SIGILOSO
DATA: 14 DE JULHO DE 1965
LOCALIZAÇÃO: CENTRO DE CÁLCULO ORBITAL [REDACTED]
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO VECTOR-X

Em esforço conjunto entre NASA e CONTRAINTELIGÊNCIA, reunimos exercícios fundamentais sobre planos de aproximação para orientar painéis solares e antenas em órbita baixa. Anotações obtidas dos cadernos do Dr. ██████.
Este documento contém informações geométricas cruciais. Divulgação não autorizada resultará em sanções severas.
REF: VX-3141-T NÍVEL DE ACESSO: SIGMA-3 CÓPIAS: 1 DE 3
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: PLANOS TANGENTES EM SUPERFÍCIES

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0\]

Para \(F(x,y,z)=0\), o plano tangente em \(\vec{r_0}\) é ortogonal a \(\nabla F\). Se \(z=f(x,y)\), então
\[z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).\]

No Programa Gemini, a orientação de painéis solares exigia conhecer rapidamente o plano tangente local da superfície orbital simulada para ajustes em tempo real.
NOTA HISTÓRICA: Após o sucesso do Gemini VI-A (1965), estes cálculos permitiram ensaios de rendezvous orbital, passo decisivo rumo ao pouso lunar.
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Laboratório de Trajetórias – Mercury [31/MAI/1961]

    Esfera \(x^2+y^2+z^2=25\). Determine o plano tangente em \(P=(3,4,0)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Relacione gradiente e componentes sem calcular tudo.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(F=x^2+y^2+z^2-25\Rightarrow\nabla F=(2x,2y,2z)\). Em \(P\): \((6,8,0)\).
    \(6(x-3)+8(y-4)=0\;\Rightarrow\;6x+8y=50\).
  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Centro de Navegação – Vostok [12/AGO/1962]

    Paraboloide \(z=x^2+y^2\). Encontre o plano tangente em \(P=(1,1,2)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    Derivadas parciais revelam a inclinação local.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(f_x=2x,\;f_y=2y\Rightarrow f_x=f_y=2\). Plano: \(z-2=2(x-1)+2(y-1)\).
  3. EXERCÍCIO VECTOR-1C
    ORIGEM: Relatório Estrutural – Cylinder [REDACTED]

    Cilindro \(x^2+y^2=9\). Plano tangente em \(P=(3,0,4)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    Para cilindros, a normal está no plano base.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(\nabla F=(2x,2y,0)\Rightarrow(6,0,0).\) Plano: \(6(x-3)=0\Rightarrow x=3.\)
  4. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Estudo de Reentrada – Gemini [18/JAN/1965]

    Elipsoide \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{16}=1\). Plano tangente em \(P=(2,0,0)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    Propriedades de conservação podem ajudar.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(\nabla F=(x/2,\,2y/9,\,z/8)\Rightarrow(1,0,0).\;x=2\).
  5. EXERCÍCIO VECTOR-2B
    ORIGEM: Lab. Materiais Refratários – Gemini [04/ABR/1965]

    Cone \(z^2=x^2+y^2\). Plano tangente em \(P=(1,1,\sqrt{2})\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    Somente simetria importa.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(\nabla F=(2x,2y,-2z)\Rightarrow(2,2,-2\sqrt2).\;2(x-1)+2(y-1)-2\sqrt2(z-\sqrt2)=0\).
  6. EXERCÍCIO VECTOR-2C
    ORIGEM: Centro de Dinâmica – Vostok [03/AGO/1963]

    Sela \(z=x^2-y^2\). Plano tangente em \(P=(1,1,0)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    Curvatura negativa pode ajudar.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(f_x=2x,\;f_y=-2y\Rightarrow(2,-2).\;z=2(x-1)-2(y-1)\).
  7. EXERCÍCIO VECTOR-3A
    ORIGEM: Cálculo de Acoplamento – Apollo [22/JUN/1968]

    Toro \(\vec r(u,v)=((3+\cos v)\cos u,(3+\cos v)\sin u,\sin v)\). Plano tangente em \(u=0,\,v=\pi/2\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    Existem simetrias ocultas.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(\vec r_u=(0,3,0),\;\vec r_v=(-1,0,0)\Rightarrow\vec n=(0,0,3).\;P=(3,0,1)\Rightarrow z=1\).
  8. EXERCÍCIO VECTOR-3B
    ORIGEM: Trajetória de Rendezvous – Gemini [09/MAR/1966]

    \(\vec r(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)\). Plano tangente em \(u=1,\,v=0\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    Observe a hélice formada.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(\vec r_u=(1,0,0),\;\vec r_v=(0,1,1)\Rightarrow\vec n=(0,-1,1).\;P=(1,0,0)\Rightarrow z=y\).
  9. EXERCÍCIO VECTOR-3C
    ORIGEM: Análise de Reentrada – Apollo 8 [21/DEZ/1968]

    Hiperboloide \(x^2+y^2-z^2=1\). Plano tangente em \(P=(\sqrt2,0,1)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    Simetria axial domina.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(\nabla F=(2\sqrt2,0,-2).\;2\sqrt2(x-\sqrt2)-2(z-1)=0\).
  10. EXERCÍCIO VECTOR-4A
    ORIGEM: Missão Skylab – Sustentação [DEZ/1973]

    Superfície \(xyz=8\). Plano tangente em \(P=(2,2,2)\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(\nabla F=(yz,xz,xy)=(4,4,4).\;x+y+z=6\).
  11. EXERCÍCIO VECTOR-4B
    ORIGEM: Painel Solar Rotativo – Skylab [JAN/1974]

    Paraboloide elíptica \(z=\dfrac{x^2+4y^2}{4}\). Plano tangente em \(P=(1,1,\tfrac54)\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(f_x=\tfrac{x}{2},\;f_y=2y\Rightarrow(0.5,2).\;z-\tfrac54=0.5(x-1)+2(y-1)\).
  12. EXERCÍCIO VECTOR-4C
    ORIGEM: Manobra Apollo-Soyuz [JUL/1975]

    \(\vec r(u,v)=(uv,u^2-v^2,u+v)\). Plano tangente em \(u=v=1\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULOS [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(\vec r_u=(1,2,1),\;\vec r_v=(1,-2,1)\Rightarrow\vec n=(1,0,-1).\;P=(1,0,2)\Rightarrow z=x+2\).
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