SIGILOSO
14/JUL/1969 • LOCALIZAÇÃO: BASE APOLLO-11 • SETOR Λ-4
PROJETO ORION-Δ — Aplicações do Teorema da Divergência no plano no monitoramento de fluxos estruturais durante a descida lunar.
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REF: VX-2049-Λ NÍVEL DE ACESSO: SIGMA-4 CÓPIAS EXISTENTES: 1 DE 4
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: TEOREMA DA DIVERGÊNCIA NO PLANO

\[\iint_{A} \nabla\!\cdot\!\vec{F}\, dA \;=\; \oint_{\partial A} \vec{F}\cdot\vec{n}\, ds\]

Para um campo vetorial \(\vec{F}(x,y)=(P,Q)\) de classe \(C^1\) definido numa região simplesmente conexa \(A\subset\mathbb{R}^2\) com fronteira \(C^1\) orientada positivamente \(\partial A\), a integral do divergente \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=P_x+Q_y\) sobre \(A\) é igual ao fluxo de \(\vec{F}\) através de \(\partial A\).

Técnicos especificamente designados aplicaram esta relação para estimar, em tempo real, vazamentos de gases no escudo térmico do módulo lunar, onde medições diretas eram impossíveis.
NOTA HISTÓRICA: Na madrugada de 20/JUL/1969, antes da alunissagem, engenheiros da missão utilizaram o teorema em cálculos emergenciais para garantir a integridade dos tanques de hélio do LEM. O relatório permanece parcialmente não divulgado.
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Programa Mercury — 25/FEV/1960

    A região \(A\) é o disco unitário \(x^2+y^2\le1\). Considere \(\vec{F}(x,y)=(x,\,y)\). Verifique o Teorema da Divergência no plano para \(\vec{F}\) e \(A\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere converter para coordenadas polares antes de integrar.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=2\).

    \[\iint_A 2\,dA = 2\pi.\]

    A fronteira é \(r=1\) ⇒ \[\oint_{\partial A}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds =\int_0^{2\pi}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\,d\theta =2\pi.\]

    Valores coincidem.

  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Análise de Painéis — 03/AGO/1961

    A região \(A\) é o triângulo de vértices \((0,0)\), \((1,0)\) e \((0,1)\). Para \(\vec{F}(x,y)=(x^2,\;y^2)\), comprove o teorema.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Divida o triângulo em faixas horizontais.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=2x+2y\).

    \[\iint_A(2x+2y)\,dA=\frac{2}{3}.\]

    Fluxo pela fronteira dá o mesmo valor.

  3. EXERCÍCIO VECTOR-1C
    ORIGEM: Verificação de Vazamento — 12/NOV/1962

    A região é o anel \(1\le x^2+y^2\le4\). Para \(\vec{F}(x,y)=(-y,\,x)\) mostre que o fluxo líquido é nulo.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Observe a simetria rotacional do campo.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=0\) ⇒ integral dupla é zero, logo fluxo total também é zero.

  4. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Programa Gemini — 14/MAI/1965

    Região elíptica \(\frac{x^2}{4}+y^2\le1\). Campo \(\vec{F}(x,y)=(xe^{y},\,ye^{x})\). Calcule o fluxo.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de integração por partes podem ajudar.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=e^{y}+e^{x}\).

    Após mudança adequada de variáveis, \(\displaystyle\Phi= \pi\!\left(e^{1}-1\right)\).

  5. EXERCÍCIO VECTOR-2B
    ORIGEM: Calibration Sector — 09/OUT/1965

    Sektor circular \(0\le r\le3,\;0\le\theta\le\pi/2\). Campo \(\vec{F}(x,y)=(2x-y,\,x+y)\). Determine o fluxo.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Convertendo para coordenadas polares a conta simplifica.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=3\).

    \(\Phi=3\times\text{área}=3\times\frac{9\pi}{2}= \frac{27\pi}{2}\).

  6. EXERCÍCIO VECTOR-2C
    ORIGEM: Estimativa de Incidência — 21/JUN/1966

    Região limitada por \(y=x^2\) e \(y=\sqrt{x}\) para \(0\le x\le1\). Campo \(\vec{F}(x,y)=(y,\,-x)\). Confirme o teorema.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de conservação podem ser relevantes.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=0\Rightarrow\Phi=0\).

  7. EXERCÍCIO VECTOR-3A
    ORIGEM: Planejamento de Descarga — 02/ABR/1968

    Região: \(0\le y\le1-x^2\). Campo \(\vec{F}(x,y)=(xy,\,x^2)\). Calcule o fluxo líquido.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Existem simetrias não aparentes no sistema.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=y+2x\).

    Integração ⇒ \(\Phi=\frac12\).

  8. EXERCÍCIO VECTOR-3B
    ORIGEM: Simulação de Escudo Térmico — 18/JUN/1968

    Determine \(k\) para que o fluxo de \(\vec{F}(x,y)=(kx,\,ky)\) no disco \(r\le a\) seja \(6a^2\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Avalie a divergência antes de integrar.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=2k\).

    \(2k\pi a^2 = 6a^2 \Rightarrow k=\dfrac{3}{\pi}\).

  9. EXERCÍCIO VECTOR-3C
    ORIGEM: Monitoramento de Escapamento — 27/NOV/1968

    Sensores apontam fluxo total \(5\) através de \(\partial A\). Sabendo que \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=x\), ache \(\iint_A x\,dA\) e a média \(\bar{x}\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: O fluxo é a própria integral do divergente.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    \(\iint_A x\,dA = 5\). Logo \(\bar{x}=5/|A|\).

  10. EXERCÍCIO VECTOR-4A
    ORIGEM: Módulo Lunar — 15/JUL/1969

    Campo \(\vec{F}(x,y)=(x^3-3xy^2,\,3x^2y-y^3)\). Região: disco \(x^2+y^2\le4\). Calcule o fluxo total.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=6x^2-6y^2=6r^2\cos(2\theta)\).

    Integral dupla sobre disco ⇒ \(\Phi=0\).

  11. EXERCÍCIO VECTOR-4B
    ORIGEM: Cartografia Orbital — 18/SET/1971

    Curva cardioide \(r=1+\cos\theta\). Fluxo do campo \(\vec{F}(x,y)=(r^2\cos\theta,\,r^2\sin\theta)\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=4r\).

    \(\displaystyle \Phi= \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1+\cos\theta}4r^2\,dr\,d\theta= \frac{16\pi}{3}\).

  12. EXERCÍCIO VECTOR-4C
    ORIGEM: Projeto Skylab — 04/MAI/1973

    Domínio: interseção dos discos \(x^2+y^2\le9\) e \((x-2)^2+y^2\le9\). Campo \(\vec{F}(x,y)=(e^x,\,0)\). Calcule o fluxo total.

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    \(\nabla\!\cdot\!\vec{F}=e^{x}\).

    Fluxo \(\displaystyle \Phi=\iint_A e^{x}\,dA =2\int_{-7}^{7} e^{x}\,h(x)\,dx\). Valor exato depende de \(h(x)\); análise operacional prossegue em documento separado.

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