Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Vetoriais

Cálculo Vetorial

O que são Funções Vetoriais?

Uma função vetorial é um mapeamento que associa:

Um ponto do $\mathbb{R}^n$ (domínio)
A um vetor no $\mathbb{R}^m$ (contradomínio)

Notação: $\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$

Do Unidimensional ao Multidimensional

Para compreender funções vetoriais, partamos do familiar:

Função Escalar: $f(x) = 2x$

Para cada número real $x$, obtemos um único número real $y$.

Função Vetorial: $\vec{F}(t) = (x(t), y(t), z(t))$

Para cada número real $t$, obtemos um vetor com múltiplas componentes.

Funções Vetoriais

Uma função vetorial é qualquer função que produz vetores como saída

Podem ter diferentes tipos de domínio, por exemplo:

$\vec{r}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ (curva no espaço)
$\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ (campo vetorial)
$\vec{G}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ (caso geral)

Funções Vetoriais: Uma Linguagem para Descrever o Movimento

Quando descrevemos o movimento de um objeto no espaço, precisamos especificar múltiplas informações simultaneamente. Em cada instante $t$, precisamos conhecer:

Sua posição em relação a diferentes eixos: $(x(t), y(t), z(t))$
Sua velocidade em cada direção: $(\dot{x}(t), \dot{y}(t), \dot{z}(t))$
As forças que atuam sobre ele: $\vec{F}(t) = (F_x(t), F_y(t), F_z(t))$

Exemplo Fundamental

1. Movimento Circular

\[\vec{r}(t) = (R\cos t, R\sin t)\]

Esta função descreve uma trajetória circular de raio R no plano.

Campo Gravitacional Terra-Lua

Visualização

Visualização Geométrica

Uma função vetorial $\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ pode ser interpretada de três formas complementares:

Como uma curva paramétrica: $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$
Como um campo vetorial: $\vec{F}(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$
Como uma transformação: $\vec{T}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$

Aplicações na Física

Campos Gravitacionais:

O campo gravitacional é uma função vetorial que associa a cada ponto do espaço um vetor força:

\[\vec{g}(x,y,z) = -G\frac{M}{r^3}(x,y,z)\]

Formalização Matemática

Uma função vetorial $\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ é um mapeamento que:

Recebe $n$ variáveis independentes: $(x_1, x_2, ..., x_n)$
Produz $m$ componentes: $(y_1, y_2, ..., y_m)$
De forma que: $\vec{F}(x_1, ..., x_n) = (f_1(x_1, ..., x_n), ..., f_m(x_1, ..., x_n))$

Campo Vetorial

Definição: Um campo vetorial $\vec{F}$ em um conjunto aberto $U \subseteq \mathbb{R}^n$ é uma função

$\vec{F}: U \to \mathbb{R}^n$

que associa a cada ponto $\vec{p} \in U$ um vetor $\vec{F}(\vec{p}) \in \mathbb{R}^n$

(⌐⊙_⊙) Entendeu? Não?! Nem eu. Calma!

Exemplo em $\mathbb{R}^2$:

$\vec{F}(x,y) = (x^2-y)\vec{i} + (x+y^2)\vec{j}$

Campo Vetorial: Um Caso Especial

Todo campo vetorial é uma função vetorial onde:

O domínio é um subconjunto de $\mathbb{R}^n$
O contradomínio é o mesmo $\mathbb{R}^n$

Mas nem toda função vetorial é um campo vetorial!

Exemplo: A trajetória de uma nave $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$

É uma função vetorial ($\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$)
Não é um campo vetorial (domínio diferente)

Campo Vetorial vs Função Vetorial

Função Vetorial $\vec{r}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$

Entrada: um número real $t$ (geralmente tempo)
Saída: um vetor em $\mathbb{R}^n$
Exemplo: trajetória de uma nave $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$

Campo Vetorial $\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$

Entrada: um ponto no espaço $(x,y,z)$
Saída: um vetor nesse ponto
Exemplo: campo gravitacional $\vec{F}(x,y,z)$ em cada ponto do espaço

Campo Vetorial: Uma Visão Intuitiva

Imagine o campo gravitacional ao redor de um planeta... 🌍

Em cada ponto do espaço, temos:

Uma direção da força gravitacional
Uma intensidade que varia com a distância

Isso é um campo vetorial!

Para cada ponto do espaço, associamos um vetor que representa a força.

Campos Vetoriais no Espaço

🌠 Campo gravitacional de sistemas planetários

☀️ Vento solar

🌍 Campo magnético terrestre

🛸 Trajetórias de naves espaciais

Que outros exemplos de campos vetoriais você consegue identificar na exploração espacial?

Pontos de Lagrange

Os pontos de Lagrange são posições no espaço onde as forças gravitacionais de dois corpos celestes e a força centrífuga se equilibram, permitindo que um objeto menor permaneça em uma posição relativamente estável.

L1: Localizado entre os dois corpos, útil para observações solares.
L2: Além do corpo menor, ideal para telescópios espaciais.
L3: Oposto ao corpo menor, do outro lado do corpo principal.
L4 e L5: Formam triângulos equiláteros com os dois corpos, conhecidos como pontos troianos.
L4 e L5 são naturalmente estáveis quando a razão de massa é menor que 0.0385 (critério de Routh). L1, L2 e L3 são instáveis e requerem correções periódicas de órbita.

Visualização Interativa dos pontos de Lagrange

Visualização

Para Refletir...

Imagine uma sonda espacial:

Como o campo gravitacional afeta sua trajetória?
O que acontece quando ela passa pelo ponto de Lagrange?

Estas questões nos levam a conceitos importantes:

Órbitas como curvas integrais
Pontos de equilíbrio no espaço

Aplicações na Exploração Espacial

Campos vetoriais são essenciais para:

Planejamento de trajetórias de naves espaciais
Análise do vento solar e seus efeitos
Estudo de campos magnéticos planetários
Previsão de órbitas de satélites

Limite e Continuidade

Definição formal: Uma função vetorial $\vec{F}: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ é contínua em $\vec{a}$ se:

\[\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} \vec{F}(\vec{x}) = \vec{F}(\vec{a})\]

Ou seja, para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que:

\[\|\vec{x} - \vec{a}\| < \delta \implies \|\vec{F}(\vec{x}) - \vec{F}(\vec{a})\| < \varepsilon\]

Interpretação Geométrica

Imagine um satélite em órbita:

Sua trajetória é descrita por uma função vetorial contínua $\vec{r}(t)$

\[\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}\]

A continuidade garante que não há "saltos" na trajetória

Exemplo: Trajetória de Lançamento

Considere a trajetória simplificada de um foguete:

\[\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} v_0t \\ h_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \end{pmatrix}\]

Onde:

$v_0$: velocidade inicial
$h_0$: altura inicial
$g$: aceleração da gravidade

Aplicação: Detecção de Falhas

Durante a corrida espacial, detectar descontinuidades era crucial:

Falhas em sensores
Interferências em sinais de rádio
Anomalias em trajetórias

Uma descontinuidade pode indicar:

\[\lim_{t \to t_0^-} \vec{F}(t) \neq \lim_{t \to t_0^+} \vec{F}(t)\]

Critério de Continuidade

Uma função vetorial $\vec{F}(x,y) = \begin{pmatrix} F_1(x,y) \\ F_2(x,y) \end{pmatrix}$ é contínua se e somente se:

Cada componente $F_1(x,y)$ e $F_2(x,y)$ é contínua

Exemplo: Campo gravitacional da Terra

\[\vec{g}(x,y,z) = -G\frac{M}{r^3}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\]

Derivadas Parciais

Para uma função $\mathbf{F}(x,y)$, definimos:

$\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{F}(x+h,y) - \mathbf{F}(x,y)}{h}$

$\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{F}(x,y+h) - \mathbf{F}(x,y)}{h}$

Interpretação: Taxa de variação em uma direção, mantendo as outras variáveis constantes

Visualização Geométrica

Derivada em x: "Fatia" perpendicular ao eixo y

Derivada em y: "Fatia" perpendicular ao eixo x

Aplicação: Trajetória Orbital

A missão Vostok 1 (1961) marcou a primeira vez que um ser humano orbitou a Terra. Em meio à Guerra Fria, os soviéticos precisavam garantir não só que Yuri Gagarin chegasse ao espaço, mas que retornasse em segurança - um desafio matemático sem precedentes.

Para este feito histórico, as derivadas parciais foram cruciais para:

Calcular variações de velocidade em diferentes direções
Otimizar consumo de combustível
Prever desvios de trajetória

Exemplo: Campo Gravitacional

Potencial gravitacional: $\phi(x,y,z) = -\frac{GM}{r}$

onde $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Calcule: $\frac{\partial \phi}{\partial x}$

Exercício: Órbita Lunar

Para uma órbita circular de raio R, temos a energia total:

$E(v,r) = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$

Calcule:

$\frac{\partial E}{\partial v}$ (variação com velocidade)
$\frac{\partial E}{\partial r}$ (variação com raio)

Derivadas Parciais de Campos Vetoriais

Para um campo vetorial $\vec{F}(x,y) = P(x,y)\hat{i} + Q(x,y)\hat{j}$, temos:

$\frac{\partial \vec{F}}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial Q}{\partial x}\hat{j}$

$\frac{\partial \vec{F}}{\partial y} = \frac{\partial P}{\partial y}\hat{i} + \frac{\partial Q}{\partial y}\hat{j}$

Exemplo: Campo de Vento Solar

Considere o campo de velocidade do vento solar:

$\vec{v}(x,y) = \frac{kx}{r^3}\hat{i} + \frac{ky}{r^3}\hat{j}$

onde $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ e $k$ é uma constante.

A derivada parcial em x é?

Esta derivada nos dá a taxa de variação do vento solar na direção x, crucial para prever a interação com satélites e escudos magnéticos.

Síntese e Conexões

Derivadas parciais medem variações em direções específicas
Fundamentais para análise de movimento orbital
Essenciais na análise de campos vetoriais (vento solar, campos magnéticos)
Base para otimização de trajetórias

Rotacional de um Campo Vetorial

O rotacional de um campo vetorial $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ é definido como:

$$ \nabla \times \vec{F} \;=\; \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} $$

Expandindo o determinante:

$$ \nabla \times \vec{F} \;=\; \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) $$

Intuição Física: "Efeito de Giro"

O rotacional mede a tendência de um campo vetorial "girar" ao redor de um ponto
Imagine um pequeno moinho colocado no fluido:

Se o moinho não gira → rotacional é zero
Se o moinho gira → rotacional é não-nulo

A direção do rotacional é o eixo de rotação
A magnitude indica a intensidade do giro

Analogia: Fluxo em Redemoinho

Pense na água escoando em direção a um ralo
Em certos pontos, forma-se um redemoinho (vórtice)
A velocidade de rotação desse vórtice está relacionada ao rotacional
Nos foguetes, esse comportamento ocorre em câmaras de combustão e motores

Interpretação: Anel de Fluxo

O rotacional pode ser interpretado observando um pequeno "anel" no espaço
Se o campo empurra esse anel com mais força de um lado que de outro, gerará rotação
A direção do rotacional aponta para o eixo em torno do qual o anel gira
Sua magnitude indica a intensidade desse giro

Entendendo a Componente Z do Rotacional

$$(\nabla \times \vec{F})_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}$$

Considere um pequeno anel no plano $xy$
$\frac{\partial F_y}{\partial x}$ - Como a componente $y$ varia ao longo de $x$
$\frac{\partial F_x}{\partial y}$ - Como a componente $x$ varia ao longo de $y$
A diferença dessas variações cria um torque que faz o anel girar em torno do eixo $z$

Visualização Interativa: Campo com Rotacional

Intensidade do Rotacional:

Aplicações na Exploração Espacial

Motores de Foguete: Análise de vórtices nas câmaras de combustão e turbobombas
Controle de Estabilidade: Entender como torques são gerados em satélites e espaçonaves
Dinâmica de Fluidos: Prever áreas de turbulência em sistemas propulsivos
Campos Magnéticos: Análise de campos magnéticos interplanetários

Exercício Conceitual

Pense em um campo de velocidade $\vec{V}$ gerado por um ventilador no centro de uma sala:

Onde você esperaria encontrar o rotacional mais intenso?
Qual seria a direção do vetor rotacional nesses pontos?
Existem pontos onde o rotacional seria zero? Por quê?

Estas perguntas não exigem cálculos, apenas interpretação física do conceito.

Problema 1: Campo com Rotacional não Nulo

Considere o campo vetorial que modela um redemoinho em torno do eixo z:

$\vec{F}(x,y,z) = (-y, x, 0)$

Calcule o rotacional deste campo e interprete fisicamente o resultado.

Dica: Visualize o movimento circular em torno do eixo z e observe o padrão de "giro".

Solução: Campo com Rotacional não Nulo

Calculando o rotacional de $\vec{F}(x,y,z) = (-y, x, 0)$:

$\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -y & x & 0 \end{vmatrix}$

$\nabla \times \vec{F} = \hat{i}\left(\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}\right) + \hat{j}\left(\frac{\partial -y}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) + \hat{k}\left(\frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial -y}{\partial y}\right)$

$\nabla \times \vec{F} = \hat{i}(0 - 0) + \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(1 - (-1)) = \hat{k}(2) = (0, 0, 2)$

Interpretação física: O rotacional aponta no eixo z com magnitude 2, indicando uma rotação no sentido anti-horário em torno deste eixo. Esse campo tem vorticidade constante, como um fluido girando uniformemente.

Problema 2: Campo Irrotacional

Considere o campo vetorial radial:

$\vec{F}(x,y,z) = (x, y, z)$

Calcule o rotacional deste campo e explique por que ele é irrotacional. Encontre uma função potencial φ tal que $\vec{F} = \nabla \phi$.

Dica: Campos gradientes são sempre irrotacionais.

Solução: Campo Irrotacional

Calculando o rotacional de $\vec{F}(x,y,z) = (x, y, z)$:

$\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x & y & z \end{vmatrix}$

$\nabla \times \vec{F} = \hat{i}\left(\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z}\right) + \hat{j}\left(\frac{\partial x}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x}\right) + \hat{k}\left(\frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y}\right)$

$\nabla \times \vec{F} = \hat{i}(0 - 0) + \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(0 - 0) = (0, 0, 0)$

Função potencial: $\phi(x,y,z) = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{2}$

Verificação: $\nabla \phi = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}\right) = (x, y, z) = \vec{F}$

Interpretação: O rotacional é zero em todos os pontos, portanto não há tendência de "giro". Este campo representa um fluxo puramente expansivo, apontando radialmente para fora a partir da origem.

Futuro: Teorema de Stokes

O rotacional se conecta com outros conceitos através do Teorema de Stokes:

$\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{n} \, dS$

Este teorema relaciona a circulação do campo ao longo de uma curva fechada com o fluxo do rotacional através da superfície delimitada por esta curva.

Síntese: O Que é o Rotacional?

Conceito Físico: Mede a tendência de "giro" de um campo vetorial em um ponto
Representação: Vetor cuja direção indica o eixo de rotação e magnitude indica a intensidade
Formalismo: $\nabla \times \vec{F}$ captura variações perpendiculares das componentes do campo
Contexto Prático: Fundamental em aerodinâmica, motores de foguetes, campos magnéticos
Legado Histórico: Impulsionado pela necessidade de dominar fluidos e campos para a exploração espacial

Divergente de um Campo Vetorial

O divergente de um campo vetorial tridimensional $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ é definido como:

$$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

Onde $\nabla$ (nabla) é o operador diferencial vetorial:

$$\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$$

Interpretação Intuitiva

O divergente mede o quanto um campo vetorial se comporta como fonte ou sumidouro em um ponto específico.

Pensando em Fluxo

Imagine o campo vetorial como o fluxo de um fluido:

Divergente Positivo: O fluido está "saindo" do ponto (fonte)
Divergente Negativo: O fluido está "entrando" no ponto (sumidouro)
Divergente Zero: Tanto entra quanto sai a mesma quantidade de fluido

Visualização com um Cubinho

Considere um pequeno cubo ao redor de um ponto:

O divergente mede a taxa líquida de fluxo saindo das faces do cubo, quando seu volume tende a zero.

Campo com Divergente Positivo

Um campo vetorial radial para fora: $\vec{F}(x,y,z) = (x, y, z)$

Divergente: $\nabla \cdot \vec{F} = 3$ (constante positiva)

As linhas de campo se afastam do ponto central - comportamento de fonte.

Campo com Divergente Negativo

Um campo vetorial radial para dentro: $\vec{F}(x,y,z) = (-x, -y, -z)$

Divergente: $\nabla \cdot \vec{F} = -3$ (constante negativa)

As linhas de campo convergem para o ponto central - comportamento de sumidouro.

Campo com Divergente Zero

Um campo de rotação: $\vec{F}(x,y,z) = (-y, x, 0)$

Divergente: $\nabla \cdot \vec{F} = 0$

O fluxo circula em torno da origem - não há criação nem destruição de fluxo.

Por que a Fórmula Funciona?

Considere a componente-x do campo atuando nas faces perpendiculares ao eixo-x:

A diferença entre o valor de $F_x$ nas faces é aproximadamente $\frac{\partial F_x}{\partial x} \Delta x$

Somando todas as direções

A taxa líquida de fluxo por unidade de volume é:

$$\nabla \cdot \vec{F} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{\text{Fluxo Líquido}}{\Delta V}$$

Que resulta exatamente na soma das derivadas parciais:

$$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

Conexão com a Lei de Gauss

O Teorema da Divergência (Gauss) relaciona o divergente de um campo vetorial em um volume com o fluxo através da superfície que o envolve:

$$\iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) \, dV = \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS$$

Esta relação é fundamental na eletrostática, magnetismo e dinâmica de fluidos - áreas críticas para o desenvolvimento aeroespacial durante a Guerra Fria.

Este assunto será abordado com detalhes no futuro!

Exercício Prático

Calcule o divergente do campo gravitacional:

$$\vec{g}(x,y,z) = -G\frac{M}{r^3} \vec{r}$$

Onde $\vec{r} = (x, y, z)$ e $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Dica: Para pontos fora da massa $M$, qual o valor esperado para o divergente?

Solução

Para o campo gravitacional:

$$\vec{g}(x,y,z) = -G\frac{M}{r^3} \vec{r} = -G\frac{M}{r^3} (x, y, z)$$

Calculando o divergente para $r \neq 0$ (fora da massa):

$$\nabla \cdot \vec{g} = 0$$

O divergente do campo gravitacional é zero no espaço vazio - um resultado importante da Lei da Gravitação de Newton!

Exercício 1 (Guiado)

Considere o campo $\vec{F}(x,y) = (2x, 3y).$ Passo a passo:

Calcule $\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x)$.
Calcule $\frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3y)$.
Some os resultados para obter $\nabla \cdot \vec{F}$.
Interprete fisicamente o resultado.

Dica: Visualize linhas de fluxo desse campo e identifique se há alguma "fonte" ou "sumidouro".

Exercício 2 (Desafio)

Seja o campo em 3D: $\vec{G}(x,y,z) = (xy,\; x^2 - y^2,\; z^3 + xy).$ Tarefa:

Calcular $\nabla \cdot \vec{G}$.
Identificar ao menos um ponto onde o divergente seja positivo e outro onde seja negativo.
Relacionar esse resultado à ideia de "fonte" e "sumidouro".

Para discussão em turma: Pense em como esse campo poderia representar um sistema fluido ou elétrico. Onde "acumula" e onde "espalha" fluxo?

Síntese

O divergente mede a taxa de expansão ou contração de um campo vetorial em um ponto
Matematicamente: soma das derivadas parciais das componentes em suas respectivas direções
Intuitivamente: comportamento de fonte ou sumidouro
Aplicações cruciais na exploração espacial e análise de fluidos