SIGILOSO
DATA: 23 DE AGOSTO DE 1965
LOCALIZAÇÃO: COMPLEXO GEMINI [REDACTED]
RELATÓRIO DE PROGRESSO: PROJETO VECTOR-Σ

Em resposta aos êxitos soviéticos recentes no Programa Voskhod, nosso corpo de analistas desenvolveu procedimentos avançados para otimizar o cálculo de consumo energético durante manobras orbitais. Os problemas a seguir foram compilados a partir das anotações sigilosas do Dr. █████████, especialista em dinâmica orbital da missão GEMINI VII.
Este documento contém informações matemáticas críticas à segurança da nação. Divulgação não autorizada resultará em sanções imediatas.
REF: GC-845-D NÍVEL DE ACESSO: SIGMA-4 CÓPIAS EXISTENTES: 1 DE 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: Integrais de Linha em Campos Conservativos

DEFINIÇÃO FORMAL:

\[ \int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \phi\big(\vec{r}(b)\big) - \phi\big(\vec{r}(a)\big) \]

Se um campo vetorial \(\vec{F}\) é conservativo, existe uma função escalar \(\phi\) tal que \(\vec{F} = \nabla \phi\). Nessa situação, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, tornando‑se independente do caminho.

Em trajetórias orbitais, calcular o trabalho realizado por sistemas de propulsão é essencial. Quando as forças atuantes podem ser modeladas por campos conservativos (por exemplo, gravidade), o consumo de combustível pode ser estimado rapidamente a partir das diferenças de potencial, sem necessidade de integrar ao longo de cada segmento da órbita.
NOTA HISTÓRICA: Durante a missão Gemini VI‑A, a equipe de solo aplicou este princípio para calcular, em tempo recorde, o impulso necessário para a primeira rendez‑vous orbital NATO‑CLASSIFIED.
  1. EXERCÍCIO VECTOR-1A
    ORIGEM: Simulação de Órbita Baixa – Laboratório Gemini [02/MAI/1965]

    Considere o campo \(\vec{F}(x,y) = \begin{pmatrix}2x \\ 2y\end{pmatrix}\). Calcule \[ \int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} \] onde \(C\) é o segmento de reta que une \((1,0)\) a \((0,1)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Considere relacionar a integral a uma função potencial simples.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
    \(\vec{F} = \nabla (x^{2}+y^{2})\Rightarrow \phi=x^{2}+y^{2}.\) Assim, o valor é \(\phi(0,1)-\phi(1,0)=1-1=0.\)
  2. EXERCÍCIO VECTOR-1B
    ORIGEM: Análise de Manobra de Inclinação – Gemini V [16/JUN/1965]

    Seja \(\vec{F}(x,y)=\begin{pmatrix}y \\ x\end{pmatrix}\). Verifique se \(\vec{F}\) é conservativo e, em caso afirmativo, calcule a integral ao longo do quarto de circunferência de raio 1 entre os mesmos pontos do exercício anterior.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: Verifique \(\partial F_1/\partial y = \partial F_2/\partial x\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
    Como \(\partial F_1/\partial y = 1 = \partial F_2/\partial x\), o campo é conservativo. Uma função potencial é \(\phi(x,y)=xy\). Logo, \(\phi(0,1)-\phi(1,0)=0-0=0\).
  3. EXERCÍCIO VECTOR-1C
    ORIGEM: Treinamento de Telemetria – Centro de Houston [22/JUL/1965]

    O potencial escalar \(\phi(x,y)=xy\) gera um campo \(\vec{F}=\nabla\phi\). Compute \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\) de \((0,0)\) a \((2,3)\) por qualquer caminho.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-1]
    [NOTA TÉCNICA]: A independência do caminho elimina a necessidade de parametrizar.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-1 REQUERIDO]
    \(\phi(2,3)=6\) e \(\phi(0,0)=0\). Portanto a integral vale 6.
  4. EXERCÍCIO VECTOR-2A
    ORIGEM: Relatório de Atracação Orbital – Gemini VIII [10/AGO/1965]

    Considere \(\vec{F}(x,y,z)=\begin{pmatrix}e^{x}\cos y \\ -e^{x}\sin y \\ 0\end{pmatrix}\). Demonstre que \(\vec{F}\) é conservativo e determine \[\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\] do ponto \((0,0,0)\) até \((\ln 2,\frac{\pi}{2},0)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Observe a estrutura de derivadas parciais exponenciais.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
    Um potencial é \(\phi(x,y,z)=e^{x}\cos y\). Logo \(\phi(b)-\phi(a)= e^{\ln 2}\cos(\pi/2)-1\cdot 1=0-1=-1\).
  5. EXERCÍCIO VECTOR-2B
    ORIGEM: Computação de Energia – Simulador AGC [14/AGO/1965]

    Para \(\vec{F}(x,y)=\begin{pmatrix}y^{3}+2x \\ 3xy^{2}+4y\end{pmatrix}\), encontre uma função potencial e calcule o trabalho para ir de \((1,1)\) a \((2,0)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Integre componente a componente e ajuste a constante.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
    \(\phi(x,y)=xy^{3}+2x^{2}+4y\). Assim o trabalho é \(\phi(2,0)-\phi(1,1)=0+8+0 - (1+2+4)=8-7=1\).
  6. EXERCÍCIO VECTOR-2C
    ORIGEM: Diagnóstico de Propulsores – Cápsula Gemini [18/AGO/1965]

    Mostre que para \(\vec{F}=\nabla(x^{2}y)\) qualquer integral de linha sobre um caminho fechado simples no plano é nula.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-2]
    [NOTA TÉCNICA]: Propriedade de independência do caminho em campos conservativos.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-2 REQUERIDO]
    Sendo conservativo, escolha qualquer ponto inicial = final, logo \(\phi(P)-\phi(P)=0\).
  7. EXERCÍCIO VECTOR-3A
    ORIGEM: Estudo de Rendez‑vous Lunar – Projeto Apollo [03/SET/1965]

    O campo gravitacional simplificado é dado por \(\vec{F}(\vec{r})=-k\dfrac{\vec{r}}{|\vec{r}|^{3}}\). Calcule o trabalho necessário para deslocar uma nave do raio orbital \(r=a\) para \(r=b>a\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: A força é gradiente de \(-k/|\vec{r}|\).
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
    \(\phi=-k/|\vec{r}|\). Logo \(W=\phi(b)-\phi(a) = -\dfrac{k}{b}+\dfrac{k}{a}\).
  8. EXERCÍCIO VECTOR-3B
    ORIGEM: Computador de Bordo – Apollo Guidance [07/SET/1965]

    Para \(\vec{F}(x,y,z)=\begin{pmatrix}2xy \\ x^{2}+2z \\ y^{2}\end{pmatrix}\), determine se o campo é conservativo. Caso positivo, ache um potencial e calcule o trabalho de \((1,0,0)\) até \((1,1,1)\).

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Verifique as três igualdades de cruzamento das derivadas.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
    Campo conservativo. \(\phi=x^{2}y+yz^{2}+y^{2}z/2\). Logo \(\phi(1,1,1)-\phi(1,0,0)=1+1+0 - 0 = 2\).
  9. EXERCÍCIO VECTOR-3C
    ORIGEM: Operação de Correção de Órbita – Apollo IX [11/SET/1965]

    Demonstre que a integral de linha de qualquer campo conservativo ao longo de caminhos homotópicos com mesmos extremos é idêntica.

    ARQUIVO AUXILIAR [SIGMA-3]
    [NOTA TÉCNICA]: Desenvolva a prova usando o potencial escalar.
    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-3 REQUERIDO]
    Se \(\vec{F}=\nabla\phi\), então \(\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\phi(B)-\phi(A)\), independendo do caminho. Caminhos homotópicos têm mesmos extremos, logo integral coincide.
  10. EXERCÍCIO VECTOR-4A
    ORIGEM: Missão Ómega – Estabilidade Orbital [CONFIDENCIAL – 15/SET/1965]

    O campo \(\vec{F}(x,y)=\begin{pmatrix}2x+a y \\ 2y-a x\end{pmatrix}\) depende de uma constante \(a\). Determine \(a\) de forma que o campo seja conservativo e calcule a integral de \((0,0)\) a \((1,1)\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    Para conservativo: \(\partial F_1/\partial y = a = \partial F_2/\partial x = -a\) \(\Rightarrow a=0\). Então \(\vec{F}=\nabla(x^{2}+y^{2})\) e \(W=1^{2}+1^{2}-0=2\).
  11. EXERCÍCIO VECTOR-4B
    ORIGEM: Teste de Propulsores – Plataforma Saturn IB [17/SET/1965]

    Verifique que \(\vec{F}(x,y,z)=\begin{pmatrix}yz \\ xz \\ xy\end{pmatrix}\) é conservativo em \(\mathbb{R}^{3}\) e calcule o trabalho ao longo de qualquer curva que una \((1,1,1)\) a \((2,2,2)\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    Potencial \(\phi=xyz\). Então \(W=\phi(2,2,2)-\phi(1,1,1)=8-1=7\).
  12. EXERCÍCIO VECTOR-4C
    ORIGEM: Simulação de Inserção Lunar – Projeto ████ [20/SET/1965]

    Uma nave desloca‑se num potencial \(\phi(x,y,z)=k(x^{2}+y^{2}+z^{2})\). Determine o trabalho realizado pelo campo ao mover‑se de \((0,0,0)\) para \((R,0,0)\), discutindo a dependência de \(k\) e \(R\).

    RELATÓRIO DE CÁLCULO [SIGMA-4 REQUERIDO]
    \(\vec{F}=\nabla\phi=2k\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\). Trabalho: \(W=\phi(R,0,0)-\phi(0,0,0)=kR^{2}-0=kR^{2}\).
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