SIGILOSO
DATA: 02 DE JULHO DE 1969
LOCALIZAÇÃO: CENTRO DE CÁLCULO [REDACTED]
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO VECTOR-S

Em preparação para as manobras de reentrada atmosférica da missão Apollo‑██, foi requisitada à nossa divisão matemática uma série de estudos sobre a área de superfícies clássicas. Os resultados servem para estimar a quantidade de material ablativo necessário aos escudos térmicos e ao dimensionamento de painéis fotovoltaicos de última geração.
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REF: VS‑3141‑A NÍVEL DE ACESSO: SIGMA‑4 CÓPIAS EXISTENTES: 1 DE 3
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: ÁREA DE SUPERFÍCIE

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[A(S) = \iint_{D} \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\, dA\]

Para uma superfície regular descrita como o gráfico de uma função diferenciável \(z = f(x, y)\) sobre um domínio \(D \subset \mathbb{R}^2\), a expressão acima fornece a área. No caso paramétrico \(\vec{r}(u,v)\), utiliza‑se \(A(S) = \iint_{D} \|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\|\, du\,dv\).

Estes cálculos foram empregados no dimensionamento do escudo térmico ██████‑β, garantindo que a dissipação de calor durante a reentrada não exceda os limites estruturais das cápsulas.
NOTA HISTÓRICA: Durante o Programa Gemini (1965‑1966), falhas na previsão da área em protótipos iniciais levaram ao superaquecimento de painéis. As fórmulas aqui consolidadas mitigam tal risco.
  1. EXERCÍCIO VECTOR‑1A
    ORIGEM: Simulação de Painel Solar – Projeto Mercury (01/JAN/1960)

    Considere a superfície plana \(z = 0\) sobre o retângulo \(0 \le x \le 3\), \(0 \le y \le 4\).
    DETERMINAR: a área da superfície utilizando a definição de área de superfície.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]
    [NOTA TÉCNICA]: A métrica reduz‑se a \(\sqrt{1}\) nesta configuração.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑1 REQUERIDO]
    \[A = \iint_{D} 1\, dA = 3 \times 4 = 12\] Assim, a área solicitada é 12 unidades².
  2. EXERCÍCIO VECTOR‑1B
    ORIGEM: Prototipagem de Ala – Dados Internos [REDACTED]

    A superfície é dada por \(z = 2x\) sobre o retângulo \(0 \le x \le 1\), \(0 \le y \le 2\).
    DETERMINAR: a área exata da superfície.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]
    [NOTA TÉCNICA]: Note que \(f_x = 2\) e \(f_y = 0\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑1 REQUERIDO]
    A métrica é \(\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\). Logo, \[A = \sqrt{5}\, \iint_{D} dA = \sqrt{5} \times 1 \times 2 = 2\sqrt{5}.\]
  3. EXERCÍCIO VECTOR‑1C
    ORIGEM: Revestimento de Antena – Laboratório de Engenharia (17/FEB/1962)

    A superfície paraboloide é \(z = x^2 + y^2\) sobre o disco unitário \(x^2 + y^2 \le 1\).
    DETERMINAR: a área da superfície.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere coordenadas polares.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑1 REQUERIDO]
    Métrica: \(\sqrt{1 + 4r^2}\). Assim, \[A = 2\pi \int_0^1 r\sqrt{1+4r^2}\, dr = \frac{\pi}{6}\bigl(5^{3/2} - 1\bigr).\]
  4. EXERCÍCIO VECTOR‑2A
    ORIGEM: Tanque de Combustível – Projeto Gemini (05/MAR/1965)

    A superfície lateral de um cilindro de raio \(r = 1\) m e altura \(h = 3\) m deve ser recoberta por material isolante.
    DETERMINAR: a área lateral utilizando parametrização cilíndrica.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de invariância do módulo do produto vetorial são úteis.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑2 REQUERIDO]
    Parametrização: \(\vec{r}(\theta,z) = (\cos\theta, \sin\theta, z)\).
    \(\|\vec{r}_\theta \times \vec{r}_z\| = 1\). Assim, \[A = \int_0^{2\pi}\int_0^{3} 1\, dz\, d\theta = 6\pi.\]
  5. EXERCÍCIO VECTOR‑2B
    ORIGEM: Cone de Nariz – Documento Técnico N‑47‑Δ

    Para um cone reto de raio da base \(r = 2\) m e altura \(h = 4\) m (sem a base),
    DETERMINAR: a área lateral por integração direta.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Relações de conservação envolvem o comprimento geratriz.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑2 REQUERIDO]
    Geratriz: \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{20}\). Logo, \[A = \pi r l = 2\pi \sqrt{20}.\]
  6. EXERCÍCIO VECTOR‑2C
    ORIGEM: Escudo Térmico – Relatório Confidencial (23/SEP/1966)

    A cúpula esférica (hemisfério) possui raio \(r = 2\) m.
    DETERMINAR: a área externa da calota.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de simetria esférica simplificam o cálculo.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑2 REQUERIDO]
    Área hemisfério: \(A = 2\pi r^2 = 8\pi\; \text{m}^2\).
  7. EXERCÍCIO VECTOR‑3A
    ORIGEM: Hélice de Reentrada – Dados Clas.███ (11/JUL/1967)

    A superfície helicoidal é parametrizada por \(\vec{r}(u,v) = \bigl(u\cos v,\; u\sin v,\; v\bigr)\) com \(0 \le u \le 1\) e \(0 \le v \le 2\pi\).
    DETERMINAR: a área total da hélice.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Há invariantes não‑evidentes sob rotações.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]
    \(\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\| = \sqrt{1+u^2}.\) Logo, \[A = 2\pi \int_0^1 \sqrt{1+u^2}\, du = \pi\Bigl(u\sqrt{1+u^2} + \sinh^{-1}u\Bigr)\big|_0^1 \approx 7.21.\]
  8. EXERCÍCIO VECTOR‑3B
    ORIGEM: Montagem de Tanques Toróides – Programa Apollo (04/JAN/1968)

    Considere o toro com raio maior \(R = 3\) m e raio menor \(r = 1\) m parametrizado por \(\vec{r}(u,v) = \bigl((R + r\cos u)\cos v,\; (R + r\cos u)\sin v,\; r\sin u\bigr)\), \(0 \le u,v \le 2\pi\).
    DETERMINAR: a área da superfície.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Observe produtos mistos sob simetria axial.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]
    Resultado clássico: \(A = 4\pi^2 R r = 12\pi^2\; \text{m}^2\).
  9. EXERCÍCIO VECTOR‑3C
    ORIGEM: Painel Paraboloide – Estudo Interno (19/NOV/1968)

    Para o paraboloide \(z = x^2 + y^2\) sobre o disco \(x^2 + y^2 \le 2^2\),
    DETERMINAR: a área total da superfície.
    Expressão analítica é suficiente.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Integre \(r\sqrt{1+4r^2}\) até \(r=2\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑3 REQUERIDO]
    \[A = 2\pi \int_0^2 r\sqrt{1+4r^2}\, dr = \frac{\pi}{6}\Bigl((1+16)^{3/2} - 1\Bigr).\]
  10. EXERCÍCIO VECTOR‑4A
    ORIGEM: Cápsula de Retorno – Missão Skylab (07/DEC/1973)

    O escudo térmico é modelado por \(z = 1 - (x^2 + y^2)\) sobre o disco unitário.
    DETERMINAR: a área externa exata do escudo.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]
    Similar ao Vector‑1C, porém \[A = 2\pi \int_0^1 r\sqrt{1+4r^2}\, dr = \frac{\pi}{6}\bigl(5^{3/2} - 1\bigr).\]
  11. EXERCÍCIO VECTOR‑4B
    ORIGEM: Matriz de Painéis – Design Fotovoltaico Ω‑12 (14/MAY/1974)

    A superfície é parametrizada por \(\vec{r}(u,v) = (u, v, \ln(1+u^2+v^2))\), \(-1 \le u,v \le 1\).
    DETERMINAR: a área total, expressa como integral dupla.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]
    Métrica: \(\sqrt{1 + \left(\frac{2u}{1+u^2+v^2}\right)^2 + \left(\frac{2v}{1+u^2+v^2}\right)^2}\).
    Área: \[A = \iint_{[-1,1]^2} \sqrt{1 + \frac{4(u^2+v^2)}{(1+u^2+v^2)^2}}\, du\, dv.\] Avaliação numérica recomendada por métodos computacionais.
  12. EXERCÍCIO VECTOR‑4C
    ORIGEM: Estrutura de Torre – Documento Z‑9 (21/FEB/1975)

    A superfície \(z = xy\) está definida sobre o retângulo \(-1 \le x \le 1\), \(-1 \le y \le 1\).
    DETERMINAR: a área total, apresentando o resultado em forma fechada ou como integral avaliada.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]
    Métrica: \(\sqrt{1 + x^2 + y^2}\).
    \[A = \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} \sqrt{1 + x^2 + y^2}\, dy\, dx.\] Resultado pode ser expresso via funções hiperbólicas após integração em coordenadas polares.
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MATERIAL ULTRASSECRETO