SIGILOSO
DATA: 07 DE JANEIRO DE 1969
LOCALIZAÇÃO: CENTRO DE PESQUISA ORBITAL Ω
MEMORANDO INTERNO Nº Δ‑314

Em virtude da aproximação do teste de acoplamento em órbita terrestre baixa da missão APOLLO‑Ω, o Comitê de Geometria Secreta requisitou um manual emergencial contendo exercícios sobre parametrizações de superfícies fundamentais. Estes cenários treinam os cadetes a reconstruir geometrias críticas a partir de dados mínimos de telemetria.

O conteúdo adiante foi extraído dos cadernos de campo do Prof. ███████, após sua conferência a portas fechadas no LABORATÓRIO VECTOR.
Atenção: qualquer difusão não autorizada destes cálculos estratégicos implicará sanções severas conforme diretiva Γ‑42.
REF: VX‑0909 NÍVEL DE ACESSO: SIGMA‑3 CÓPIAS: 1 DE 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: ÁREA E INTEGRAL DE SUPERFÍCIE

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[A = \iint_{\mathcal{D}} \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right|\; du\,dv\]

Uma superfície paramétrica é descrita por \(\vec{r}(u,v) = (x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v))\). O elemento de área resulta do produto vetorial dos vetores tangentes \(\vec{r}_u\) e \(\vec{r}_v\).

No planejamento de painéis solares orientáveis e tanques externos de combustível, a correta modelagem da área de superfícies complexas influencia diretamente a distribuição de carga, o controle térmico e a assinatura radar da nave.
NOTA HISTÓRICA: Em fevereiro de 1965, estudos paramétricos semelhantes permitiram otimizar o revestimento ablativo do módulo Gemini VIII, prevenindo falha catastrófica durante reentrada experimental — fato mantido em sigilo até hoje.
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Oficina de Estruturas Cilíndricas — Programa Mercury [23/MAR/1960]

    Proponha uma parametrização para a superfície lateral de um cilindro de raio 2 m e altura 5 m. Indique claramente os intervalos de cada parâmetro.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere combinar um deslocamento linear com uma rotação uniforme.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑1 REQUERIDO]

    Uma escolha usual é \(\vec{r}(u,v) = (R\,\cos u,\, R\,\sin u,\, v)\) com \(u \in [0,2\pi]\) e \(v \in [0,H]\).

  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Laboratório de Propulsores Cônicos — Dados internos [REDACTED]

    Modele parametricamente a superfície de um cone reto gerado pela rotação de uma reta que parte da origem e intercepta o plano z = H no ponto \((0,0,H)\). Defina os intervalos de parâmetros.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]
    [NOTA TÉCNICA]: A distância radial cresce proporcionalmente à altitude.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑1 REQUERIDO]

    Escolhendo \(R\) como o raio na base, \(\vec{r}(u,v) = (v\,\cos u,\, v\,\sin u,\,(H/R)\,v)\) com \(u\in[0,2\pi]\), \(v\in[0,R]\).

  3. EXERCÍCIO VECTOR-1C
    ORIGEM: Centro de Descompressão Atmosférica — Relatório preliminar (1961)

    Utilizando a rotação da parábola \(z = v^2\) em torno do eixo z, forneça uma parametrização para um paraboloide de revolução. Estabeleça os intervalos adequados.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]
    [NOTA TÉCNICA]: Parametrize a curva meridiana antes de girá‑la.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑1 REQUERIDO]

    Uma possibilidade: \(\vec{r}(u,v) = (v\cos u,\, v\sin u,\, v^2)\) com \(u\in[0,2\pi]\), \(v\in[0,\sqrt{H}]\) se \(H\) é a altura máxima desejada.

  4. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Departamento de Combustível Criogênico — Programa Gemini [12/MAI/1965]

    Derive a parametrização de um toro formado pela rotação de um círculo de raio menor r situado a uma distância R do eixo de rotação. Forneça os domínios de cada parâmetro.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de simetria podem ser úteis.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑2 REQUERIDO]

    Uma representação clássica é \(\vec{r}(u,v) = ((R + r\cos v)\cos u,\, (R + r\cos v)\sin u,\, r\sin v)\) com \(u,v\in[0,2\pi]\).

  5. EXERCÍCIO VECTOR-2B
    ORIGEM: Simulação de Antenas Helicoidais — Seção de Comunicações (1966)

    Configure uma helicoide parametrizada a partir de uma reta que gira em torno do eixo \(z\) enquanto sobe linearmente. Defina os intervalos que descrevem duas voltas completas.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Conserve a razão entre subida axial e ângulo de rotação.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑2 REQUERIDO]

    Uma escolha: \(\vec{r}(u,v) = (v\cos u,\, v\sin u,\, c u)\) com \(u\in[0,4\pi]\), \(v\in[0,a]\); o parâmetro \(c\) controla o passo.

  6. EXERCÍCIO VECTOR-2C
    ORIGEM: Seção de Ensaios de Reentrada — Dados Confidenciais (1966)

    Forneça uma parametrização para o hyperbolic paraboloid \(z = u^2 - v^2\). Limite cada parâmetro ao intervalo \([-2,2]\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Observe as curvaturas opostas ao longo dos eixos principais.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑2 REQUERIDO]

    Simplesmente \(\vec{r}(u,v) = (u,\, v,\, u^2 - v^2)\) com \(u,v \in[-2,2]\).

  7. EXERCÍCIO VECTOR-3A
    ORIGEM: Centro de Materiais Topológicos — Estudo sigiloso (1967)

    Construa uma parametrização para a fita de Möbius de largura \(w\). Indique o domínio completo.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Há uma torção implícita a 180°.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]

    Parâmetrização clássica: \(\vec{r}(u,v) = \bigl( (1 + \frac{v}{2}\cos \frac{u}{2}) \cos u,\; (1 + \frac{v}{2}\cos \frac{u}{2}) \sin u,\; \frac{v}{2} \sin \frac{u}{2} \bigr)\) com \(u\in[0,2\pi]\), \(v\in[-w, w]\).

  8. EXERCÍCIO VECTOR-3B
    ORIGEM: Laboratório de Dimensões Não Convencionais — Arquivo Θ (1968)

    Apresente uma imersão parametrizada da garrafa de Klein no \(\mathbb{R}^3\), destacando os intervalos dos parâmetros.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Existem simetrias escondidas na faixa meridiana.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]

    Uma forma conhecida é baseada em \(u,v\in[0,2\pi]\) com
    \[\vec{r}(u,v) = \bigl( (R + \cos \frac{u}{2}\sin v - \sin \frac{u}{2}\sin 2v) \cos u,\, (R + \cos \frac{u}{2}\sin v - \sin \frac{u}{2}\sin 2v) \sin u,\, \sin \frac{u}{2}\sin v + \cos \frac{u}{2}\sin 2v \bigr)\]

  9. EXERCÍCIO VECTOR-3C
    ORIGEM: Oficina de Estruturas de Mínima Área — Documento β‑class (1968)

    Parametrize um catenoide utilizando a rotação da catenária \(z = a\cosh(\frac{v}{a})\) em torno do eixo \(z\). Especifique os limites de \(u\) e \(v\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: A superfície resultante minimiza área para bordas fixas.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]

    Uma parametrização: \(\vec{r}(u,v) = (a\cosh v \cos u,\, a\cosh v \sin u,\, a v)\) com \(u\in[0,2\pi]\), \(v\in[-v_0,v_0]\).

  10. EXERCÍCIO VECTOR-4A
    ORIGEM: Projeto Órbita Lunar — Arquivo SIGMA‑4 [1969]

    Forneça uma parametrização para a superfície de Enneper de ordem 1.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    É possível usar \(u,v\in[-2,2]\) e
    \[\vec{r}(u,v) = \bigl( u - \tfrac{u^3}{3} + u v^2,\; v - \tfrac{v^3}{3} + v u^2,\; u^2 - v^2 \bigr)\]

  11. EXERCÍCIO VECTOR-4B
    ORIGEM: Estudo sobre Superfícies de Onda — Seção de Física Avançada (1969)

    Crie uma parametrização para a superfície \(z = \sin(u^2 + v^2)\) em \(u,v \in [-\pi,\pi]\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Simplesmente \(\vec{r}(u,v) = (u,\, v,\, \sin(u^2 + v^2))\) para os limites indicados.

  12. EXERCÍCIO VECTOR-4C
    ORIGEM: Seção de Materiais Ultra‑leves — Relatório Final (1969)

    Determine uma parametrização para o superparaboloide definido implicitamente por \(|x|^{p} + |y|^{p} \leq z^{p}\) com \(p = 1.5\). Defina o domínio de parâmetros que gera uma única folha completa.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Uma escolha polar generalizada: \(\vec{r}(u,v) = ( u^{1/p}\cos v,\, u^{1/p}\sin v,\, u^{1/p} )\) com \(u\in[0,1]\), \(v\in[0,2\pi]\).

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