SIGILOSO
DATA: 14 DE SETEMBRO DE 1965
LOCALIZAÇÃO: COMPLEXO DE LANÇAMENTO [REDACTED]
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO VECTOR-G

Após os êxitos iniciais do Programa Gemini, a necessidade de modelar trajetórias de reentrada com maior precisão levou nossa equipe a um estudo intensivo de circulação de campos vetoriais sobre regiões retangulares. Os exercícios aqui reunidos foram compilados a partir dos cadernos confidenciais do Dr. ████████, cujo trabalho em cálculo vetorial permitiu otimizações de correção de atitude em módulos de comando.
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REF: VG-1965-R NÍVEL DE ACESSO: SIGMA-3 CÓPIAS EXISTENTES: 2 DE 4
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: TEOREMA DE GREEN EM RETÂNGULOS

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[\oint_{\partial R} \bigl(P\,dx + Q\,dy\bigr) = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \]

Para um campo vetorial \(\vec{F}(x,y) = \bigl(P(x,y), Q(x,y)\bigr)\) de classe \(C^1\) definido em um retângulo fechado \(R = [a,b] \times [c,d]\), o Teorema de Green relaciona a circulação ao redor da fronteira \(\partial R\) à integral dupla da componente de rotação \(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\) sobre a área de \(R\).

O controle de atitude durante as fases de encontro em órbita baixa exige o cálculo rápido de circulações em superfícies simplificadas. O retângulo surge naturalmente quando sensores de telemetria produzem dados em grelhas cartesianas discretas, permitindo o uso direto deste teorema para validar algoritmos de navegação.
NOTA HISTÓRICA: Durante o voo Gemini VII (1965), correções de trajetória usaram estimativas derivadas de integrais de linha que, segundo relatórios, foram verificadas por um “método retangular” compatível com o Teorema de Green, reduzindo o tempo de cálculo em computadores a bordo.
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Laboratório de Dinâmica Orbital – Projeto Mercury [LOG 1959]

    Considere o campo vetorial \(\vec{F}(x,y) = (x, y)\) definido no retângulo \(R = [0,2] \times [0,1]\). Calcule \(\displaystyle \oint_{\partial R} x\,dx + y\,dy\) utilizando o Teorema de Green.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Observe se a componente de rotação é nula em todo o retângulo.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    A rotação é \(\dfrac{\partial y}{\partial x} - \dfrac{\partial x}{\partial y} = 0 - 0 = 0\).
    Logo, \[\oint_{\partial R} x\,dx + y\,dy = 0.\]

  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Telemetria de Empuxo – Painel de Controle Gemini IV [JUN/1965]

    Para \(\vec{F}(x,y) = (y^2, 2xy)\) sobre \(R = [0,1] \times [0,3]\), determine a circulação \(\displaystyle \oint_{\partial R} y^2\,dx + 2xy\,dy\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Use a simetria do retângulo para simplificar a integral dupla.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    Rotação: \(\dfrac{\partial (2xy)}{\partial x} - \dfrac{\partial (y^2)}{\partial y} = 2y - 2y = 0.\)
    Portanto, \[\oint_{\partial R} y^2\,dx + 2xy\,dy = 0.\]

  3. EXERCÍCIO VECTOR-1C
    ORIGEM: Simulação de Reentrada – Centro de Cálculo ████ [AGO/1966]

    O campo \(\vec{F}(x,y) = (0, x y^2)\) está definido em \(R = [1,3] \times [0,2]\). Calcule a circulação.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Verifique se somente uma das componentes depende de ambas as variáveis.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]

    Rotação: \(\dfrac{\partial (x y^2)}{\partial x} - 0 = y^2.\)
    Assim, \[\int_{0}^{2}\int_{1}^{3} y^2\,dx\,dy = (3-1)\int_{0}^{2} y^2\,dy = 2 \left[\dfrac{y^3}{3}\right]_0^{2} = 2 \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3}.\]

  4. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Painel de Controle – Gemini VI [DEZ/1965]

    Determine \(\displaystyle \oint_{\partial R} e^x y\,dx + x^2\,dy\) para \(R = [0,\ln 2] \times [0,1]\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de exponenciais simplificam a integral em x.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    Rotação: \(\dfrac{\partial (x^2)}{\partial x} - \dfrac{\partial (e^x y)}{\partial y} = 2x - e^x.\)
    Integral: \[\int_{0}^{1}\int_{0}^{\ln 2} \bigl(2x - e^x\bigr)\,dx\,dy = 1 \cdot \left[ x^2 - e^x \right]_0^{\ln 2} = ( (\ln 2)^2 - 2 ) - (0 - 1)= (\ln 2)^2 - 1.\]

  5. EXERCÍCIO VECTOR-2B
    ORIGEM: Banco de Dados – Propulsor ████ [MAR/1966]

    Para \(\vec{F}(x,y) = (y \cos x, x \sin y)\) em \(R = [0,\pi/2] \times [0,\pi/2]\), compute a circulação.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Observe as derivadas parciais de funções trigonométricas.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    Rotação: \(\dfrac{\partial (x \sin y)}{\partial x} - \dfrac{\partial (y \cos x)}{\partial y} = \sin y - \cos x.\)
    Integral dupla: \[\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2} (\sin y - \cos x)\,dx\,dy =\int_{0}^{\pi/2}\bigl[ x\sin y - \sin x \bigr]_{0}^{\pi/2} dy \]

    \[= \int_{0}^{\pi/2} \Bigl( \frac{\pi}{2}\sin y - 1 \Bigr) dy = \frac{\pi}{2}\bigl[ -\cos y \bigr]_0^{\pi/2} - y\Big|_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} (1) - \frac{\pi}{2} = 0.\]

  6. EXERCÍCIO VECTOR-2C
    ORIGEM: Relatório de Voo – Gemini VIII [MAR/1966]

    Existem constantes \(k\) tais que o campo \(\vec{F}(x,y) = (k y, x)\) possui circulação nula em todo retângulo do plano. Determine \(k\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Circulação nula implica rotação identicamente zero.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]

    Rotação: \(\dfrac{\partial x}{\partial x} - \dfrac{\partial (k y)}{\partial y} = 1 - k.\)
    Para ser zero, é necessário \(k = 1.\)

  7. EXERCÍCIO VECTOR-3A
    ORIGEM: Análise de Controle de Atitude – Apollo 09 [MAR/1969]

    Para o campo paramétrico \(\vec{F}(x,y) = (a y + x^2, b x - y^2)\), calcule \(\displaystyle \oint_{\partial R} P\,dx + Q\,dy\) em \(R = [-1,1]\times[0,2]\) e determine as relações entre \(a\) e \(b\) que tornam o resultado igual a zero.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Procure invariantes não aparentes.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    Rotação: \(\dfrac{\partial (b x - y^2)}{\partial x} - \dfrac{\partial (a y + x^2)}{\partial y} = b - a.\)
    Área de \(R\) é \( (1 - (-1)) \times (2 - 0) = 4.\)
    Assim a circulação é \( (b - a) \times 4.\)
    Para ser zero: \(a = b.\)

  8. EXERCÍCIO VECTOR-3B
    ORIGEM: Estudo de Sensores – Módulo Lunar ████ [MAI/1969]

    Considere \(\vec{F}(x,y) = (\sin xy, x e^y)\) em \(R = [0,\varepsilon]\times[0,\pi]\) com \(\varepsilon > 0\). Mostre que, quando \(\varepsilon \to 0^+\), a circulação converge para \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} (x e^y)\big|_{x=0} dy\) e interprete o resultado.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Pense em \(\sin(xy) \approx xy\) para pequenos \(x\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    Rotação: \(\dfrac{\partial (x e^y)}{\partial x} - \dfrac{\partial (\sin xy)}{\partial y} = e^y - x\cos(xy)\,x.\)
    Quando \(x\to 0\), \(\cos(xy)\approx 1\) e o termo de ordem superior some, restando \(e^y.\)
    Integral dupla tende a \(\displaystyle \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{0} e^y\,dx\,dy = 0.\)
    O limite da circulação, portanto, é governado pelo segmento onde \(x=0\), resultando em zero — interpretação: fronteira degenera em um segmento vertical sem área associada.

  9. EXERCÍCIO VECTOR-3C
    ORIGEM: Plano de Cobertura de Painéis Solares – Skylab [JAN/1973]

    Use \(\vec{F}(x,y) = (-y, x)\) em um retângulo genérico \(R = [a,b]\times[c,d]\). Demonstre que a circulação coincide com duas vezes a área de \(R\) e discuta a relação com o cálculo de áreas através de integrais de linha.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Lembre que a rotação desse campo é constante.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]

    Rotação: \(\dfrac{\partial x}{\partial x} - \dfrac{\partial (-y)}{\partial y} = 1 + 1 = 2.\)
    Assim, \[\oint_{\partial R} (-y)\,dx + x\,dy = 2 \times \text{Área}(R) = 2(b-a)(d-c).\]

  10. EXERCÍCIO VECTOR-4A
    ORIGEM: Algoritmo de Navegação Autônoma – LAB ███ [OUT/1974]

    Calcule \(\displaystyle \oint_{\partial R} (x^3 - 3xy^2)\,dx + (3x^2 y - y^3)\,dy\) em \(R = [-1,1]\times[-1,1]\). (Nenhuma dica disponível.)

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Rotação: \(\dfrac{\partial (3x^2 y - y^3)}{\partial x} - \dfrac{\partial (x^3 - 3xy^2)}{\partial y} = 6xy - (-6xy) = 12xy.\)
    Por simetria, a integral dupla de \(12xy\) sobre o quadrado centrado na origem é zero, pois a função é ímpar em cada quadrante. Logo, a circulação é 0.

  11. EXERCÍCIO VECTOR-4B
    ORIGEM: Diagnóstico de Pane em Sistema de Arrefecimento – Module Service Bay [NOV/1974]

    Avalie \(\oint_{\partial R} (y e^{x y})\,dx + (x e^{x y})\,dy\) para \(R = [0,1]\times[0,1]\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Rotação: \(\dfrac{\partial (x e^{xy})}{\partial x} - \dfrac{\partial (y e^{xy})}{\partial y} = e^{xy} + x y e^{xy} - e^{xy} - x y e^{xy} = 0.\)
    Portanto, a circulação é 0.

  12. EXERCÍCIO VECTOR-4C
    ORIGEM: Computador de Bordo – Missão Experimental ██-05 [DEZ/1974]

    Sejam \(R\) e \(S\) dois retângulos adjacentes que compartilham um lado. Demonstre que a circulação de um campo \(C^1\) sobre \(R \cup S\) é a soma das circulações individuais, comentando sobre a linearidade do Teorema de Green. (Nenhuma dica disponível.)

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]

    Como a rotação é integrável, \[\oint_{\partial (R\cup S)} \! \! P\,dx+Q\,dy = \iint_{R\cup S} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) dA = \iint_R (\cdots) + \iint_S (\cdots),\] realizando-se a soma das áreas.
    As integrais de linha sobre o lado comum cancelam-se por percorrerem sentidos opostos, provando a aditividade.

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