lineares:
   $\frac{\text{Nova área}}{\text{Área original}} = k^2 = 1.5$
5. Calculamos o fator de escala $k$:
   $k = \sqrt{1.5} \approx 1.225$
6. Determinamos as novas dimensões:
   $x' = k \times x = 1.225 \times 12 = 14.7$ metros
   $y' = k \times y = 1.225 \times 9 = 11.025$ metros
7. Calculamos as hipotenusas usando o Teorema de Pitágoras:
   Hipotenusa original = $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ metros
   Nova hipotenusa = $\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = \sqrt{14.7^2 + 11.025^2} = \sqrt{216.09 + 121.55} = \sqrt{337.64} \approx 18.38$ metros
   Alternativamente: Nova hipotenusa = $k \times$ Hipotenusa original = $1.225 \times 15 = 18.375$ metros

Reflexão de Sobrevivência: A expansão proporcional é eficiente em termos de recursos, pois permite reutilizar os mesmos padrões de construção. No entanto, um aumento de 50% na área requer aproximadamente 22.5% mais material no perímetro (fator $k$). Verifique se os materiais disponíveis são suficientes antes de iniciar a expansão e considere também se a área de 81 m² será adequada para o número adicional de sobreviventes, considerando o mínimo de 4 m² por pessoa para condições aceitáveis.

1. Modelamos a quantidade de partículas após cada estágio:
   Após o 1º estágio: $x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x$ partículas
   Após o 2º estágio: $\frac{1}{3}x - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}x = \frac{1}{3}x \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}x$ partículas
   Após o 3º estágio: $\frac{1}{12}x - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{12}x = \frac{1}{12}x \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{60}x$ partículas
2. Para que a água seja segura, o número final de partículas deve ser menor ou igual a 10:
   $\frac{1}{60}x \leq 10$
3. Resolvemos para x:
   $x \leq 10 \cdot 60 = 600$

Reflexão de Sobrevivência: A água da Zona Devastada pode conter até 600 partículas por litro para ser adequadamente filtrada pelo seu sistema atual. Se você encontrar fontes com contaminação maior, precisará aumentar a eficiência dos filtros ou realizar múltiplas filtragens. É recomendável manter um contador Geiger-Müller calibrado para partículas em solução aquosa para verificar tanto a entrada quanto a saída do sistema de filtração, garantindo que não ultrapasse o limite seguro de 10 partículas por litro.

1. Definimos as coordenadas dos abrigos:
   Alpha: $(0, 0)$
   Beta: $(8, 0)$
   Gamma: $(0, 6)$
2. Convertemos as direções em ângulos no sistema de coordenadas:
   De Alpha: $35°$ nordeste = $35°$ no 1º quadrante
   De Beta: $65°$ noroeste = $65° + 180° = 245°$ no 3º quadrante
   De Gamma: $42°$ sudeste = $90° + 42° = 132°$ no 2º quadrante
3. Estabelecemos equações vetoriais para cada direção:
   De Alpha: $(x, y) = d_A \cdot (\cos(35°), \sin(35°)) = d_A \cdot (0.8192, 0.5736)$
   De Beta: $(x, y) - (8, 0) = d_B \cdot (\cos(245°), \sin(245°)) = d_B \cdot (-0.4226, -0.9063)$
   De Gamma: $(x, y) - (0, 6) = d_C \cdot (\cos(132°), \sin(132°)) = d_C \cdot (-0.6691, 0.7431)$
4. Isolamos as equações da primeira direção:
   $x = 0.8192 \cdot d_A$
   $y = 0.5736 \cdot d_A$
5. Substituímos nas equações da segunda direção:
   $0.8192 \cdot d_A - 8 = -0.4226 \cdot d_B$
   $0.5736 \cdot d_A = -0.9063 \cdot d_B$
6. Da segunda equação:
   $d_B = \frac{-0.5736 \cdot d_A}{0.9063} = -0.6329 \cdot d_A$
7. Substituímos na primeira equação:
   $0.8192 \cdot d_A - 8 = -0.4226 \cdot (-0.6329 \cdot d_A)$
   $0.8192 \cdot d_A - 8 = 0.2675 \cdot d_A$
   $0.5517 \cdot d_A = 8$
   $d_A = \frac{8}{0.5517} = 14.5$
8. Calculamos as coordenadas do artefato:
   $x = 0.8192 \cdot 14.5 = 11.88$
   $y = 0.5736 \cdot 14.5 = 8.32$
9. Verificamos com a terceira direção:
   $(11.88, 8.32) - (0, 6) = (11.88, 2.32)$
   Este vetor deve ter direção $132°$
   $\tan^{-1}(\frac{2.32}{11.88}) \approx 11°$
10. Como os ângulos não correspondem, precisamos usar outras técnicas, como encontrar o ponto de intersecção das três direções para triangular com mais precisão.

Reflexão de Sobrevivência: A triangulação é uma técnica vital na Zona Devastada, mas está sujeita a erros devido a interferências, especialmente com artefatos de origem desconhecida. Quando as três linhas não se encontram em um único ponto, considere a distância mais curta entre elas ou a área do triângulo formado pelas intersecções para estimar a zona de busca. Recomenda-se enviar uma equipe pequena e bem equipada para verificação, mantendo comunicação constante com os três abrigos para refinamento da localização em tempo real.

1. Modelamos o problema: a equipe vai do ponto $(0, 0)$ ao ponto $(a, 0)$ de veículo, depois do ponto $(a, 0)$ ao ponto $(12, 8)$ a pé.
2. Calculamos o tempo de viagem de veículo:
   $t_{\text{veículo}} = \frac{a}{5}$ horas
3. Calculamos a distância a pé:
   $d_{\text{pé}} = \sqrt{(12-a)^2 + 8^2} = \sqrt{(12-a)^2 + 64}$
4. Calculamos o tempo de viagem a pé:
   $t_{\text{pé}} = \frac{d_{\text{pé}}}{3} = \frac{\sqrt{(12-a)^2 + 64}}{3}$
5. O tempo total é a soma dos dois tempos:
   $T(a) = \frac{a}{5} + \frac{\sqrt{(12-a)^2 + 64}}{3}$
6. Para minimizar o tempo, derivamos e igualamos a zero:
   $\frac{dT}{da} = \frac{1}{5} - \frac{2(12-a)}{6\sqrt{(12-a)^2 + 64}} = 0$
7. Resolvemos a equação:
   $\frac{1}{5} = \frac{12-a}{3\sqrt{(12-a)^2 + 64}}$
   $\frac{3\sqrt{(12-a)^2 + 64}}{5} = 12-a$
   $\frac{3\sqrt{(12-a)^2 + 64}}{5(12-a)} = 1$
   $\frac{9[(12-a)^2 + 64]}{25(12-a)^2} = 1$
   $9[(12-a)^2 + 64] = 25(12-a)^2$
   $9(12-a)^2 + 576 = 25(12-a)^2$
   $576 = 16(12-a)^2$
   $36 = 4(12-a)^2$
   $9 = (12-a)^2$
   $3 = |12-a|$
   
8. Como $a < 12$ neste contexto (não faz sentido passar do ponto do sobrevivente), temos:
   $12-a = 3$
   $a = 9$
9. Calculamos o tempo mínimo:
   $T(9) = \frac{9}{5} + \frac{\sqrt{(12-9)^2 + 64}}{3} = \frac{9}{5} + \frac{\sqrt{9 + 64}}{3} = \frac{9}{5} + \frac{\sqrt{73}}{3}$
   $T(9) = 1.8 + \frac{\sqrt{73}}{3} \approx 1.8 + 2.85 = 4.65$ horas
10. Expressamos usando proporções trigonométricas. Considerando um triângulo retângulo com catetos 3 e 8:
    $\sin(\theta) = \frac{8}{\sqrt{3^2 + 8^2}} = \frac{8}{\sqrt{73}}$
    $\cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{73}}$
    $\tan(\theta) = \frac{8}{3}$
11. O tempo de viagem pode ser expresso como:
    $T_{min} = \frac{9}{5} + \frac{\sqrt{73}}{3} = \frac{9}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{73} \cdot \sqrt{73}}{\sqrt{73}} = \frac{9}{5} + \frac{73}{3\sqrt{73}} = \frac{9}{5} + \frac{73}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{73}}$
    $T_{min} = \frac{9}{5} + \frac{73}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{73}} = \frac{9}{5} + \frac{73}{3\sqrt{73}}$

Reflexão de Sobrevivência: Esta análise de otimização é crucial em missões de alto risco na Zona Devastada, onde a eficiência temporal pode significar a diferença entre vida e morte. O ponto ótimo para transição entre veículo e deslocamento a pé está a 9 km da base, resultando em um tempo total aproximado de 4 horas e 39 minutos. O princípio aplicado aqui - balancear diferentes ritmos de movimento em diferentes terrenos - é fundamental para qualquer operação de sobrevivência e pode ser generalizado para outras missões com restrições semelhantes.