SIGILOSO
DATA: 07 DE MAIO DE 1967
LOCALIZAÇÃO: CENTRO DE CONTROLE [REDACTED]
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO VECTOR-XI

Em virtude da recente anomalia orbital detectada durante o Programa Gemini, solicitou‑se à divisão matemática a elaboração de protocolos de verificação rápida de curvas de navegação. O presente dossiê consolida exercícios sobre o Teorema de Stokes aplicado ao plano, fundamentais para checagem de simulações na sala de cálculo 3‑B.
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REF: VX‑3141‑C NÍVEL DE ACESSO: SIGMA‑3 CÓPIAS EXISTENTES: 1 DE 4
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: TEOREMA DE STOKES NO PLANO

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[\oint_{\partial R} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_{R} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA\]

Em um domínio \(R\) simples no plano, limitado por uma curva fechada orientada positivamente \(\partial R\), o teorema relaciona a circulação de um campo \(\vec{F}(x,y)=(P,Q)\) ao fluxo do rotacional escalar \(\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\) através da área de \(R\).

Cálculos de circulação servem para estimar vórtices de plasma ao redor das cápsulas na reentrada, onde medições diretas são inviáveis. O método reduz operações de linha (longas) a integrais de área computadas nos computadores IBM‑7090.
NOTA HISTÓRICA: A consolidação deste resultado foi decisiva para o sucesso dos acoplamentos do Programa Gemini (1965‑1966), permitindo correções de atitude com economia de combustível.
  1. EXERCÍCIO VECTOR‑1A
    ORIGEM: Projeto Mercury – Simulação de Voo [FEV/1961]

    Considere o triângulo com vértices \((0,0)\), \((2,0)\) e \((2,2)\). Para o campo \[\vec{F}(x,y)=\begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix}\] calcule \(\displaystyle \oint_{\partial R} \vec{F}\cdot d\vec{r}\) usando o Teorema de Stokes no plano.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]
    [NOTA TÉCNICA]: Verifique o sinal de \(\operatorname{rot}\vec{F}\) antes de multiplicar pela área.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    \(\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial(-x)}{\partial x}-\frac{\partial y}{\partial y}=-1-1=-2\).

    Área do triângulo: \(A=2\).

    \[\oint_{\partial R}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{R}(-2)\,dA=-2\times2=-4.\]

    Circulação obtida: \(-4\).

  2. EXERCÍCIO VECTOR‑1B
    ORIGEM: Projeto Mercury – Teste de Antena Omnidirecional [MAR/1961]

    Para o disco \(x^2+y^2\le1\) e o campo \[\vec{F}(x,y)=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}\] determine a circulação ao longo da borda usando Stokes.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]
    [NOTA TÉCNICA]: Em coordenadas polares a integral de área torna‑se imediata.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    \(\operatorname{rot}\vec{F}=1-(-1)=2\).

    Área do disco \(A=\pi\).

    Circulação: \(2\times\pi=2\pi\).

  3. EXERCÍCIO VECTOR‑1C
    ORIGEM: Programa Gemini – Banco de Ensaios de Reentrada [JAN/1965]

    A região \(R\) é limitada por \(y=\sqrt{x}\) (acima) e pelo eixo \(y=0\) para \(0\le x\le4\). Calcule a circulação de \[\vec{F}(x,y)=\begin{pmatrix}x^2y\\-y\end{pmatrix}\] usando Stokes.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑1]
    [NOTA TÉCNICA]: Transforme a integral dupla em \(x\) utilizando o limite superior \(y=\sqrt{x}\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    \(\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial(-y)}{\partial x}-\frac{\partial(x^2y)}{\partial y}=0-x^2=-x^2\).

    \[\iint_{R}-x^2\,dA=-\int_{0}^{4}x^2 \int_{0}^{\sqrt{x}}dy\,dx=-\int_{0}^{4}x^2\sqrt{x}\,dx=-\int_{0}^{4}x^{2.5}\,dx=-\left.\frac{x^{3.5}}{3.5}\right|_{0}^{4}=-\frac{4^{3.5}}{3.5}\approx-\frac{128}{3.5}\].

    Valor numérico \(\approx -36.57\).

  4. EXERCÍCIO VECTOR‑2A
    ORIGEM: Programa Gemini – Ajuste de Órbita Elíptica [MAI/1965]

    A elipse \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) delimita o domínio. Calcule \(\oint_{\partial R}\vec{F}\cdot d\vec{r}\) para \(\vec{F}(x,y)=(2xy, x^2)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Lembre que a integral dupla de \(x^2\) sobre uma elipse escala pela área e pelas potências dos semi‑eixos.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    \(\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial x^2}{\partial x}-\frac{\partial(2xy)}{\partial y}=2x-2x=0\).

    Circulação: \(0\). Campo é potencial dentro da elipse.

  5. EXERCÍCIO VECTOR‑2B
    ORIGEM: Programa Gemini – Manobra de Inclinação [JUL/1965]

    Região entre \(y=x^2\) e \(y=2x\). Determine a circulação de \(\vec{F}(x,y)=(x^3,3xy^2)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Observe que o rotacional é positivo e depende apenas de \(x\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    \(\operatorname{rot}\vec{F}=3x^2-3y^2\).

    Substituindo \(y\) entre curvas e integrando resulta em valor \(5.4\).

  6. EXERCÍCIO VECTOR‑2C
    ORIGEM: Programa Gemini – Radar de Aproximação [SET/1965]

    Setor circular de raio 2 entre \(\theta=0\) e \(\theta=\frac{\pi}{3}\). Para \(\vec{F}(r,\theta)=(r^2\cos\theta, r^2\sin\theta)\) (escrito em coordenadas cartesianas), calcule a circulação.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑2]
    [NOTA TÉCNICA]: Utilize \(dA=r\,dr\,d\theta\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    \(\operatorname{rot}\vec{F}=2r\).

    \[\int_{0}^{\pi/3}\int_{0}^{2}2r\cdot r\,dr\,d\theta=2\int_{0}^{\pi/3}\int_{0}^{2}r^2\,dr\,d\theta=2\left(\frac{8}{3}\right)\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{16\pi}{9}.\]

  7. EXERCÍCIO VECTOR‑3A
    ORIGEM: Programa Apollo – Estudo de Correntes de Combustível [JUN/1968]

    Domínio anular \(1\le x^2+y^2\le3^2\). Para \(\vec{F}(x,y)=\left(-\dfrac{y}{x^2+y^2}, \dfrac{x}{x^2+y^2}\right)\) calcule a circulação externa (contorno no sentido anti‑horário).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: O rotacional é nulo exceto na origem.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Como o rotacional é zero no anel, circulação depende apenas do contorno interior: resultado \(2\pi\).

  8. EXERCÍCIO VECTOR‑3B
    ORIGEM: Programa Apollo – Navegação em Órbita Lunar [AGO/1969]

    Região limitada pela cardioide \(r=1+\cos\theta\). Campo \(\vec{F}(x,y)=(y^3, -x^3)\). Calcule a circulação.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Busque simetria para argumentar sobre o resultado.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Rotacional: \(-3x^2-3y^2=-3r^2\).

    Circulação \(-3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1+\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta=-3\int_{0}^{2\pi}\left.\dfrac{r^4}{4}\right|_{0}^{1+\cos\theta}d\theta\).

    Resultado final \(-\dfrac{3}{4}\int_{0}^{2\pi}(1+\cos\theta)^4 d\theta=-\dfrac{15\pi}{8}.\)

  9. EXERCÍCIO VECTOR‑3C
    ORIGEM: Programa Apollo – Módulo de Comando [NOV/1969]

    A região em "L" formada pela união dos quadrados \([0,1]\times[0,2]\) e \([1,2]\times[0,1]\). Para \(\vec{F}(x,y)=(y^2,-x^2)\), encontre a circulação.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA‑3]
    [NOTA TÉCNICA]: Divida o domínio em dois subdomínios sem sobreposição.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Rotacional: \(-2x-2y\).

    Soma das integrais sobre cada quadrado resulta em \(-\dfrac{7}{3}.\)

  10. EXERCÍCIO VECTOR‑4A
    ORIGEM: Skylab – Turbilhonamento de Fluido Refrigerante [DEZ/1973]

    A estrela regular de 5 pontas inscrita no círculo unitário define o domínio. Para \(\vec{F}(x,y)=\left(\dfrac{y}{1+x^2+y^2}, -\dfrac{x}{1+x^2+y^2}\right)\) calcule a circulação.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Rotacional: \(0\) exceto na origem. A circulação equivale a \(2\pi\).

  11. EXERCÍCIO VECTOR‑4B
    ORIGEM: Skylab – Painel Solar Giratório [JAN/1974]

    Região limitada pela interseção das curvas \(x^{2/3}+y^{2/3}=1\) (superelipse). Campo \(\vec{F}(x,y)=(xy, x^2-y^2)\). Determine a circulação.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Rotacional: \(2x- y\).

    Devido à simetria ímpar, resultado final \(0\).

  12. EXERCÍCIO VECTOR‑4C
    ORIGEM: Skylab – Algoritmo de Estimativa de Área [FEV/1974]

    Mostre que a escolha \(\vec{F}(x,y)=\left(-\dfrac{y}{2}, \dfrac{x}{2}\right)\) leva à fórmula de área \(A=\dfrac{1}{2}\oint_{\partial R}x\,dy-y\,dx\) para qualquer curva simples e fechada \(\partial R\). Em seguida, use‑a para obter a área interna de uma espiral de Arquimedes \(r=a\theta\), \(0\le\theta\le2\pi\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA‑4 REQUERIDO]

    Para o campo dado, \(\operatorname{rot}\vec{F}=1\). Logo \(\oint_{\partial R} \vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{R}1\,dA=A\).

    Mas \(\vec{F}\cdot d\vec{r}=-\frac{y}{2}dx+\frac{x}{2}dy = \frac{1}{2}(x\,dy-y\,dx)\).

    Portanto \(A=\frac{1}{2}\oint_{\partial R}x\,dy-y\,dx\).

    Para a espiral, parametrização \(x=a\theta\cos\theta,\,y=a\theta\sin\theta\). Cálculo resulta em \(A=\pi a^2\).

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MATERIAL ULTRASSECRETO