SIGILOSO
DATA: 14 DE ABRIL DE 1965
LOCALIZAÇÃO: CENTRO AEROSPACIAL [REDACTED]
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO GREEN-VECTOR

Na corrida para aperfeiçoar manobras orbitais de encontro entre cápsulas Gemini, nossos analistas identificaram que o controle de circulação em torno de trajetórias fechadas exige domínio absoluto do **Teorema de Green**. O material abaixo foi extraído dos cadernos do Dr. ████████, matemático-chefe da operação GATEWAY.
Este documento contém informações matemáticas classificadas como vitais. Divulgação não autorizada resultará em sanções severas.
REF: GV-027 NÍVEL DE ACESSO: SIGMA-3 CÓPIAS EXISTENTES: 1 DE 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: TEOREMA DE GREEN (FRONTEIRA \(C^1\))

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[\iint_{D}\!\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA \;=\;\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy\]

Seja \(D\subset\mathbb{R}^2\) uma região simplesmente conexa com fronteira \(C^1\) positiva e orientada no sentido anti-horário. Para um campo \(\vec F=(P,Q)\) cujas derivadas parciais são contínuas em uma vizinhança de \(D\), a equação acima relaciona a circulação de \(\vec F\) ao fluxo de sua “rotacional escalar” no interior.

Durante o acoplamento em órbita baixa, calcular a circulação de campos de velocidade ao redor da cápsula permite estimar torques indesejados sobre o módulo de serviço. O Teorema de Green fornece o elo entre medidas de superfície (dentro da nave) e leituras de sensores ao longo do casco.
NOTA HISTÓRICA: Em 23 / 03 / 1965, a missão Gemini 3 executou o primeiro “roll maneuver” dos EUA. As correções de atitude empregaram algoritmos baseados em integrais de linha validados por Green apenas dois meses antes do lançamento.
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Simulação Gemini – Módulo de Ensaio (03/JAN/1964)

    Mostre, via Teorema de Green, que a área do disco de raio \(R=2\) pode ser obtida pela integral
    \[\oint_{C} x\,dy\] onde \(C\) é o círculo \(\,x^2+y^2=4\,\) orientado positivamente. Calcule o valor numérico.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Relacione a integral a \(\frac12\oint_C x\,dy - y\,dx\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
    \[A=\iint_D dA =\iint_D\left(\frac{\partial}{\partial x}0-\frac{\partial}{\partial y}(-x)\right)dA =\oint_C x\,dy=4\pi\].
  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Laboratório de Dinâmica – Projeto Mercury (19/NOV/1962)

    Calcule \(\displaystyle\oint_{C}(y\,dx+x\,dy)\) onde \(C\) é a elipse \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\) (sentido anti-horário).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: A integral relaciona-se à derivada de \(x^2+y^2\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
    \[\frac{\partial}{\partial x}(x)=1,\; \frac{\partial}{\partial y}(y)=1 \;\Rightarrow\; \oint_C(y\,dx+x\,dy)= \iint_D(1-1)\,dA=0.\]
  3. EXERCÍCIO VECTOR-1C
    ORIGEM: Telemetria de Solo – Base ███ (02/ABR/1964)

    Avalie \(\displaystyle\oint_{C}\!\bigl(x^{2}y\,dx+y^{3}\,dy\bigr)\) onde \(C:\,x^{2}+y^{2}=1\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Aplique \(\frac{\partial Q}{\partial x}\!-\!\frac{\partial P}{\partial y}\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
    \[\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\; \frac{\partial P}{\partial y}=x^{2}\cdot2y\] \[\Rightarrow\iint_D(-2x^{2}y)\,dA=0\] pela simetria em \(y\).
  4. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Programa Vostok (Análise Interceptada 17/SET/1962)

    Verifique o Teorema de Green para o campo \(\vec F=(-y,x)\) na região anular \(1\le x^{2}+y^{2}\le4\). Use orientação padrão: borda externa anti-horária, interna horária.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedades de conservação podem ser relevantes.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
    \[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1+1=2\] Área do anel \(=3\pi\) ⇒ integral dupla \(6\pi\). As integrais de contorno dão \(2\pi(2)^{2}-2\pi(1)^{2}=6\pi\), confirmando o teorema.
  5. EXERCÍCIO VECTOR-2B
    ORIGEM: Cálculo de Capsula – Missão Gemini 5 (23/AGO/1965)

    Use Green para obter a área da asteroide \(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\). Expresse o resultado em função de \(a\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Parametrização polar modificada facilita a integral.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
    \[A=\frac{3\pi}{8}a^{2}\]
  6. EXERCÍCIO VECTOR-2C
    ORIGEM: Seção de Navegação – Projeto ORION (01/MAR/1964)

    Calcule \(\oint_{C}(e^{x}\cos y\,dx+e^{x}\sin y\,dy)\) para \(C:\,x^{2}+4y^{2}=4\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Observe \(e^{x}\sin y\) e \(e^{x}\cos y\) como derivadas cruzadas.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
    Como \(\frac{\partial}{\partial x}(e^{x}\sin y)=e^{x}\sin y\) e \(\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}\cos y)=-e^{x}\sin y\), a diferença é \(2e^{x}\sin y\). Integrando sobre \(D\)\! (simetria em \(y\)) ⇒ resultado \(0\).
  7. EXERCÍCIO VECTOR-3A
    ORIGEM: Trajetória Lunar – Apollo 8 (NOV/1968)

    Seja \(D\) a elipse \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\le1\). Determine \(\displaystyle\oint_{\partial D}(x^{2}-y^{2})\,dx+2xy\,dy\) usando Green.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Existem invariantes relevantes sob rotações de \(45^\circ\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
    \[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}(2xy)-\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}) =2y+2y=4y\] Integral dupla: \(\iint_D 4y\,dA=0\) (simetria). Logo o contorno é \(0\).
  8. EXERCÍCIO VECTOR-3B
    ORIGEM: Centro ███ – Estudo de Estabilidade (05/MAI/1966)

    Prove que, para qualquer curva fechada suave \(C\), \[\oint_C x\,dy - y\,dx = 2A\] onde \(A\) é a área assinada de \(C\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere \(P=-y,\;Q=x\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
    Para \(\vec F=(-y,x)\), temos \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1+1=2\). Assim, \(\oint_C(-y\,dx+x\,dy)=2\iint_D dA=2A.\)
  9. EXERCÍCIO VECTOR-3C
    ORIGEM: Missão de Teste Skylab (SET/1973)

    Avalie \(\displaystyle\oint_{C}\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr)\,dx+ \bigl(3x^{2}y-y^{3}\bigr)\,dy\) onde \(C\) é o círculo \(x^{2}+y^{2}=9\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Há simetrias não aparentes no sistema.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
    Diferença de derivadas \(=12xy\). Em coordenadas polares, \(xy=r^{2}\sin\theta\cos\theta\). Integral dupla em disco raio 3 resulta em zero (função ímpar em \(\theta\) sobre \([0,2\pi]\)).
  10. EXERCÍCIO VECTOR-4A
    ORIGEM: Simulação de Reentrada – Consórcio █████ (12/DEZ/1970)

    Calcule \(\displaystyle\oint_{C}\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}\,dx+2xy\,dy\) em \(C:\,x^{2}+y^{2}=1\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    Diferença de derivadas \(=4(x^{2}+y^{2})\). Sobre o disco unidade: \(\iint_D 4r^{2}\,dA =4\int_{0}^{1}r^{2}(2\pi r)\,dr =4\cdot2\pi\int_{0}^{1}r^{3}\,dr =2\pi.\)
  11. EXERCÍCIO VECTOR-4B
    ORIGEM: Laboratório de Mecânica Orbital – Arquivo Ω-52 (08/JUN/1971)

    Para \(C:\,4x^{2}+9y^{2}=36\), determine \(\displaystyle\oint_C\! \bigl(y\,dx - x\,dy\bigr)\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(\vec F=(-x,y)\) ⇒ diferença \(=2\). Área da elipse \(=\pi ab= \pi\!\cdot\!3\!\cdot\!2=6\pi\). Resultado \(=2\cdot6\pi=12\pi\).
  12. EXERCÍCIO VECTOR-4C
    ORIGEM: Departamento Ultra-Secreto – Dossiê ICARUS (03/JUL/1972)
    Seja \(\vec F=\bigl(\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}},-\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\bigr)\). Calcule \(\displaystyle\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r\) onde \(C\) é o círculo \(x^{2}+y^{2}=4\), percebendo que \(\vec F\) não está definido na origem. Utilize um anel \(0 \le r \le 2\) e justifique o resultado.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    Exclui-se um disco de raio \(\varepsilon\). Como \(\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=0\) fora da origem, Green implica que o valor no contorno externo iguala \(-\)valor no contorno interno. No limite \(\varepsilon\to0\), o interno fornece \(-2\pi\). Logo o integral pedido é \(2\pi\).
PÁGINA 1 DE 5 • DOCUMENTO GV-027
MATERIAL ULTRASSECRETO