1. Identifique as quantidades envolvidas: 3 caixas, cada uma com $a$ latas e $b$ pacotes
2. Como cada caixa contém $a$ latas, o total de latas é $3 \times a = 3a$
3. Como cada caixa contém $b$ pacotes, o total de pacotes é $3 \times b = 3b$
4. O total de suprimentos será a soma dos dois: $3a + 3b$
5. Aplicando a propriedade distributiva ao contrário: $3a + 3b = 3(a + b)$

Reflexão de Sobrevivência: A propriedade distributiva permite calcular rapidamente recursos totais, essencial quando você precisa inventariar suprimentos sob pressão ou com luz limitada nas Zonas Devastadas.

1. O total enviado é a soma do que foi para cada posto: $(2x + 3y) + (3x + 4y)$
2. Agrupe os termos semelhantes: $2x + 3x + 3y + 4y$
3. Combine os termos semelhantes: $5x + 7y$
4. Outra forma de visualizar é verificar se há fatores comuns: $5x + 7y = x(5) + y(7)$
5. Neste caso, não há fator comum para fatorar completamente

Reflexão de Sobrevivência: Saber simplificar expressões algébricas ajuda a gerenciar recursos de forma eficiente - crucial quando cada erro de cálculo pode significar a diferença entre sobrevivência e escassez.

1. Aplique a propriedade distributiva ao primeiro termo: $2(x + 3) = 2x + 6$
2. Aplique a propriedade distributiva ao segundo termo: $-4(2x - 1) = -8x + 4$
3. Substitua na expressão original: $2(x + 3) - 4(2x - 1) = (2x + 6) + (-8x + 4)$
4. Combine os termos: $2x + 6 - 8x + 4 = 2x - 8x + 6 + 4$
5. Simplifique: $-6x + 10$

Reflexão de Sobrevivência: Um erro na aplicação da propriedade distributiva poderia resultar em uma defesa insuficiente. Mutantes e saqueadores exploram falhas de cálculo.

1. Aplique a propriedade da multiplicação de potências de mesma base: $2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5$
2. Agora divida pelo denominador: $(2^5) \div 2^4 = 2^{5-4} = 2^1$
3. Calcule o resultado final: $2^1 = 2$

Reflexão de Sobrevivência: Compreender as leis de potências é essencial para calcular decaimento radioativo. Um erro pode levar um grupo a entrar em uma zona letal acreditando estar segura. Os sobreviventes que dominam estes cálculos sobrevivem por mais tempo.

1. Aplique a fórmula do cubo de um binômio: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
2. Substitua $a = x$ e $b = 2$: $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + (2)^3$
3. Simplifique: $(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Reflexão de Sobrevivência: Saber calcular volumes com precisão permite otimizar o espaço para armazenar suprimentos e abrigar sobreviventes. Um erro de cálculo pode significar que não haverá espaço suficiente para o gerador ou para o sistema de filtração de água.

1. Agrupe as variáveis com a mesma base: $(x^3y^2) \times (x^2y^4) = (x^3 \times x^2)(y^2 \times y^4)$
2. Aplique a propriedade da multiplicação de potências de mesma base: $x^3 \times x^2 = x^{3+2} = x^5$
3. Da mesma forma para $y$: $y^2 \times y^4 = y^{2+4} = y^6$
4. Combine os resultados: $(x^3y^2) \times (x^2y^4) = x^5y^6$

Reflexão de Sobrevivência: A manipulação eficiente de expressões com potências permite calibrações rápidas de equipamentos em situações de emergência. Quando o sistema de filtração falha, cada segundo calculando é um segundo sem água potável.

1. A área do retângulo é o produto das dimensões: $A = (x + 5)(x - 2)$
2. Use o produto notável $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
3. Aplique substituindo os valores: $(x + 5)(x - 2) = x \cdot x + x \cdot (-2) + 5 \cdot x + 5 \cdot (-2)$
4. Simplifique: $(x + 5)(x - 2) = x^2 - 2x + 5x - 10$
5. Combine os termos semelhantes: $x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10$

Reflexão de Sobrevivência: Conhecer produtos notáveis permite calcular rapidamente áreas seguras para cultivo em zonas parcialmente contaminadas. A diferença entre colheita e fome pode ser um simples cálculo algébrico.

1. Use a fórmula do quadrado da diferença: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
2. Substitua $a = x$ e $b = 7$: $(x - 7)^2 = x^2 - 2(x)(7) + 7^2$
3. Calcule: $(x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49$

Reflexão de Sobrevivência: Os produtos notáveis economizam tempo precioso em cálculos de engenharia na Zona Devastada. Conhecer esses padrões pode ser a diferença entre uma estrutura que resiste a uma tempestade radioativa e uma que colapsa.

1. Identifique o padrão como produto da soma pela diferença: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
2. Substitua $a = 2x$ e $b = 3$: $(2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - 3^2$
3. Calcule: $(2x + 3)(2x - 3) = 4x^2 - 9$

Reflexão de Sobrevivência: Dominar este produto notável permite calcular rapidamente capacidades de sistemas e otimizar a geração de energia em recursos limitados. Os sobreviventes com melhor compreensão algébrica têm maior chance de estabelecer infraestruturas funcionais na Zona Devastada.

1. Observe que o numerador pode ser fatorado usando o produto notável da diferença de quadrados: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$
2. Substitua no numerador: $\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}$
3. Simplifique, cancelando o fator comum $(x-3)$: $\frac{(x+3)(x-3)}{x-3} = x+3$
4. Note que esta simplificação é válida para $x \neq 3$, pois nesse caso teríamos divisão por zero

Reflexão de Sobrevivência: A capacidade de simplificar frações algébricas complexas é decisiva na produção de medicamentos anti-radiação. Um erro pode significar desperdício de reagentes escassos ou, pior, medicamentos ineficazes.

1. Expanda o cubo do primeiro binômio usando a fórmula $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$: $(2a + b)^3 = (2a)^3 + 3(2a)^2(b) + 3(2a)(b)^2 + b^3 = 8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3$
2. Expanda o quadrado do segundo binômio usando $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(3a - 2b)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2$
3. Substitua na expressão original: $(2a + b)^3 - (3a - 2b)^2 = (8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3) - (9a^2 - 12ab + 4b^2)$
4. Distribua o sinal negativo: $(2a + b)^3 - (3a - 2b)^2 = 8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3 - 9a^2 + 12ab - 4b^2$
5. Agrupe e combine termos semelhantes: $8a^3 + (12a^2b - 9a^2) + (6ab^2 + 12ab) + (b^3 - 4b^2)$
6. Simplifique: $8a^3 + (12b - 9)a^2 + (6b^2 + 12)ab + b^3 - 4b^2 = 8a^3 + (12b - 9)a^2 + 6ab(b + 2) + b^2(b - 4)$

Reflexão de Sobrevivência: Manipular expressões algébricas complexas é essencial no desenvolvimento de tecnologias avançadas nas Zonas Devastadas. Os sobreviventes que dominam estas técnicas podem criar sistemas mais eficientes com menos recursos.

1. Para uma equação do tipo $P(x) \cdot Q(x) = 0$, as soluções são encontradas quando $P(x) = 0$ ou $Q(x) = 0$
2. Fatore o primeiro termo: $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$
3. Para o segundo fator, $x^2 + 2x + 4$, tente completar quadrados: $x^2 + 2x + 4 = (x^2 + 2x + 1) + 3 = (x + 1)^2 + 3$
4. Como $(x + 1)^2 \geq 0$ para qualquer valor real de $x$, e somando 3 (positivo), temos que $x^2 + 2x + 4 > 0$ para todo $x$ real
5. Portanto, as soluções vêm apenas de $(x + 2)(x - 2) = 0$
6. Igualando a zero: $x + 2 = 0$ ou $x - 2 = 0$
7. Resolvendo: $x = -2$ ou $x = 2$

Reflexão de Sobrevivência: Resolver equações algébricas complexas pode revelar informações críticas sobre zonas seguras na superfície devastada. Um erro de cálculo pode levar uma expedição inteira a níveis letais de radiação.