Corrida Espacial Tardia (1973-1985)
Após a chegada à Lua, o foco se voltou para a permanência humana no espaço. A Skylab americana e a série Salyut soviética foram os primeiros laboratórios em órbita, marcando o início da era das estações espaciais e das missões de longa duração.
Gerenciamento de Sistemas Fechados
Manter astronautas vivos por meses exigia um controle sem precedentes de sistemas de suporte à vida. A circulação de ar, a dissipação de calor e o gerenciamento de fluidos se tornaram problemas críticos, modelados matematicamente por campos vetoriais, fluxo e divergência.
O fluxo \( \Phi \) de um campo vetorial \( \vec{F} \) através de uma superfície orientada \( S \) é a integral de superfície do componente normal de \( \vec{F} \).
\[ \Phi = \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS \]
Onde \( \vec{n} \) é o vetor normal unitário à superfície \(S\).
Interpretação Física:
Representa a taxa líquida com que um "fluido" (massa, calor, campo elétrico) atravessa uma superfície.Problema: Um fluido se move com velocidade constante \( \vec{v} \). Qual é o fluxo através de uma área \(A\) cujo vetor normal \( \vec{n} \) faz um ângulo \( \theta \) com \( \vec{v} \)?
O fluxo \( \Phi \) é a taxa de volume que passa por \( A \). Como \( \vec{v} \) é constante:
\[ \Phi = \iint_A \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS = (\vec{v} \cdot \vec{n}) \iint_A dS \]
Sabendo que \( \vec{v} \cdot \vec{n} = |\vec{v}||\vec{n}|\cos\theta = |\vec{v}|\cos\theta \), temos:
\[ \Phi = \underbrace{|\vec{v}| \cdot \text{Área}(A)}_{\text{Fluxo Máximo}} \cdot \cos\theta \]
O fluxo é máximo quando \( \theta = 0^\circ \) (área perpendicular ao fluxo) e nulo quando \( \theta = 90^\circ \) (área paralela ao fluxo).
Problema: Um sistema de ventilação gera um campo de velocidades \( \vec{v}(x, y, z) = \langle 0, 2, z \rangle \, \text{m/s} \). Calcule o fluxo de ar através de uma escotilha retangular no plano \( yz \), definida por \( 0 \le y \le 2 \) e \( 0 \le z \le 1 \).
O vetor normal à escotilha é \( \vec{n} = \langle 1, 0, 0 \rangle \). O ar flui na direção y/z, paralelo à superfície.
Como o campo vetorial \( \vec{v} \) é sempre perpendicular ao vetor normal \( \vec{n} \), o produto escalar é nulo em todos os pontos.
\[ \vec{v} \cdot \vec{n} = \langle 0, 2, z \rangle \cdot \langle 1, 0, 0 \rangle = 0 \]
Portanto, o fluxo é zero, pois o ar apenas "raspa" a superfície, sem atravessá-la.
\[ \Phi = \iint_S \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS = \iint_S 0 \, dS = 0 \]
A divergência de um campo vetorial \( \vec{F} = \langle P, Q, R \rangle \) é um campo escalar que mede a "taxa de expansão" do campo em um ponto.
\[ \text{div} \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \]
Interpretação Física (Fluxo por unidade de volume):
Seja \(E\) uma região sólida simples e \(S\) a superfície fronteira de \(E\), com orientação positiva (para fora). Seja \( \vec{F} \) um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em \(E\). Então:
\[ \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_E (\text{div} \vec{F}) \, dV \]
Interpretação: O fluxo total para fora de uma superfície fechada é igual à soma de todas as fontes e sumidouros dentro do volume delimitado por essa superfície.
Problema: Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo \( \vec{F}(x,y,z) = \langle 2x, 3y, 4z \rangle \) para fora da esfera unitária \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \).
1. Calcular a divergência:
\[ \text{div} \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(3y) + \frac{\partial}{\partial z}(4z) = 2 + 3 + 4 = 9 \]
2. Aplicar o Teorema:
\[ \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_E 9 \, dV = 9 \iiint_E dV \]
A integral \( \iiint_E dV \) é o volume da esfera de raio 1, que é \( \frac{4}{3}\pi \).
\[ \text{Fluxo} = 9 \times \left( \frac{4}{3}\pi (1)^3 \right) = 12\pi \]
Isto é muito mais simples do que calcular a integral de superfície diretamente.
Problema: Calcule o fluxo do campo \( \vec{F}(x,y,z) = \langle x, y, z^2 \rangle \) para fora do cilindro fechado \( x^2+y^2 \le 4 \), com \( 0 \le z \le 3 \).
1. Calcular a divergência:
\[ \text{div} \vec{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial (z^2)}{\partial z} = 1 + 1 + 2z = 2 + 2z \]
2. Aplicar o Teorema da Divergência:
\[ \Phi = \iiint_E (2+2z) \, dV \]
3. Usar coordenadas cilíndricas: \( dV = r \, dz \, dr \, d\theta \)
Os limites são: \( 0 \le \theta \le 2\pi \), \( 0 \le r \le 2 \), \( 0 \le z \le 3 \).
\[ \Phi = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^3 (2+2z) r \, dz \, dr \, d\theta \]
\[ = \int_0^{2\pi} d\theta \cdot \int_0^2 \left[ (2z+z^2)r \right]_0^3 \, dr = 2\pi \int_0^2 (6+9)r \, dr \]
\[ = 2\pi \int_0^2 15r \, dr = 30\pi \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^2 = 30\pi \left( \frac{4}{2} \right) = 60\pi \]
Controle Térmico da Estação Skylab (1973)
A Skylab sofria de superaquecimento. O calor gerado por equipamentos e astronautas (fontes de calor, \( \text{div} \vec{q} > 0 \)) precisava ser removido. O Teorema da Divergência conecta o total de calor gerado internamente (\( \iiint \text{div} \vec{q} \, dV \)) ao fluxo total de calor que deve ser irradiado para o espaço pela superfície da estação (\( \iint \vec{q} \cdot d\vec{S} \)). Engenheiros usaram esses princípios para projetar sistemas de refrigeração e radiadores.
Aplicações Contemporâneas: